2019版高考数学(理科)总复习练习：2.3 导数与积分 含解析

2.3导数与积分
命题角度1导数的运算与几何意义
高考真题体验·对方向
1.(2018全国Ⅰ·5)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为()
A.y=-2x
B.y=-x
D.y=x
答案 D
解析因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),即-x3+(a-1)x2-ax=-x3-(a-1)x2-ax,解得a=1,则f(x)=x3+x.
由f'(x)=3x2+1,得在(0,0)处的切线斜率k=f'(0)=1.故切线方程为y=x.
2.(2016山东·10)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是()
x B.y=ln x C.y=e x D.y=x3
答案 A
解析当y=sin x时,y'=cos x,因为cos 0·cos π=-1,所以在函数y=sin x图象存在两点x=0,x=π使条件成立,故A正确;函数y=ln x,y=e x,y=x3的导数值均非负,不符合题意,故选A.
Ⅱ·13)曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为.
答案y=2x
解析∵y'=,∴当x=0时,y'=2,
曲线在(0,0)处的切线方程为y=2x.
Ⅲ·14)直线y=(ax+1)e x在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a=.
答案-3
解析设f(x)=(ax+1)e x,
∵f'(x)=a·e x+(ax+1)e x=(ax+a+1)e x,
∴f(x)=(ax+1)e x在(0,1)处的切线斜率k=f'(0)=a+1=-2,∴a=-3.
5.(2016全国Ⅱ·16)若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b=.
答案1-ln 2
解析对函数ln x+2求导,得y'=,对函数y=ln(x+1)求导,得y'=.设直线y=kx+b与曲线y=ln x+2相切于点P1(x1,y1),与曲线y=ln(x+1)相切于点P2(x2,y2),则y1=ln x1+2,y2=ln(x2+1).由点P1(x1,y1)在切线上,得y-(ln x1+2)=(x-x1),由点P2(x2,y2)在切线上,得y-ln(x2+1)=(x-x2).因为这两条直线表示同一条直线,
所以
解得x1=,
所以k==2,b=ln x1+2-1=1-ln 2.
6.(2015陕西·15)设曲线y=e x在点(0,1)处的切线与曲线y=(x>0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为.
答案(1,1)
解析曲线y=e x在点(0,1)处的切线斜率k=y'=e x|x=0=1;由y=,可得y'=-,因为曲线y=(x>0)在点P处的切线与曲线y=e x在点(0,1)处的切线垂直,故-=-1,解得x P=1,由y=,得y P=1,故所求点P 的坐标为(1,1).
新题演练提能·刷高分
1.(2018江西第二次检测)已知函数f(x)=ln(ax-1)的导函数是f'(x),且f'(2)=2,则实数a的值为()
B. C. D.1
答案 B
解析∵f'(x)=,∴=2,a=,选B.
2.(2018重庆二诊)曲线xy-x+2y-5=0在点A(1,2)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为()
B. C. D.
答案 B
解析由xy-x+2y-5=0,得y=f(x)=,
f'(x)=,∴f'(1)=-.
∴曲线在点A(1,2)处的切线方程为y-2=-(x-1).
令x=0,得y=;令y=0,得x=7.故切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为S=×7=.
3.(2018辽宁大连一模)过曲线y=e x上一点P(x0,y0)作曲线的切线,若该切线在y轴上的截距小于0,则x0的取值范围是()
A.(0,+∞)
B.,+∞
) D.(2,+∞)
答案 C
解析y=e x,y'=e x,切线斜率为,切线方程为y-y0=(x-x0),当x=0时,y=-x0+y0=-x0(1-x0)<0,∴x0>1,则x0的取值范围是(1,+∞),故选C.
)函数y=e x+sin x在点(0,1)处的切线方程是.
答案2x-y+1=0
解析∵函数y=e x+sin x,∴y'=e x+cos x,
∴y'|x=0=e0+cos 0=2,
∴函数y=e x+sin x在点(0,1)处的切线方程是y-1=2x,即2x-y+1=0.
