八年级初二数学下学期勾股定理单元学能测试试卷

一、选择题
1．如图，在Rt ABC ∆中，90, 5 ,3ACB AB cm AC cm ︒∠=== ，动点P 从点B 出发，沿
射线BC 以1 /cm s 的速度移动，设运动的时间为t 秒，当∆ABP 为等腰三角形时，t 的值不可能为（ ）
A ．5
B ．8
C ．254
D ．258
2．如图，在等腰三角形ABC 中，AC=BC=5，AB=8，D 为底边上一动点（不与点A ，B 重合），DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，则DE+DF= （ ）
A ．5
B ．8
C ．13
D ．4．8
3．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是△ABC 的一条角平分线．若AC ＝6，AB ＝10，则点D 到AB 边的距离为（ ）
A ．2
B ．2.5
C ．3
D ．4 4．若直角三角形的三边长分别为-a b 、a 、+a b ，且a 、b 都是正整数，则三角形其中一边的长可能为（）
A ．22
B ．32
C ．62
D ．82 5．在平面直角坐标系内的机器人接受指令“[α，A]”(α≥0，0°＜A ＜180°)后的行动结果为：在原地顺时针旋转A 后，再向正前方沿直线行走α.若机器人的位置在原点，正前方为y 轴的负半轴，则它完成一次指令[4，30°]后位置的坐标为( )
A ．(－2，3
B ．(－2，－3
C ．(－2，－2)
D ．(－2，2)
6．ABC 三边长为a 、b 、c ，则下列条件能判断ABC 是直角三角形的是（ ） A ．a ＝7，b ＝8，c ＝10 B ．a 41，b ＝4，c ＝5
C ．a ＝3，b ＝2，c ＝5
D ．a ＝3，b ＝4，c ＝6
7．我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知90A ∠=︒正方形ADOF 的边长是2，4BD =，则CF 的长为（ ）
A ．6
B ．42
C ．8
D ．10
8．如图，在△ABC 中，AB=8，BC=10，AC=6，则BC 边上的高AD 为（ ）
A ．8
B ．9
C ．245
D ．10
9．如图，已知AB 是线段MN 上的两点，MN ＝12，MA ＝3，MB ＞3，以A 为中心顺时针旋转点M ，以点B 为中心顺时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成△ABC ，当△ABC 为直角三角形时AB 的长是（ ）
A ．3
B ．5
C ．4或5
D ．3或51
10．下列以线段a 、b 、c 的长为边的三角形中，不能构成直角三角形的是（ ） A ．9,41,40a b c ===
B ．5,5,52a b c ===
C ．::3:4:5a b c =
D ．11,12,13a b c ===
二、填空题
11．如图，△ABC 是一个边长为1的等边三角形，BB 1是△ABC 的高，B 1B 2是△ABB 1的高，B 2B 3是△AB 1B 2的高，……B n-1B n 是△AB n-2B n-1的高，则B 4B 5的长是________，猜想B n-1B n 的长是________．
12．已知，如图：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为A （10，0）、C （0，4），点D 是OA 的中点，点P 在BC 边上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标为_____．
13．如图，在ABC 中，D 是BC 边中点，106AB AC ==，，4=AD ，则BC 的长是_____________．
14．在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，以BC 为斜边作等腰直角BCD ∆，连接DA ，若22AB =，42AC =，则DA 的长为______．
15．如图是由边长为1的小正方形组成的网格图，线段AB ，BC ，BD ，DE 的端点均在格点上，线段AB 和DE 交于点F ，则DF 的长度为_____．
16．已知Rt △ABC 中，AC ＝4，BC ＝3，∠ACB ＝90°，以AC 为一边在Rt △ABC 外部作等腰直角三角形ACD ，则线段BD 的长为_____．
17．如图，小正方形的边长为1，连接小正方形的三个格点可得△ABC ，则AC 边上的高的长度是_____________．
18．如图，在四边形ABCD 中，AD =4，CD =3，∠ABC =∠ACB =∠ADC =45°，则
2________BD =．
19．观察：①3、4、5，②5、12、13，③7、24、25，……，发现这些勾股数的“勾”都是奇数，且从3起就没断过．根据以上规律，请写出第8组勾股数：______．
20．如图所示，圆柱体底面圆的半径是2π
，高为1，若一只小虫从A 点出发沿着圆柱体的外侧面爬行到C 点，则小虫爬行的最短路程是______
三、解答题
21．如图，,90,8,6,,ABC B AB cm BC cm P Q ︒
∆∠===是边上的两点，点P 从点A 开始沿A B →方向运动，且速度为每秒1cm ，点Q 从点B 沿B C A →→运动，且速度为每秒2cm ，它们同时出发，设出发的时间为t 秒．
（1）出发2秒后，求线段PQ 的长；
（2）求点Q 在BC 上运动时，出发几秒后，PQB 是等腰三角形；
（3）点Q 在边CA 上运动时，求能使BCQ ∆成为等腰三角形的运动时间．
22．在等腰△ABC 与等腰△ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ，且点D 、E 、C 三点在同一条直线上，连接BD ．
（1）如图1，求证：△ADB ≌△AEC
（2）如图2，当∠BAC ＝∠DAE ＝90°时，试猜想线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系，并写出证明过程；
（3）如图3，当∠BAC ＝∠DAE ＝120°时，请直接写出线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系式为： （不写证明过程）
23．如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 是BC 上一动点、连接AD ，过点A 作AE AD ⊥，并且始终保持AE AD =，连接CE ，
（1）求证：ABD ACE ≅；
（2）若AF 平分DAE ∠交BC 于F ，
①探究线段BD ，DF ，FC 之间的数量关系，并证明；
②若3BD =，4CF =，求AD 的长，
24．在等腰Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°
（1）如图1，D ，E 是等腰Rt △ABC 斜边BC 上两动点，且∠DAE ＝45°，将△ABE 绕点A 逆时针旋转90后，得到△AFC ，连接DF
①求证：△AED ≌△AFD ；
②当BE ＝3，CE ＝7时，求DE 的长；
（2）如图2，点D 是等腰Rt △ABC 斜边BC 所在直线上的一动点，连接AD ，以点A 为直角顶点作等腰Rt △ADE ，当BD ＝3，BC ＝9时，求DE 的长．
25．定义：在△ABC 中，若BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，若a ，b ，c 满足ac +a 2＝b 2，则称这个三角形为“类勾股三角形”，请根据以上定义解决下列问题：
（1）命题“直角三角形都是类勾股三角形”是 命题（填“真”或“假”）；
（2）如图1，若等腰三角形ABC 是“类勾股三角形”，其中AB ＝BC ，AC ＞AB ，请求∠A 的度数；
（3）如图2，在△ABC 中，∠B ＝2∠A ，且∠C ＞∠A ．
①当∠A ＝32°时，你能把这个三角形分成两个等腰三角形吗？若能，请在图2中画出分割线，并标注被分割后的两个等腰三角形的顶角的度数；若不能，请说明理由； ②请证明△ABC 为“类勾股三角形”．
26．阅读下列一段文字，然后回答下列问题．
已知在平面内有两点()111, P x y 、()222, P x y ，其两点间的距离()()22121212PP x x y y =-+-直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为12x x -或1|y -2|y .
