【高中数学】高中数学选修22公开课教案3.2《复数的四则运算》素材

复数中的几个结论及共应用
数系由实数系扩充到复数系之后，实数系中哪些公式和法则仍然成立，哪些不成立，又有哪些新的公式和法则，是同学们不易弄清的问题，以下给出几则在复数系中仍然成立的公式和法则及几个新的公式和法则，并简单举例说明其应用.
一、中点公式：A 点对应的复数为1111()a b i a b +∈∈R R ，，B 点对应的复数为2222()a b i a b +∈∈R R ，，C 点为A
B ，两点的中点，则
C 点对应的复数为11222
a b i a b i
+++，
即
1212
22
a a
b b i +++． 例1 四边形ABCD 是复平面内的平行四边形，A B C ，，三点对应的复数分别为132i i i +-+，，，求D 点对应的复数． 解：由已知应用中点公式可得A C ，的中点对应的复数为
3
22
i +，所以D 点对应的复数为3
2[22(1)]352
i i ⨯+⨯--=+．
二、根与系数的关系：若实系数方程20(0)ax bx c a ++=≠的两复根为11a b i +，22a b i +，
则有1122b a b i a b i a +++=-，1122()()c
a b i a b i a
++=·．
推论：若实系数方程20(0)ax bx c a ++=≠有两虚数根，则这两个虚数根共轭． 例2 方程20x ax b ++=的一个根为1i +，求实数a ，b 的值．
解：已知实系数方程的一个根为1i +，由推论知方程的另一根为1i -，由根与系数的关系可知(11)2a i i =-++-=-，(1)(1)2b i i =+-=·．
三、相关运算性质：①z 为实数2
220z z z z z ⇔=⇔>⇔=，z 为纯虚数200(0)z z z z ⇔<⇔+=≠；②对任意复数有z z =；③1212z z z z ±=±；④1212z z z z =··，特
别地有22()z z =；⑤1
122
z z z z ⎛⎫= ⎪⎝⎭；⑥2
z z
z =·． 例3 设1z =，且z i ≠±，求证
2
1z
z +为实数． 证明：由条件可知0z ≠，则2
1z
z z ==·， 所以1
1z z z -==，1212
222211()
11()11z z z z z z z z z z z z --⎛⎫=-=== ⎪++++⎝⎭++， 所以2
1z
z +为实数．
四、两则几何意义：①0z z -的几何意义为点z 到点0z 的距离；②0(0)z z r r -=>中z
所对应的点为以复数0z 所对应的点为圆心，半径为r 的圆上的点．
例4 若z C ∈，且221z i +-=，则22z i --的最小值为 ．
解：221z i +-=即(22)1z i --+=，z 对应的点为到点(22)-，的距离为定值1的所有的点，即以(22)-，为圆心，1为半径的圆O 上的点．22z i --即(22)z i -+，为圆O 上的点与点(22)，之间的距离减去圆O 的半径，可得结果为3．
复数与平行四边形家族
菱形、矩形、正方形等特殊的平面几何图形与某些复数式之间存在某种联系及相互转化的途径．在求解复数问题时，要善于考察条件中给定的或者是通过推理所得的复数形式的结构特征，往往能获得简捷明快、生动活泼的解决方法．下面略举几例，以供参考． 一、复数式与长方形的转化
例1 复数1z ，2z 满足120z z ≠，1212z z z z +=-，证明：2
122
0z z <．
解析：设复数1z ，2z 在复平面上对应的点为1Z ，2Z ，由1212z z z z +=-知，以1OZ ，2OZ 为邻边的平行四边形为矩形，12OZ OZ ⊥∴，故可设
1
2
(0)z ki k k z =∈≠R ，，所以2
222122
10z k k z ==-<． 例2 已知复数1z ，2z 满足171z =，271z =，且124z z -=，求
1
2
z z 与12z z +的值．
解析：设复数1z ，2z 在复平面上对应的点为1Z ，2Z ，由于222(71)(71)4+=，故2
2
2
2112z z z z +=-，
故以1OZ ，2OZ 为邻边的平行四边形是矩形，从而12OZ OZ ⊥，则12714771
z z ++==-；12124z z z z +=-=．
二、复数式与正方形的转化
例3 已知复数12z z ，满足121z z ==，且122z z -=，求证：122z z +=． 证明：设复数12z z ，在复平面上对应的点为1Z ，2Z ，由条件知121222z z -==，
以1OZ ，2OZ 为邻边的平行四边形为正方形，而12z z +在复平面上对应的向量为正方形的一条对角线，所以122z z +=．
点评：复数与向量的对应关系赋予了复数的几何意义，复数加法几何意义的运用是本题考查的重点．
三、复数式与菱形的转化
例4 已知12z z ，∈C ，121z z ==，123z z +=，求12z z -．
解析：设复数12z z ，，12z z +在复平面上对应的点为123Z Z Z ，，，由121z z ==知，以1OZ ，2OZ 为邻边的平行四边形是菱形，22z a =∴，z a =∴，考虑到z a =±时，
22
220z a z a -=+；z ai =±时，222
2z a z a -+无意义，故使2222z a z a -+(0)a >为纯虚数的充要条件是z a =，且z a ≠±，z ai ≠±．
复数的加减法符合平行四边形法则，是复数与平行四边形家族联姻的前提．通过本文我们发现深入抓住复数加减法的几何意义的本质，可使我们求解复数问题的思路更加广阔，方法也更加灵活．
高考数学：试卷答题攻略
一、“六先六后”，因人因卷制宜。