5.(2018海南二模)已知函数f(x)的导函数为f'(x),且满足关系式f(x)=3xf'(2)+ln x,则f'(1)的值等于.
答案
解析由f(x)=3xf'(2)+ln x,可得f'(x)=3f'(2)+,
f'(2)=3f'(2)+,解得f'(2)=-,
∴f'(1)=3f'(2)+1=.
6.(2018陕西质量检测)已知函数f(x)=2ln x和直线l:2x-y+6=0,若点P是函数f(x)图象上的一点,则点P到直线l的距离的最小值为.
答案
解析设直线y=2x+m与函数f(x)的图象相切于点P(x0,y0)(x0>0).
f'(x)=,则f'(x0)==2,解得x=1.
∴P(1,0).
则点P到直线2x-y+6=0的距离d=.
即为点P到直线2x-y+6=0的距离的最小值.
命题角度2导数与函数的单调性、极值和最值
高考真题体验·对方向
1.(2017浙江·7)函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是()
答案 D
解析设导函数y=f'(x)的三个零点分别为x1,x2,x3,且x1<0<x2<x3.
所以在区间(-∞,x1)和(x2,x3)上,f'(x)<0,f(x)是减函数,
在区间(x1,x2)和(x3,+∞)上,f'(x)>0,f(x)是增函数,
所以函数y=f(x)的图象可能为D,故选D.
2.(2017全国Ⅱ·11)若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)e x-1的极值点,则f(x)的极小值为()
A.-1
B.-2e-3
-3D.1
答案 A
解析由题意可得,
f'(x)=(2x+a)e x-1+(x2+ax-1)e x-1=[x2+(a+2)x+a-1]e x-1.
因为x=-2是函数f(x)的极值点,
所以f'(-2)=0.所以a=-1.
所以f(x)=(x2-x-1)e x-1.
所以f'(x)=(x2+x-2)e x-1.
令f'(x)=0,解得x1=-2,x2=1.
当x变化时,f'(x),f(x)
x(-∞,-2)-2(-2,1)1(1,+∞)
f'(x)+0-0+
f(x)↗极
大
值
↘
极
小
值
↗
所以当x=1时,f(x)有极小值,并且极小值为f(1)=(1-1-1)e1-1=-1,故选A.
3.(2017山东·15)若函数e x f(x)(e=2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质.下列函数中所有具有M性质的函数的序号为.
①f(x)=2-x②f(x)=3-x③f(x)=x3④f(x)=x2+2
答案①④
解析对①,设g(x)=e x·2-x,
则g'(x)=e x
=e x·2-x·>0,
∴g(x)在R上单调递增,具有M性质;
对②,设g(x)=e x·3-x,
则g'(x)=e x
=e x·3-x<0,
∴g(x)在R上单调递减,不具有M性质;
对③,设g(x)=e x·x3,则g'(x)=e x·x2(x+3),令g'(x)=0,得x1=-3,x2=0,
∴g(x)在(-∞,-3)上单调递减,在(-3,+∞)上单调递增,不具有M性质;
对④,设g(x)=e x(x2+2),则g'(x)=e x(x2+2x+2),
∵x2+2x+2=(x+1)2+1>0,
∴g'(x)>0,∴g(x)在R上单调递增,具有M性质.故填①④.
新题演练提能·刷高分
1.(2018安徽安庆二模)已知函数f(x)=2e f'(e)ln x-(e是自然对数的底数),则f(x)的极大值为()
A.2e-1
B.-
D.2ln 2
答案 D
解析∵f'(x)=,
f'(e)=,∴f'(e)=,
∴f'(x)=.令f'(x)=0,则x=2e.
∴x∈(0,2e)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;
x∈(2e,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减.
∴f(x)的极大值为f(2e)=2ln 2e-2=2ln 2,选D.
2.(2018黑龙江齐齐哈尔一模)若x=1是函数f(x)=ax2+ln x的一个极值点,则当x∈,e时,f(x)的最小值为()
A.1-
B.-e+
D.e2-1
答案 A
解析由题意得f'(x)=2ax+,∵f'(1)=0,
2a+1=0.∴a=-.