（1）已知()2, 4A 、()3, 8B --，试求A 、B 两点间的距离______.
已知M 、N 在平行于y 轴的直线上，点M 的纵坐标为4，点N 的纵坐标为-1，试求M 、N 两点的距离为______；
（2）已知一个三角形各顶点坐标为()1, 6D 、()3, 3E -、()4, 2F ，你能判定此三角形的形状吗?说明理由．
（3）在（2）的条件下，平面直角坐标系中，在x 轴上找一点P ，使PD PF +的长度最短，求出点P 的坐标及PD PF +的最短长度．
27．如图，在边长为2正方形ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，E 是线段OA 上一动点（不包括两个端点），连接BE .
（1）如图1，过点E 作EF BE ⊥交CD 于点F ，连接BF 交AC 于点G .
①求证：BE EF =;
②设AE x =，CG y =，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围. （2）在如图2中，请用无刻度的直尺作出一个以BE 为边的菱形.
28．如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是AC ，BC 上的点，且满足DE ⊥EF ，垂足为点E ，连接DF ．
（1）求∠EDF= （填度数）；
（2）延长DE 交AB 于点G ，连接FG ，如图2，猜想AG ，GF ，FC 三者的数量关系，并给出证明；
（3）①若AB=6，G 是AB 的中点，求△BFG 的面积；
②设AG=a ，CF=b ，△BFG 的面积记为S ，试确定S 与a ，b 的关系，并说明理由．
29．（已知：如图1，矩形OACB的顶点A，B的坐标分别是（6，0）、（0，10），点D 是y轴上一点且坐标为（0，2），点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿线段AC﹣CB方向运动，到达点B时运动停止．
（1）设点P运动时间为t，△BPD的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（2）当点P运动到线段CB上时（如图2），将矩形OACB沿OP折叠，顶点B恰好落在边AC上点B′位置，求此时点P坐标；
（3）在点P运动过程中，是否存在△BPD为等腰三角形的情况？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
30．如图1，已知△ABC是等边三角形，点D，E分别在边BC，AC上，且CD＝AE，AD与BE相交于点F．
（1）求证：∠ABE＝∠CAD；
（2）如图2，以AD为边向左作等边△ADG，连接BG．
ⅰ）试判断四边形AGBE的形状，并说明理由；
ⅱ）若设BD＝1，DC＝k（0＜k＜1），求四边形AGBE与△ABC的周长比（用含k的代数式表示）．
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
根据ABP △为等腰三角形，分三种情况进行讨论，分别求出BP 的长度，从而求出t 值即可．
【详解】
在Rt ABC 中，222225316BC AB AC =-=-=，
4BC cm ∴=，
①如图，当AB BP =时， 5 ,5BP cm t ==；
②如图，当AB AP =时，
∵AC BP ⊥，
∴28 BP BC cm ==，8t =；
③如图，当BP AP =时，设AP BP xcm ==，则4,3( )CP x cm AC cm =-=，
∵在Rt ACP 中，222AP AC CP =+，
∴()22234x x =+-， 解得：258x =
， ∴258
t =， 综上所述，当ABP △为等腰三角形时，5t =或8t =或258
t =
． 故选：C ．
【点睛】
本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，注意分类讨论．
2．D
解析：D
【分析】
过点C 作CH ⊥AB ，连接CD ，根据等腰三角形的三线合一的性质及勾股定理求出CH ，再利用ABC ACD BCD S S S =+即可求出答案.
【详解】
如图，过点C 作CH ⊥AB ，连接CD ，
∵AC=BC ，CH ⊥AB ，AB=8，
∴AH=BH=4，
∵AC=5， ∴2222543CH AC AH =
-=-=, ∵ABC ACD BCD S S S =+， ∴
111222AB CH AC DE BC DF ⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅, ∴1118355222
DE DF ⨯⨯=⨯+⨯, ∴DE+DF=4.8，
故选：D.
【点睛】
此题考查等腰三角形三线合一的性质，勾股定理解直角三角形，根据题意得到
ABC ACD BCD S S S =+的思路是解题的关键，依此作辅助线解决问题.
