广东省深圳市龙岗区2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)

广东省深圳市龙岗区2019-2020学年高一上学期期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.sin11π
3
=()
A. √3
2B. −√3
2
C. 1
2
D. −1
2
2.集合A={0,2}，B={x∈N|x<3}，则A∩B=()
A. {2}
B. {0,2}
C. (0,2]
D. [0,2]
3.设函数f(θ)=√3sinθ+cosθ，其中角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终
边经过点P(1
2,√3
2
)，则f(θ)=()
A. 2
B. √3
C. 1
D. √3
2
4.下列函数中，既是偶函数，又在(0,+∞)上是单调减函数的是()
A. y=−2|x|
B. y=x12
C. y=ln|x+1|
D. y=cosx
5.设a=log2.83.1，b=logπe，c=log eπ，则()
A. a<c<b
B. c<a<b
C. b<a<c
D. b<c<a
6.若 x
0是方程 log2x−4
x
=0的根，则 x0所在的区间为()
A. (0,1)
B. (1,2)
C. (2,3)
D. (3,4)
7.要得到y=sin(3x−π
3
)的图象，只需将函数y=sin3x的图象()
A. 向左平移π
3个长度单位 B. 向右平移π
3
个长度单位
C. 向左平移π
9个长度单位 D. 向右平移π
9
个长度单位
8.如图所示的是函数y=Asin(ωx+ϕ)图象的一部分，则其函数解析式是()
A. y=sin(x+π
3) B. y=sin(x−π
3
)
C. y=sin(2x+π
6) D. y=sin(2x−π
6
)
9.函数y=x 2+a存在零点，则a的取值范围是()
A. a>0
B. a≤0
C. a≥0
D. a<0
10.将函数y=sin(x+φ
2)cos(x+φ
2
)的图象沿x轴向右平移π
8
个单位后，得到一个偶函数的图象，则
φ的取值不可能是()
A. 7π
4B. −π
4
C. π
4
D. 3π
4
11.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x+5)=f(x−3)，如果当x∈［0，4)时，f(x)=log2(x+
2)，则f(766)=()
A. 3
B. −3
C. −2
D. 2
12.已知α+β=π
4
，则(1+tanα)(1+tanβ)的值是()
A. −1
B. 1
C. 2
D. 4
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.855°转化为弧度数为______ ．
14.函数y=log a(x−1)+4的图象恒过点P，点P在幂函数f(x)的图象上，则f(3)=__________．
15.已知函数f(x)=x2−2sinx+3
x2+3
的最大值为M，最小值为m，则m+M=______________．
16.若f(x)是定义在(−1,1)上的奇函数，当0≤x<1时，f(x)=2x2+3x.若f(2a2−1)+f(a)<0，
则实数a的取值范围是____．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.已知全集U=R，A={x|x−2
x−7
⩽0},B={x|x2−13x+30<0}，求：(1)(∁U A)∩B;
(2)A∪(∁U B)．
18.已知0<α<π
2<β<π，且sin(α+β)=5
13
，tanα
2
=1
2
．(1)求cosα的值；
(2)求sinβ的值．
19.已知函数f(x)=log a x(a>0且a≠1)，且函数的图象过点(2,1).
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若f(m2−m)<1成立，求实数m的取值范围．
20.已知函数f(x)=log2(2x)⋅log2(4x)，g(t)=f(x)
t
−3，其中t=log2x(4≤x≤8)．
(1)求f(√2)的值；
(2)求函数g(t)的解析式，判断g(t)的单调性并用单调性定义给予证明；
(3)若a≤g(t)恒成立，求实数a的取值范围．
21.已知函数f(x)=√2sin2x+√2cos2x，x∈R．
)的值；
(1)求f(3π
8
(2)求f(x)的最小正周期；
(3)求f(x)的最大值及取得最大值的x的集合．
22.若不等式成立，求函数的最大值和最小值．
-------- 答案与解析 --------
1.答案：B
解析：解：sin 11π3
=sin(4π−π3)═ −sin π
3=−
√3
2
． 故选：B ．
直接利用诱导公式化简求值即可．
本题考查三角函数的化简求值，着重考查诱导公式的应用，基本知识的考查．
2.答案：B
解析：解：集合A ={0,2}，B ={x ∈N|x <3}={0,1，2}， 则A ∩B ={0,2}． 故选：B ．
根据交集的定义写出A ∩B ．
本题考查了交集的定义与计算问题，是基础题．
3.答案：A
解析：
本题考查任意角的三角函数的定义，三角函数的化简求值，考查计算能力． 直接利用三角函数的定义，化简求值即可．
解：角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点P(1
2,√3
2)，
可得sinθ=√3
2，cosθ=1
2，
函数f(θ)=√3sinθ+cosθ=√3×√32+1
2=2．
故选：A ．
4.答案：A
解析：解：由题意可知，选项A ，D 是偶函数，B ，C 表示偶函数； 因为y =cosx 在在(0,+∞)上不是单调减函数，
y=−2|x|在(0,+∞)上是单调减函数．
故选：A．
判断选项函数的奇偶性，然后判断函数的单调性即可．
本题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的判断，是基础题．
5.答案：C
解析：
本题考查对数函数的性质，是一道基础题．
易知0<b<1，1<a=log2.83.1<log2.8π，
又1>logπ2.8>logπe>0，所以1<log2.8π<log eπ=c，
∴1<a<c，∴b<a<c．
故选：C．
6.答案：C
解析：
本题考查零点存在定理，解题关键是计算区间端点处的函数值，判断它们的符号．
，
解：构造函数f(x)=log2x−4
x
<0，
f(2)=log22−4
2
>0，
f(3)=log23−4
3
f(2)×f(3)<0，
f(x)在区间(2,3)有零点，
所以 x
所在的区间为(2,3)．
0 
故选C．
7.答案：D
解析：
本题考查了y=Asin(ωx+φ)图像的平移，属于基础题．
解：y=sin(3x−π
3)=sin[3(x−π
9
)]，
∴只需将函数y=sin3x的图象向右平移π
9
个长度单位即可．故选D．
8.答案：A
解析：由函数的图象的顶点坐标可得A=1，由1
4×2π
ω
=π
6
+π
3
，∴ω=1，再由五点法作图可得
1×(−π
3)+ϕ=0，可得ϕ=π
3
，故函数解析式是y=sin(x+π
3
).