当x∈,1时,f'(x)≥0,当x∈[1,e]时,f'(x)≤0,
∴f(x)min=min=1-,选A.
3.(2018河北唐山二模)已知函数f(x)满足f(x)>f'(x),在下列不等关系中,一定成立的是()
A.e f(1)>f(2)
B.e f(1)<f(2)
C.f(1)>e f(2)
D.f(1)<e f(2)
答案 A
解析由题意得f'(x)-f(x)<0,∴<0,
∴<0,
∴<0,
∴'<0,
∴y=在R上是减函数.
∵1<2,∴,
∴e f(1)>f(2),故选A.
4.(2018河南中原名校质量考评)已知f(x)=(x2+2ax)ln x-x2-2ax在(0,+∞)上是增函数,则实数a 的取值范围是()
A.{1}
B.{-1}
C.(0,1]
D.[-1,0)
答案 B
解析f(x)=(x2+2ax)ln x-x2-2ax,f'(x)=2(x+a)ln x,
已知f(x)在(0,+∞)上是增函数,
∴f'(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,
当x=1时,f'(x)=0满足题意.
当x>1时,ln x>0,要使f'(x)≥0恒成立,则x+a≥0恒成立,
∵x+a>1+a,∴1+a≥0,解得a≥-1.
当0<x<1时,ln x<0,要使f'(x)≥0恒成立,则x+a≤0恒成立,
∵x+a<1+a,∴1+a≤0,解得a≤-1.
综上所述,a=-1,故选B.
5.(2018山东烟台一模)已知函数y=f(x)对任意的x∈(0,π)满足f'(x)sin x>f(x)cos x(其中f'(x)为函数f(x)的导函数),则下列不等式成立的是()
A.f<f
B.f>f
C.f>f
D.f<f
答案 B
解析令F(x)=,x∈(0,π),则F'(x)=,
∵f'(x)sin x>f(x)cos x,
∴f'(x)sin x-f(x)cos x>0,∴F'(x)>0,
∴y=F'(x)在(0,π)内为单调递增函数.
∴F>F,即,即f>f,故选B.
6.(2018山东菏泽一模)已知函数f(x)=x3-ax+2的极大值为4,若函数g(x)=f(x)+mx在(-3,a-1)上的极小值不大于m-1,则实数m的取值范围是()
A.-9,-
B.-9,-
C.-,+∞
D.(-∞,-9)
答案 B
解析∵f'(x)=3x2-a,
当a≤0时,f'(x)≥0,f(x)无极值;
当a>0时,易得f(x)在x=-处取得极大值,
则有f-=4,即a=3,
于是g(x)=x3+(m-3)x+2,g'(x)=3x2+(m-3).
当m-3≥0时,g'(x)≥0,g(x)在(-3,2)上不存在极小值.
当m-3<0时,易知g(x)在x=处取得极小值,
依题意有解得-9<m≤-.故选B.
7.(2018新疆乌鲁木齐第二次质量监测)已知函数f(x)与其导函数f'(x)的图象如图所示,则满足f'(x)<f(x)的x的取值范围为()
A.(0,4)
B.(-∞,0),(1,4)
C.0,
D.(0,1),(4,+∞)
答案 D
解析根据导函数与原函数的关系可知,当f'(x)>0时,函数f(x)单调递增,当f'(x)<0时,函数f(x)单调递减.由图象可知,当0<x<1时,函数y=f'(x)的图象在y=f(x)图象的下方,满足f'(x)<f(x);当x>4时,函数y=f'(x)的图象在y=f(x)图象的下方,满足f'(x)<f(x).所以满足f'(x)<f(x)的解集为{x|0<x<1或x>4},故选D.