3．C
解析：C
【分析】
作DE ⊥AB 于E ，由勾股定理计算出可求BC=8，再利用角平分线的性质得到DE=DC ，设DE=DC=x ，利用等等面积法列方程、解方程即可解答.
【详解】
解：作DE ⊥AB 于E ，如图，
在Rt△ABC中，BC＝22
106
＝8，
∵AD是△ABC的一条角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DE＝DC，
设DE＝DC＝x，
S△ABD＝1
2
DE•AB＝
1
2
AC•BD，
即10x＝6（8﹣x），解得x＝3，
即点D到AB边的距离为3．
故答案为C．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质和勾股定理的相关知识，理解角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答本题的关键..
4．B
解析：B
【解析】
由题可知（a-b）2+a2=（a+b）2，解得a=4b，所以直角三角形三边分别为3b，4b，5b，当b=8时，4b=32，故选B．
5．B
解析：B
【解析】
根据题意，如图，∠AOB=30°，OA=4，则AB=2，OB=23，所以A(－2，－23)，故选B.
6．B
解析：B
【分析】
根据勾股定理逆定理对每个选项一一判断即可．
【详解】
A、∵72+82≠102，∴△ABC不是直角三角形；
B、∵52+42＝41)2，∴△ABC是直角三角形；
C、∵223252，∴△ABC不是直角三角形；
D、∵32+42≠62，∴△ABC不是直角三角形；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查勾股定理逆定理，熟记定理是解题关键．
解析：A
【分析】
设CF=x，则AC=x+2，再由已知条件得到AB=6，BC=6+x，再由AB2+AC2=BC2得到62+
（x+2）2=（x+4）2，解方程即可．
【详解】
设CF=x，则AC=x+2，
∵正方形ADOF的边长是2，BD=4，△BDO≌△BEO，△CEO≌△CFO，
∴BD=BE，CF=CE，AD=AF=2，
∴AB=6，BC=6+x，
∵∠A=90°，
∴AB2+AC2=BC2，
∴62+（x+2）2=（x+4）2，
解得：x=6，
即CF=6，
故选：A．
【点睛】
考查正方形的性质、勾股定理，解题关键是设CF=x，则AC=x+2，利用勾股定理得到62+（x+2）2=（x+4）2．
8．C
解析：C
【分析】
本题根据所给的条件得知，△ABC是直角三角形，再根据三角形的面积相等即可求出BC边上的高.
【详解】
∵AB＝8，BC＝10，AC＝6，
∴62＋82＝102，∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，
则由面积公式可知，S△ABC＝1
2
AB⋅AC＝
1
2
BC⋅AD，
∴AD＝24
5
.故选C.
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，需要先证得三角形为直角三角形，再利用三角形的面积公式求得AD的值.
9．C
解析：C
【分析】
设AB＝x，则BC＝9－x，根据三角形两边之和大于第三边，得到x的取值范围，再利用分类讨论思想，根据勾股定理列方程，计算解答．
解：∵在△ABC 中，AC ＝AM ＝3，
设AB ＝x ，BC ＝9－x ，
由三角形两边之和大于第三边得：
3939x x x x
+-⎧⎨+-⎩＞＞， 解得3＜x ＜6，
①AC 为斜边，则32＝x 2＋（9－x ）2，即x 2－9x ＋36＝0，方程无解，即AC 为斜边不成立，
②若AB 为斜边，则x 2＝（9－x ）2＋32，解得x ＝5，满足3＜x ＜6，
③若BC 为斜边，则（9－x ）2＝32＋x 2，解得x ＝4，满足3＜x ＜6，
∴x ＝5或x ＝4；
故选C ．
【点睛】
本题考查三角形的三边关系，勾股定理等，分类讨论和方程思想是解答的关键．
10．D
解析：D
【分析】
根据直角三角形的判定，符合a 2+b 2＝c 2即可；反之不符合的不能构成直角三角形．
【详解】
解：A 、因为92+402＝412，故能构成直角三角形；
B 、因为52+52
=(2，故能构成直角三角形； C 、因为()()()222345x x x +=，故能构成直角三角形；
D 、因为112+122≠152，故不能构成直角三角形；
故选：D ．
【点睛】
本题考查的是勾股定理的逆定理，当三角形中三边满足222a b c +=关系时，则三角形为直角三角形．
二、填空题
11
【分析】 根据等边三角形性质得出AB 1＝CB 1＝12
，∠AB 1B ＝∠BB 1C ＝90°，由勾股定理求出BB 1
＝ABC
113ABB BCB S S ==
B 1B 2＝
4，由勾股定理求出BB 2，根据11221ABB BB B AB B S S S =+代入求出B 2B 3=，
B 3B 4=B 4B 5=，推出B n ﹣1B n ． 【详解】
解：∵△ABC 是等边三角形，
∴BA ＝AC ，
∵BB 1是△ABC 的高，
∴AB 1＝CB 1＝12
，∠AB 1B ＝∠BB 1C ＝90°，
由勾股定理得：BB 1=；
∴△ABC 的面积是
12×1=；
∴1112ABB BCB S
S ==⨯，
12
=×1×B 1B 2，
B 1B 2，
由勾股定理得：BB 234=， ∵11221ABB BB B AB B S S S =+，
2313112422
B B =⨯⨯⨯，
B 2B 3＝8，
B 3B 4，
B 4B 5， …，
B n ﹣1B n
【点睛】 本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识点的应用，关键是能根据
计算结果得出规律．
12．．（3，4）或（2，4）或（8，4）．
【分析】
题中没有指明△ODP的腰长与底分别是哪个边，故应该分情况进行分析，从而求得点P的坐标．
【详解】
解：（1）OD是等腰三角形的底边时，P就是OD的垂直平分线与CB的交点，此时OP＝PD≠5；
（2）OD是等腰三角形的一条腰时：
①若点O是顶角顶点时，P点就是以点O为圆心，以5为半径的弧与CB的交点，
在直角△OPC中，CP＝22
54
-＝3，则P的坐标是（3，4）．
-＝22
OP OC
②若D是顶角顶点时，P点就是以点D为圆心，以5为半径的弧与CB的交点，
过D作DM⊥BC于点M，
在直角△PDM中，PM＝22
PD DM
-＝3，
当P在M的左边时，CP＝5﹣3＝2，则P的坐标是（2，4）；
当P在M的右侧时，CP＝5+3＝8，则P的坐标是（8，4）．
故P的坐标为：（3，4）或（2，4）或（8，4）．
故答案为：（3，4）或（2，4）或（8，4）．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理的运用等知识,注意正确地进行分类，考虑到所有可能的情况并进行分析求解是解题的关键.