9.答案：B
解析：
本题考查函数零点问题，属于基本题型．若函数有零点可以等价于x2=−a有解．解：若函数y=x 2+a存在零点，
则x 2=−a有解，所以a≤0．
故选B．
10.答案：C
解析：解：∵y=sin(x+φ
2)cos(x+φ
2
)=1
2
sin(2x+φ)，
将函数y的图象向右平移π
8个单位后得到f(x−π
8
)=1
2
sin(2x−π
4
+φ)，
∵f(x−π
8
)为偶函数，
∴−π
4+φ=kπ+π
2
，k∈Z，
∴φ=kπ+3π
4
，k∈Z，
故选：C．
化简函数解析式，再利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换，结合题意，可求得φ的值．
本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换，考查正弦函数的对称性，突出考查正弦函数与余弦函数的转化，属于中档题．
11.答案：D
解析：
本题考查偶函数的定义，周期函数的定义，以及已知函数求值的方法．根据f(x+5)=f(x−3)即可得出f(x+8)=f(x)，即f(x)的周期为8，再根据x∈[0,4)时，f(x)=log2(x+2)及f(x)为R上的偶函数即可求出f(766)=f(2)=2．
解：∵f(x+5)=f(x−3)；
∴f(x+8)=f(x)；
∴f(x)的周期为8；
又x∈[0,4)时，f(x)=log 2(x+2)，且f(x)是R上的偶函数；
∴f(766)=f(−2+96×8)=f(−2)=f(2)=log 24=2．
故选D．
12.答案：C
解析：解：由α+β=π
4，得到tan(α+β)=tanπ
4
=1，
所以tan(α+β)=tanα+tanβ
1−tanαtanβ
=1，即tanα+tanβ=1−tanαtanβ，
则(1+tanα)(1+tanβ)=1+tanα+tanβ+tanαtanβ=2．
故选C
由α+β=π
4
，得到tan(α+β)=1，利用两角和的正切函数公式化简tan(α+β)=1，即可得到所求式子的值．
此题考查学生灵活运用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题．
13.答案：59
12
π
解析：解：∵1°=π
180
，
∴855°=π
180×855=59
12
π．
故答案为：59
12
π．
角度化为弧度，变换规则是度数乘以π
180
即可．
本题考查了将角度制化为弧度制，属于基础题型．
14.答案：9
解析：
本题考查对数函数中的定点问题以及幂函数的解析式，属基础概念题．
由题意得到P(2,4)，设幂函数f(x)=xα，则2α=4，解得α=2，即可求解．
解：函数y=log a(x−1)+4的图象恒过点P，则P(2,4)，
设幂函数f(x)=xα，则2α=4，解得α=2，
所以f(x)=x2，所以f(3)=32=9.
故答案为9．
15.答案：2
解析：
本题主要考查了利用函数的奇偶性求函数的最大值与最小值，解题的关键是函数奇偶性的灵活运用．
构造函数g(x)=−2sinx
x2+3
，得到g(x)为奇函数，得到g(x)max+g(x)min=0，再结合f(x)=1+g(x)可得答案．
解：f(x)=x2+3−2sinx
x2+3=1+−2sinx
x2+3
，
设g(x)=−2sinx
x+3
，其定义域为R，
=−g(x)，
且g(−x)=2sinx
x2+3
∴g(x)为奇函数，
∴g(x)max+g(x)min=0，
∵M=1+g(x)max，N=1+g(x)min，
∴M+N=1+1+0=2．
故答案为2．
}
16.答案：{a|−1<a<0或0<a<1
2
解析：解：∵f(x)是定义在(−1,1)上的奇函数，
∵当0≤x<1时，f(x)=2x2+3x单调递增，
根据奇函数的对称性可知，x∈[−1,0]时，函数单调递增，即在[−1,1]上单调递增，
∵f(2a2−1)+f(a)<0，
∴∵f(2a2−1)<−f(a)=f(−a)，
∴−1<2a2−1<−a<1，
．
解可得，−1<a<0或0<a<1
2
}.