考生可依自己的解题习惯和基本功，选择执行“六先六后”的战术原则。

1.先易后难。

2.先熟后生。

3.先同后异。

先做同科同类型的题目。

4.先小后大。

先做信息量少、运算量小的题目，为解决大题赢得时间。

5.先点后面。

高考数学解答题多呈现为多问渐难式的“梯度题”，解答时不必一气审到底，应走一步解决一步，步步为营，由点到面。

6.先高后低。

即在考试的后半段时间，如估计两题都会做，则先做高分题;估计两题都不易，则先就高分题实施“分段得分”。

二、一慢一快，相得益彰，规范书写，确保准确，力争对全。

审题要慢，解答要快。

在以快为上的前提下，要稳扎稳打，步步准确。

假如速度与准确不可兼得的话，就只好舍快求对了。

三、面对难题，以退求进，立足特殊，发散一般，讲究策略，争取得分。

对于一个较一般的问题，若一时不能取得一般思路，可以采取化一般为特殊，化抽象为具体。

对不能全面完成的题目有两种常用方法：1.缺步解答。

将疑难的问题划分为一个个子问题或一系列的步骤，每进行一步就可得到一步的分数。

2.跳步解答。

若题目有两问，第一问做不上，可以第一问为“已知”，完成第二问。

四、执果索因，逆向思考，正难则反，回避结论的肯定与否定。

对一个问题正面思考受阻时，就逆推，直接证有困难就反证。

对探索性问题，不必追求结论的“是”与“否”、“有”与“无”，可以一开始，就综合所有条件，进行严格的推理与讨论，则步骤所至，结论自明。

理综求准求稳求规范第一：认真审题。

审题要仔细，关键字眼不可疏忽。

不要以为是“容易题”“陈题”就一眼带过，要注意“陈题”中可能有“新意”。

也不要一眼看上去认为是“新题、难题”就畏难而放弃，要知道“难题”也可能只难在一点，“新题”只新在一处。

第二：先易后难。

试卷到手后，迅速浏览一遍所有试题，本着“先易后难”的原则，确定科学的答题顺序，尽量减少答题过程中的学科转换次数。

高考试题的组卷原则是同类题尽量
按由易到难排列，建议大家由前向后顺序答题，遇难题千万不要纠缠。

第三：选择题求稳定。

做选择题时要心态平和，速度不能太快。

生物、化学选择题只有一个选项，不要选多个答案;对于没有把握的题，先确定该题所考查的内容，联想平时所学的知识和方法选择;若还不能作出正确选择，也应猜测一个答案，不要空题。

物理题为不定项选择，在没有把握的情况下，确定一个答案后，就不要再猜其他答案，否则一个正确，一个错误，结果还是零分。

选择题做完后，建议大家立即涂卡，以免留下后患。

第四：客观题求规范。

①用学科专业术语表达。

物理、化学和生物都有各自的学科语言，要用本学科的专业术语和规范的表达方式来组织答案，不能用自造的词语来组织答案。

②叙述过程中思路要清晰，逻辑关系要严密，表述要准确，努力达到言简意赅，切中要点和关键。

③既要规范书写又要做到文笔流畅，不写病句和错别字，特别是专业名词和概念。

④遇到难题，先放下，等做完容易的题后，再解决，尽量回忆本题所考知识与我们平时所学哪部分知识相近、平时老师是怎样处理这类问题的。

⑤尽量不要空题，不会做的，按步骤尽量去解答，努力抓分。

记住：关键时候“滥竽”也是可以“充数”的。