13．413
【分析】
延长AD至点E，使得DE＝AD＝4，结合D是中点证得△ADC≌△EDB，进而利用勾股定理逆定理可证得∠E＝90°，再利用勾股定理求得BD长进而转化为BC长即可．
【详解】
解：如图，延长AD至点E，使得DE＝AD＝4，连接BE，
∵D是BC边中点，
∴BD＝CD，
又∵DE＝AD，∠ADC＝∠EDB，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴BE＝AC＝6，
又∵AB＝10，
∴AE2＋BE2＝AB2，
∴∠E＝90°，
∴在Rt△BED中，BD==，
∴BC＝2BD＝
故答案为：
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定及性质、勾股定理及其逆定理，正确作出辅助线是解决本题的关键．
14．6或2.
【分析】
由于已知没有图形，当Rt△ABC固定后，根据“以BC为斜边作等腰直角△BCD”可知分两种情况讨论：
①当D点在BC上方时，如图1，把△ABD绕点D逆时针旋转90°得到△DCE，证明A、C、E三点共线，在等腰Rt△ADE中，利用勾股定理可求AD长；
②当D点在BC下方时，如图2，把△BAD绕点D顺时针旋转90°得到△CED，证明过程类似于①求解．
【详解】
解：分两种情况讨论：
①当D点在BC上方时，如图1所示，
把△ABD绕点D逆时针旋转90°，得到△DCE，
则∠ABD=∠ECD，，AD=DE，且∠ADE=90°
在四边形ACDB中，∠BAC+∠BDC=90°+90°=180°，
∴∠ABD+∠ACD=360°-180°=180°，
∴∠ACD+∠ECD=180°，
∴A、C、E三点共线．
∴
在等腰Rt△ADE中，AD2+DE2=AE2，
即2AD2=（）2，解得AD=6
②当D 点在BC 下方时，如图2所示，
把△BAD 绕点D 顺时针旋转90°得到△CED ，
则CE=AB=22，∠BAD=∠CED ，AD=AE 且∠ADE=90°，
所以∠EAD=∠AED=45°，
∴∠BAD=90°+45°=135°，即∠CED=135°，
∴∠CED+∠AED=180°，即A 、E 、C 三点共线．
∴AE=AC-CE=42-22=22
在等腰Rt △ADE 中，2AD 2=AE 2=8，解得AD=2．
故答案为：6或2.
【点睛】
本题主要考查了旋转的性质、勾股定理，解决这类等边（或共边）的两个三角形问题，一般是通过旋转的方式作辅助线，转化线段使得已知线段于一个特殊三角形中进行求解． 15．2
【分析】
连接AD 、CD ，由勾股定理得：22435AB DE ==+=，224225BD =+=22125CD AD =+=，得出AB ＝DE ＝BC ，222BD AD AB +=，由此可得△ABD 为
直角三角形，同理可得△BCD 为直角三角用形，继而得出A 、D 、C 三点共线.再证明
△ABC ≌△DEB ，得出∠BAC ＝∠EDB ，得出DF ⊥AB ，BD 平分∠ABC ，再由角平分线的性得出DF ＝DG ＝2即可的解.
【详解】
连接AD 、CD ，如图所示：
由勾股定理可得，
22435AB DE ==+=，224225BD =+=22125CD AD ==+， ∵BE=BC=5，∴AB=DE ＝AB ＝BC ，222BD AD AB +=，
∴△ABD 是直角三角形，∠ADB ＝90°，
同理可得：△BCD 是直角三角形，∠BDC ＝90°，
∴∠ADC ＝180°，∴点A 、D 、C 三点共线， ∴225AC AD BD ===，
在△ABC 和△DEB 中，
AB DE BC EB AC BD =⎧⎪⎨⎪=⎩
＝，∴△ABC ≌△DEB(SSS)，∴∠BAC ＝∠EDB ，
∵∠EDB+∠ADF ＝90°，∴∠BAD+∠ADF ＝90°，
∴∠BFD ＝90°，∴DF ⊥AB ，
∵AB=BC ，BD ⊥AC ，∴BD 平分∠ABC ，
∵DG ⊥BC ，∴DF ＝DG ＝2.
【点睛】
本题考查全等三角形的性质与判定以及勾股定理的相关知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理和过股定理的逆定理.