8.(2018云南昆明质检)已知函数f(x)=+k(ln x-x),若x=1是函数f(x)的唯一极值点,则实数k的取值范围是()
A.(-∞,e]
B.(-∞,e)
C.(-e,+∞)
D.[-e,+∞)
答案 B
解析由函数f(x)=+k(ln x-x),可得f'(x)=+-1=-k,已知f(x)有唯一极值点x=1,∴f'(x)=0有唯一解x=1.∴-k=0无解,即y=k与g(x)=无交点.g'(x)=,由g'(x)>0得g(x)在[1,+∞)上递增,由g'(x)<0得g(x)在(0,1)上递减,∴g(x)min=g(1)=e.∴k<e,即实数k的取值范围是(-∞,e),故选B.
命题角度3定积分的计算与应用
高考真题体验·对方向
(2015天津·11)曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭图形的面积为.
答案
解析在同一平面直角坐标系中作出函数y=x2与y=x的图象如图,所围成的封闭图形如图中阴影所示,设其面积为S.
由
故所求面积S=(x-x2)d x=.
新题演练提能·刷高分
1.(2018陕西西安期末)f(x)=且f(f(e))=10,则m的值为()
A.1
B.2
C.-1
D.-2
答案 B
解析因为3t2d t=t3=m3,所以有f(x)=f(e)=ln e=1,
∴f(f(e))=f(1)=2+m3=10,解得m=2,故选B.
2.(2018安徽马鞍山第二次质量监测)若(sin x+cos x)d x=,则a的值不可能为()
A. B. C. D.
答案 B
解析由题意得(sin x-cos x)=(sin a-cos a)-sin -cos =sin a-cos a=sin a-=,所以
sin a-=,验证各选项,把a=代入,sin ,显然不成立,故选B.
3.(2018河南商丘期末)如图,在由x=0,y=0,x=及y=cos x围成的区域内任取一点,则该点落在x=0,y=sin x及y=cos x围成的区域内(阴影部分)的概率为()
A.1-
B.
D.-1
答案 D
解析由x=0,y=0,x=及y=cos x围成的区域面积S=cos x d x=sin x=sin =1.由x=0,y=sin x及y=cos x围成的区域面积S'=(cos x-sin x)d x=(sin x+cos x)-1=-1.根据几何概型的概率公式可得所求的概率P=-1,故选D.
4.(2018河北唐山二模)曲线y=x3与直线y=x在第一象限内所围成的封闭图形的面积为.
答案
解析把曲线y=x3与直线y=x的方程联立解得x=0或x=1.由题意得曲线y=x3与直线y=x 所围成的封闭图形的面积为S=(x-x3)d x=x2-x4×12-×14=.
5.(2018湖南八市学评)直线y=4x与曲线y=4x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为.
答案 1
解析由题意知直线y=4x与曲线y=4x3在第一象限内所围成的封闭图形如图所示,
又由解得x=0或x=1,
所以封闭图形的面积为S=(4x-4x3)d x=(2x2-x4)=1.
6.(2018天津期末联考)已知曲线y=x3与直线y=kx(k>0)在第一象限内围成的封闭图形的面积为4,则k=.
答案 4
解析联立方程可得解得x=0或x=,先根据题意画出图形,如图阴影部分所示.
直线y=kx与曲线y=x3所围图形的面积
S=(kx-x3)d x=kx2-x4k2-k2=k2=4,解得k=4.
7.(2018广东六校第三次联考)已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,则
f(x-2)+d x=.
答案ln 3
解析由定积分的运算性质可得f(x-2)+d x=f(x-2)d x+d x.
∵函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(x-2)d x=f(x)d x=0.
∵d x=ln x=ln 3,
∴f(x-2)+d x=f(x-2)d x+d x=ln 3.
8.(2018河南4月适应性考试)如图,已知点A(0,1),点P(x0,y0)(x0>0)在曲线y=x2上移动,过P点作PB垂直x轴于点B,若图中阴影部分的面积是四边形AOBP面积的,则P点的坐标为.
答案(1,1)
解析设P(a,a2),则四边形AOBP的面积为(1+a2)a,阴影部分的面积为x2d x=x3a3,
∴a3=(1+a2)a,
∴a=1.所以点P的坐标为(1,1).。