故答案为{a|−1<a<0或0<a<1
2
根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．
本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．
17.答案：解：A={x|2⩽x<7},B={x|3<x<10}，
∁U A={x|x<2或x≥7}，∁U B={x|x≤3或x≥10}，
(1)(∁U A)∩B={x|7⩽x<10}，
(2)A∪(∁U B)={x|x<7,或x⩾10}．
解析：本题考查集合的交并补的混合运算，属于基础题目．
先求解不等式得出A，B，再求出∁U A，∁U B，
(1)由交集的定义得出；
(2)由并集的定义得出．
18.答案：解：，
所以sinα
cosα=4
3
，
又因为sin2α+cos2α=1，0<α<π
2
<β<π，
则cosα>0，解得cosα=3
5
．
(2)由(1)可得sinα=4
5
因为0<α<π
2<β<π，所以π
2
<α+β<3π
2
，
因为且sin(α+β)=5
13，所以cos(α+β)=−12
13
，
所以
=5
13
×
3
5
+
12
13
×
4
5
=
63
65
解析：本题考查了二倍角公式、两角差的正弦以及同角的三角函数的关系，属于基础题．
(1)根据二倍角公式和同角的三角函数的关系即可求出；
(2)根据同角的三角函数的关系和两角差的正弦即可解得．
19.答案：解：(1)由f(2)=1，得log a2=1，所以a1=2，a=2，
∴f(x)=log2x；
(2)∵log2x在定义域(0,+∞)为增函数，又f(2)=1，
∴由f(m2−m)<1=f(2)，得0<m2−m<2，
解得−1<m<0或1<m<2，
即m的取值范围是(−1,0)∪(1,2)．
解析：本题考查了对数函数的性质，属于中档题．
(1)由f(2)=1得a1=2，解之即可．
(2)由(1)知f(x)的定义域为(0,+∞)，且为增函数，利用函数的单调性可得0<m2−m<2，解之即可．
20.答案：解：(1)函数f(x)=log2(2x)⋅log2(4x)，
可得f(√2)=log2(2√2)·log2(4√2)
=log2232·log2252=3
2×5
2
=15
4
；
(2)t=log2x(4≤x≤8)，可得2≤t≤3，
g(t)=f(x)
−3=
(1+log2x)(2+log2x)
−3
=(1+t)(2+t)
t −3=t+2
t
，(2≤t≤3)．
结论：g(t)在[2,3]上递增．理由：设2≤t1<t2≤3，
则g(t1)−g(t2)=t1+2
t1−(t2+2
t2
)=(t1−t2)+2(t2−t1)
t1t2
=(t1−t2)(t1t2−2)
t1t2
，
由2≤t1<t2≤3，可得t1−t2<0，t1t2>4>2，
即有g(t1)−g(t2)<0，
则g(t)在[2,3]上递增．
(3)a≤g(t)恒成立，
即为a≤g(t)的最小值．
由g(t)在[2,3]上递增，
可得g(2)取得最小值，且为3．
则实数a的取值范围为a≤3．
解析：本题考查函数的解析式的求法，以及单调性的判断和证明，注意运用定义法，同时考查恒成立问题的解法，注意运用函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．
(1)运用代入法，结合对数运算法则，即可得到所求值；
(2)运用对数函数的单调性，可得t的范围，化简可得g(t)的解析式，且g(t)在[2,3]上递增，运用单
调性的定义证明，注意取值，作差，变形，定符号和下结论等步骤；
(3)由题意可得a ≤g(t)的最小值，由(2)的单调性，可得g(2)最小，可得a 的范围．
21.答案：解：
=√2×√22−√2×√22=0．
(2)∵f(x)=2(√22sin2x +√22
cos2x) ，
∴最小正周期为
； (3)∵f(x)=2sin(2x +π4
)， 当时，即时，
函数f (x )的最大值为2，f (x )取得最大值的x 的集合为
解析：本题考查了函数y =Asin(ωx +φ)的图象与性质和正弦函数的图象与性质的应用问题，是基础题．
(1)直接代入计算即可．
(2)先由辅助角公式化简f(x)，再利用正弦函数的周期公式求出结果；
(3)根据正弦函数的图象与性质求出函数y 的最大值以及取得最大值时x 的集合．
22.答案：解：，
．
∴−3≤log 12x ≤−3
2． ∴(12)−32≤x ≤(1
2)−3， 即2√2≤x ≤8．
又f(x)=(log 2x −1)(log 2x −3)
=(log 2x)2−4log 2x +3=(log 2x −2)2−1．
≤log2x≤3．
∵2√2≤x≤8，∴3
2
∴当log2x=2，即x=4时y min=−1；
当log2x=3，即x=8时，y max=0．
解析：本题考查了对数函数和二次函数的性质，是基础题．
先解不等式求出解集，再利用对数函数的性质和二次函数的性质求函数的最大值和最小值．。