16．72965【分析】
分三种情形讨论：（1）如图1中，以点C 所在顶点为直角时；（2）如图2中，以点D 所在顶点为直角时；（3）如图3中，以点A 所在顶点为直角时．
【详解】
（1）如图1中，以点C 所在顶点为直角时．
∵AC =CD =4，BC =3，∴BD =CD +BC =7；
（2）如图2中，以点D 所在顶点为直角时，作DE ⊥BC 与E ，连接BD ．
在Rt △BDE 中DE =2，BE =5，∴BD 2229DE BE +
（3）如图3中，以点A 所在顶点为直角时，作DE ⊥BC 于E ， 在Rt △BDE 中，DE =4．BE =7，∴BD 2265DE BE +
故答案为：7或29或65．
【点睛】
本题考查了勾股定理、等腰直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
17．3
5 5
【详解】
四边形DEFA是正方形，面积是4；△ABF，△ACD的面积相等，且都是×1×2=1．
△BCE的面积是：1
2
×1×1=
1
2
．
则△ABC的面积是：4﹣1﹣1﹣1
2
=
3
2
．
在直角△ADC中根据勾股定理得到：AC=22
2+1=5．
设AC边上的高线长是x．则1
2
AC•x=
5x=3
2
，
解得：x=3
5
5
．
故答案为
3
5
5
.
18．41
【解析】
作AD′⊥AD，AD′=AD，连接CD′，DD′，如图：
∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD，
即∠BAD=∠CAD′，
在△BAD与△CAD′中，
;
BA CA
BAD CAD
AD AD
＝
＝
＝
⎧
⎪
∠∠'
⎨
⎪
⎩
∴△BAD≌△CAD′（SAS），
∴BD=CD′，
∠D AD′=90°，
由勾股定理得22
AD AD
+'，
∠D′DA+∠ADC=90°，
由勾股定理得22
DC DD
+'
41BD2=41．
故答案是：41．
19．17，144，145
【分析】
由题意观察题干这些勾股数，根据所给的勾股数找出三个数之间的关系即可．
【详解】
解：因为这些勾股数的“勾”都是奇数，且从3起就没断过，所以从3、5、7…依次推出第8组的“勾”为17，
继续观察可知弦-股=1，利用勾股定理假设股为m，则弦为m+1，
所以有222
17(1)
m m
+=+，解得144
m=，1145
m+=，即第8组勾股数为17，144，145.
故答案为17，144，145.
【点睛】
本题属规律性题目，考查的是勾股数之间的关系，根据题目中所给的勾股数及勾股定理进行分析即可．
20．5
【分析】
先将图形展开，再根据两点之间线段最短可知．
【详解】
圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，C 是边的中点，矩形的宽即高等于圆柱的母线长．
∵AB=π•2π=2，CB=1． ∴22AB ＋BC 222=5＋1
5
【点睛】
圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，矩形的宽即高等于圆柱的母线长．本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
三、解答题
21．（1）出发2秒后，线段PQ 的长为2132）当点Q 在边BC 上运动时，出发
83
秒后，△PQB 是等腰三角形；（3）当t 为5.5秒或6秒或6.6秒时，△BCQ 为等腰三角形.
【分析】
（1）由题意可以求出出发2秒后，BQ 和PB 的长度，再由勾股定理可以求得PQ 的长度； （2）设所求时间为t ，则可由题意得到关于t 的方程，解方程可以得到解答； （3）点Q 在边CA 上运动时，ΔBCQ 为等腰三角形有三种情况存在，对每种情况进行讨论可以得到解答．
【详解】
(1)BQ=2×2=4cm ，BP=AB−AP=8−2×1=6cm ，
∵∠B=90°，
由勾股定理得：22224652213BQ BP +=+==
∴出发2秒后，线段PQ 的长为13
(2)BQ=2t ，BP=8−t
由题意得：2t=8−t
解得：t=8 3
∴当点Q在边BC上运动时，出发8
3
秒后，△PQB是等腰三角形；
(3) ∵∠ABC=90°，BC=6，AB=8，∴AC=22
68
+=10.
①当CQ=BQ时(图1)，则∠C=∠CBQ，
∵∠ABC=90°，∴∠CBQ+∠ABQ=90°，∠A+∠C=90°，∴∠A=∠ABQ，∴BQ=AQ，∴CQ=AQ=5，
∴BC+CQ=11，∴t=11÷2=5.5秒；
②当CQ=BC时(如图2)，则BC+CQ=12
∴t=12÷2=6秒
③当BC=BQ时(如图3)，过B点作BE⊥AC于点E，
∴BE=
6824
105 AB BC
AC
⋅⨯
==，
所以22
BC BE
-=18
5
=3.6，
故CQ=2CE=7.2，
所以BC+CQ=13.2，
∴t=13.2÷2=6.6秒.
由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，△BCQ为等腰三角形.
【点睛】
本题考查三角形的动点问题，利用分类讨论思想和方程方法、综合力学的运动知识和三角形边角的有关知识求解是解题关键．
22．（1）见解析；（2）CD2AD+BD，理由见解析；（3）CD3+BD
【分析】
（1）由“SAS”可证△ADB≌△AEC；
（2）由“SAS”可证△ADB≌△AEC，可得BD＝CE，由直角三角形的性质可得DE2AD，可得结论；
（3）由△DAB≌△EAC，可知BD＝CE，由勾股定理可求DH＝
3
2
AD，由AD＝AE，
AH⊥DE，推出DH＝HE，由CD＝DE+EC＝2DH+BD3AD+BD，即可解决问题；【详解】
证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ADB≌△AEC（SAS）；
（2）CD2AD+BD，
理由如下：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ADB≌△AEC（SAS）；
∴BD＝CE，
∵∠BAC＝90°，AD＝AE，
∴DE2AD，
∵CD＝DE+CE，
∴CD2AD+BD；
（3）作AH⊥CD于H．
∵∠BAC ＝∠DAE ，
∴∠BAD ＝∠CAE ，
又∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，
∴△ADB ≌△AEC （SAS ）；
∴BD ＝CE ，
∵∠DAE ＝120°，AD ＝AE ，
∴∠ADH ＝30°，
∴AH ＝
12AD ， ∴DH 22AD AH -3， ∵AD ＝AE ，AH ⊥DE ，
∴DH ＝HE ，
∴CD ＝DE +EC ＝2DH +BD 3+BD ，
故答案为：CD 3+BD ．
【点睛】
本题是结合了全等三角形的性质与判定，勾股定理等知识的综合问题，熟练掌握知识点，有简入难，层层推进是解答关键.
23．（1）见详解（2）①结论：2
22BD FC DF +=，证明见详解②35
【分析】
（1）根据SAS ，只要证明BAD CAE ∠=∠即可解决问题；
（2）①结论：222BD FC DF +=．连接EF ，进一步证明90ECF ∠=︒，DF EF =，再利用勾股定理即可得证；②过点A 作AG BC ⊥于点G ，在Rt ADG 中求出AG 、DG 即可求解．
【详解】
解：（1）∵AE AD ⊥
∴90DAC CAE ∠+∠=︒
∵90BAC ∠=︒
∴90DAC BAD ∠+∠=︒
∴BAD CAE ∠=∠
∴在ABD △和ACE △中
AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴ABD △≌ACE △()SAS
（2）①结论：2
22BD FC DF +=
证明：连接EF ，如图：
∵ABD △≌ACE △
∴B ACE ∠=∠，BD CE =
∴90ECF BCA ACE BCA B ∠=∠+∠=∠+∠=︒
∴222FC CE EF +=
∴222FC BD EF +=
∵AF 平分DAE ∠
∴DAF EAF ∠=∠
∴在DAF △和EAF △中
AD AE DAF EAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴DAF △≌EAF △()SAS
∴DF EF =
∴222FC BD DF +=
即2
22BD FC DF +=
②过点A 作AG BC ⊥于点G ，如图：
∵由①可知222223425DF BD FC =+=+=
∴5DF =
∴35412BC BD DF FC =++=++=
∵AB AC =，AG BC ⊥ ∴1112622
BG AG BC ===⨯= ∴633DG BG BD =-=-=
∴在Rt ADG 中，AD ===
故答案是：（1）见详解（2）①结论：222BD FC DF +=，证明见详解②【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形的判定和性质以及角平分线的性质．综合性较强，属中档题，学会灵活应用相关知识点进行推理证明．
24．（1）①见解析；②DE ＝
297
；（2）DE 的值为 【分析】
（1）①先证明∠DAE ＝∠DAF ，结合DA ＝DA ，AE ＝AF ，即可证明；②如图1中，设DE ＝x ，则CD ＝7﹣x ．在Rt △DCF 中，由DF 2＝CD 2+CF 2，CF ＝BE ＝3，可得x 2＝（7﹣x ）2+32，解方程即可；
（2）分两种情形：①当点E 在线段BC 上时，如图2中，连接BE ．由△EAD ≌△ADC ，推出∠ABE ＝∠C ＝∠ABC ＝45°，EB ＝CD ＝5，推出∠EBD ＝90°，推出DE 2＝BE 2+BD 2＝62+32＝45，即可解决问题；②当点D 在CB 的延长线上时，如图3中，同法可得DE 2＝153．
【详解】
（1）①如图1中，
∵将△ABE 绕点A 逆时针旋转90°后，得到△AFC ，
∴△BAE ≌△CAF ，
∴AE ＝AF ，∠BAE ＝∠CAF ，
∵∠BAC ＝90°，∠EAD ＝45°，
∴∠CAD +∠BAE ＝∠CAD +∠CAF ＝45°，
∴∠DAE ＝∠DAF ，
∵DA ＝DA ，AE ＝AF ，
∴△AED ≌△AFD （SAS ）；
②如图1中，设DE ＝x ，则CD ＝7﹣x ．
∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，
∴∠B ＝∠ACB ＝45°，
∵∠ABE ＝∠ACF ＝45°，
∴∠DCF ＝90°，
∵△AED ≌△AFD （SAS ），
∴DE ＝DF ＝x ，
∵在Rt△DCF中， DF2＝CD2+CF2，CF＝BE＝3，∴x2＝（7﹣x）2+32，
∴x＝29
7
，
∴DE＝29
7
；
（2）∵BD＝3，BC＝9，
∴分两种情况如下：
①当点E在线段BC上时，如图2中，连接BE．
∵∠BAC＝∠EAD＝90°，
∴∠EAB＝∠DAC，
∵AE＝AD，AB＝AC，
∴△EAB≌△DAC（SAS），
∴∠ABE＝∠C＝∠ABC＝45°，EB＝CD＝9-3=6，
∴∠EBD＝90°，
∴DE2＝BE2+BD2＝62+32＝45，
∴DE＝35；
②当点D在CB的延长线上时，如图3中，连接BE．
同理可证△DBE是直角三角形，EB＝CD＝3+9=12，DB＝3，
∴DE2＝EB2+BD2＝144+9＝153，
∴DE＝317，
综上所述，DE的值为35或317．
【点睛】
本题主要考查旋转变换的性质，三角形全等的判定和性质以及勾股定理，添加辅助线，构造旋转全等模型，是解题的关键．
25．（1）假；（2）∠A＝45°；（3）①不能，理由见解析，②见解析
【分析】
（1）先由直角三角形是类勾股三角形得出ab+a2=c2，再由勾股定理得a2+b2=c2，即可判断出此直角三角形是等腰直角三角形；
（2）由类勾股三角形的定义判断出此三角形是等腰直角三角形，即可得出结论；
（3）①分三种情况，利用等腰三角形的性质即可得出结论；
②先求出CD=CB=a，AD=CD=a，DB=AB-AD=c-a，DG=BG=1
2
（c-a），AG=
1
2
（a+c），两个
直角三角形中利用勾股定理建立方程即可得出结论．
【详解】
解：（1）如图1，假设Rt△ABC是类勾股三角形，
∴ab+a2＝c2，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据勾股定理得，a2+b2＝c2，
∴ab+b2＝a2+b2，
∴ab＝a2，
∴a＝b，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴等腰直角三角形是类勾股三角形，
即：原命题是假命题，
故答案为：假；
（2）∵AB＝BC，AC＞AB，
∴a＝c，b＞c，
∵△ABC是类勾股三角形，
∴ac+a2＝b2，
∴c2+a2＝b2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A＝45°，
（3）①在△ABC中，∠ABC＝2∠BAC，∠BAC＝32°，
∴∠ABC＝64°，
根据三角形的内角和定理得，∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝84°，
∵把这个三角形分成两个等腰三角形，
∴（Ⅰ）、当∠BCD＝∠BDC时，
∵∠ABC＝64°，
∴∠BCD＝∠BDC＝58°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝84°﹣58°＝26°，∠ADC＝∠ABC+∠BCD＝122°∴△ACD不是等腰三角形，此种情况不成立；
（Ⅱ）、当∠BCD＝∠ABC＝64°时，
∴∠BDC＝52°，
∴∠ACD＝20°，∠ADC＝128°，
∴△ACD是等腰三角形，此种情况不成立；
（Ⅲ）、当∠BDC＝∠ABC＝64°时，
∴∠BCD＝52°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣BCD＝32°＝∠BAC，
∴△ACD是等腰三角形，
即：分割线和顶角标注如图2所示，
Ⅱ、分∠ABC，同（Ⅰ）的方法，判断此种情况不成立；Ⅲ、分∠BAC，同（Ⅱ）的方法，判断此种情况不成立；
②如图3，在AB边上取点D，连接CD，使∠ACD＝∠A
图3
作CG⊥AB于G，
∴∠CDB＝∠ACD+∠A＝2∠A，
∵∠B＝2∠A，
∴∠CDB＝∠B，
∴CD＝CB＝a，
∵∠ACD＝∠A，
∴AD＝CD＝a，
∴DB＝AB﹣AD＝c﹣a，
∵CG⊥AB，
∴DG＝BG＝1
2
（c﹣a），
∴AG＝AD+DG＝a+1
2
（c﹣a）＝
1
2
（a+c），
在Rt△ACG中，CG2＝AC2﹣AG2＝b2﹣[1
2
（c+a）]2，
在Rt △BCG 中，CG 2＝BC 2﹣BG 2＝a 2﹣[
12（c ﹣a ）]2， ∴b 2﹣[12（a +c ）]2＝a 2﹣[12
（c ﹣a ）]2， ∴b 2＝ac +a 2，
∴△ABC 是“类勾股三角形”．
【点睛】
此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，新定义“类勾股三角形”，分类讨论的数学思想，解本题的关键是理解新定义．
26．（1）13，5；（2）等腰直角三角形，理由见解析；（3）当P 的坐标为（
1304，）
时，PD+PF
【解析】
【分析】
（1）根据阅读材料中A 和B 的坐标，利用两点间的距离公式即可得出答案；由于M 、N 在平行于y 轴的直线上，根据M 和N 的纵坐标利用公式1|y -2|y 即可求出MN 的距离; （2）由三个顶点的坐标分别求出DE ，DF ，EF 的长，即可判定此三角形的形状；
（3）作F 关于x 轴的对称点F'，连接DF'，与x 轴交于点P ，此时PD PF +最短，最短距离为DF'，P 的坐标即为直线DF'与x 轴的交点.
【详解】
解：（1）∵()2, 4A 、()3, 8B --
∴AB 13==
故A 、B 两点间的距离为：13.
∵M 、N 在平行于y 轴的直线上，点M 的纵坐标为4，点N 的纵坐标为-1
∴()MN 415=--=
故M 、N 两点的距离为5.
（2）∵()1, 6D 、()3, 3E -、()4, 2F
∴DE 5==
DF 5=
=
EF ==∴DE=DF ，222DE DF EF +=
∴△DEF 为等腰直角三角形
（3）
作F 关于x 轴的对称点F'，连接DF'，与x 轴交于点P ，此时DP+PF 最短
设直线DF'的解析式为y=kx+b
将D （1,6），F'（4，-2）代入得：
642
k b k b +=⎧⎨+=-⎩ 解得83263k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
∴直线DF'的解析式为：826y 33x =-
+ 令y=0，解得13x 4=
，即P 的坐标为（1304，） ∵PF=PF'
∴PD+PF=PD+ PF'= DF'()()22146273-++=故当P 的坐标为（
1304，）时，PD+PF 73 【点睛】 本题属于一次函数综合题，待定系数法求一次函数解析式以及一次函数与x 轴的交点，弄清楚材料中的距离公式是解决本题的关键.
27．(1)①见解析；②()22012x y x x
-=
<<-；（2）见解析 【解析】
【分析】
（1）①连接DE ，如图1，先用SAS 证明△CBE ≌△CDE ，得EB=ED ，∠CBE =∠1，再用四边形的内角和可证明∠EBC =∠2，从而可得∠1=∠2，进一步即可证得结论；
②将△BAE 绕点B 顺时针旋转90°，点E 落在点P 处，如图2，用SAS 可证
△PBG ≌△EBG ，所以PG=EG =2－x －y ，在直角三角形PCG 中，根据勾股定理整理即得y 与x 的函数关系式，再根据题意写出x 的取值范围即可.
（2）由（1）题已得EB=ED ，根据正方形的对称性只需再确定点E 关于点O 的对称点即可，考虑到只有直尺，可延长BE 交AD 于点M ，再连接MO 并延长交BC 于点N ，再连接
DN交AC于点Q，问题即得解决.
【详解】
（1）①证明：如图1，连接DE，∵四边形ABCD是正方形，∴CB=CD，∠BCE=∠DCE=45°，
又∵CE=CE，∴△CBE≌△CDE（SAS），
∴EB=ED，∠CBE=∠1，
∵∠BEC=90°，∠BCF=90°，
∴∠EBC+∠EFC=180°，
∵∠EFC+∠2=180°，
∴∠EBC=∠2，
∴∠1=∠2.
∴ED=EF，
∴BE=EF.
②解：∵正方形ABCD
的边长为2，∴对角线AC=2.
将△BAE绕点B顺时针旋转90°，点A与点C重合，点E落在点P处，如图2，则△BAE≌△BCP，
∴BE=BP，AE=CP=x，∠BAE=∠BCP=45°，∠EBP=90°，
由①可得，∠EBF=45°，∴∠PBG=45°=∠EBG，
在△PBG与△EBG中，
PB EB
PBG EBG BG BG
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△PBG≌△EBG（SAS）.∴PG=EG=2－x－y，
∵∠PCG =∠GCB +∠BCP =45°+45°=90°，
∴在Rt △PCG 中，由222PC CG PG +=，得()2
222x y x y +=--， 化简，得()22012x y x x
-=
<<-. （2）如图3，作法如下：
①延长BE 交AD 于点M ， ②连接MO 并延长交BC 于点N ，
③连接DN 交AC 于点Q ，
④连接DE 、BQ ，
则四边形BEDQ 为菱形.
【点睛】
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、四边形的内角和、勾股定理和菱形的作图等知识，其中通过三角形的旋转构造全等三角形是解决②小题的关键，利用正方形的对称性确定点Q 的位置是解决（2）题的关键.
28．(1)45°；(2)GF=AG+CF ，证明见解析；(3)①6； ②s ab =，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）如图1中，连接BE ．利用全等三角形的性质证明EB=ED ，再利用等角对等边证明EB=EF 即可解决问题．
（2）猜想：GF=AG+CF ．如图2中，将△CDF 绕点D 旋转90°，得△ADH ，证明
△GDH ≌△GDF （SAS ）即可解决问题．
（3）①设CF=x ，则AH=x ，BF=6-x ，GF=3+x ，利用勾股定理构建方程求出x 即可． ②设正方形边长为x ，利用勾股定理构建关系式，利用整体代入的思想解决问题即可．
【详解】
解：（1）如图1中，连接BE ．
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=CB，∠ECD=∠ECB=45°，
∵EC=EC，
∴△ECB≌△ECD（SAS），
∴EB=ED，∠EBC=∠EDC，
∵∠DEF=∠DCF=90°，
∴∠EFC+∠EDC=180°，
∵∠EFB+∠EFC=180°，
∴∠EFB=∠EDC，
∴∠EBF=∠EFB，
∴EB=EF，
∴DE=EF，
∵∠DEF=90°，
∴∠EDF=45°
故答案为45°．
（2）猜想：GF=AG+CF．
如图2中，将△CDF绕点D旋转90°，得△ADH，
∴∠CDF=∠ADH，DF=DH，CF=AH，∠DAH=∠DCF=90°，∵∠DAC=90°，
∴∠DAC+∠DAH=180°，
∴H、A、G三点共线，
∴GH=AG+AH=AG+CF，
∵∠EDF=45°，
∴∠CDF+∠ADG=45°，
∴∠ADH+∠ADG=45°
∴∠GDH=∠EDF=45°
又∵DG=DG
∴△GDH≌△GDF（SAS）
∴GH=GF，
∴GF=AG+CF．
（3）①设CF=x，则AH=x，BF=6-x，GF=3+x，
则有（3+x）2=（6-x）2+32，
解得x=2
∴S△BFG=1
2
•BF•BG=6．
②设正方形边长为x，
∵AG=a，CF=b，
∴BF=x-b，BG=x-a，GF=a+b，
则有（x-a）2+（x-b）2=（a+b）2，化简得到：x2-ax-bx=ab，
∴S=1
2（x-a）（x-b）=
1
2
（x2-ax-bx+ab）=
1
2
×2ab=ab．
【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
29．（1）S=
24(06)
464(616)
t
t t
<
⎧
⎨
-+<<
⎩
（2）
10
,10
3
⎛⎫
⎪
⎝⎭
（3）存在，(6,6)
或(6,10-
，
(6,2)
【解析】
【分析】
（1）当P在AC段时，△BPD的底BD与高为固定值，求出此时面积；当P在BC段时，底边BD为固定值，用t表示出高，即可列出S与t的关系式；
（2）当点B的对应点B′恰好落在AC边上时，设P（m，10），则PB=PB′=m，由勾股定理得m2=22+（6-m）2，即可求出此时P坐标；
（3）存在，分别以BD，DP，BP为底边三种情况考虑，利用勾股定理及图形与坐标性质求出P坐标即可．
【详解】
解：（1）∵A，B的坐标分别是（6，0）、（0，10），
∴OA=6，OB=10，
当点P在线段AC上时，OD=2，BD=OB-OD=10-2=8，高为6，
∴S=
1
2
×8×6=24；
当点P在线段BC上时，BD=8，高为6+10-t=16-t，
∴S=
1
2
×8×（16-t）=-4t+64；
∴S与t之间的函数关系式为：
240t6
S
4t64(6t16)
<≤
⎧
=⎨
-+<<
⎩
（）
；
（2）设P（m，10），则PB=PB′=m，如图1，。