【配套K12】[学习]黑龙江省青冈县一中2018-2019学年高二数学上学期10月月考试题(BC卷)

黑龙江省青冈县一中2018-2019学年高二数学上学期10月月考试题
（BC卷）理
满分：150分.时间：120分钟
第Ⅰ卷（选择题60分）
一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共计60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．命题p：“∀x≥0，2x＞x2”的否定￢p为（）
A．∃x0＜x02 B．∀x≥0，2x＜x2
C．∃x0≤x02 D．∀x≥0，2x≤x2
2．抛物线y=4x2的准线方程是（）
A．x=1 B．x=﹣ C．y=﹣1 D．y=﹣
3．设x∈R，则“x3＞8”是“|x|＞2”的（）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知命题；命题q：若a＜b，则，则下列为真命题的是（）
A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q
5．方程（2x+3y﹣1）（﹣1）=0表示的曲线是（）
A．两条直线 B．两条射线
C．两条线段 D．一条直线和一条射线
6．已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线2x﹣y+1=0垂直，则双曲线C的离心率为（）
A．2 B． C． D．
7．已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60°，则C的离心率为（）
A．1﹣ B．2﹣ C． D．﹣1
8．设坐标原点为O，抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A、B两点，则等于（）A． B．﹣ C．3 D．﹣3
9．已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，且两焦点与短轴端点构成的三角形的面积为6，则椭圆C的标准方程是（）
A．B．C． D．
10．已知抛物线y2=2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A（3，2），则|PA|+|PF|的最小值是（）
A． B． C．5 D．7
11．椭圆与双曲线的离心率之积为，直线l：x﹣y+3=0与椭圆C1相切，则椭圆C1的方程为（）
A．=1 B．=1 C．=1 D．=1
12．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|=4|PF2|，则双曲线离心率的取值范围是（）
A． B． C．（1，2] D．
第Ⅱ卷（非选择题90分）
二．填空题（本题共4小题，每小题5分，共计20分）
13．与双曲线﹣=1有公共的渐近线，且经过点A（﹣3，2）的双曲线方程是．14．已知正三角形△AOB（O为坐标原点）的顶点A、B在抛物线y2=3x上，则△AOB的边长是．
15．直角坐标平面上点P与点F（2，0）的距离比它到直线x+4=0的距离小2，则点P的轨迹
方程是．
16．已知F1，F2是长轴长为4的椭圆的左右焦点，P是椭圆上一点，
则△PF1F2面积的最大值为．
三、解答题（17题10分，18-22题12分，共计70分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.）
17．（本小题10分）已知x轴上一定点A（1，0），Q为椭圆+y2=1上的动点，求线段AQ中点M的轨迹方程．
18．（本小题12分）设p：实数x满足（x﹣3a）（x﹣a）＜0，q：实数x满足．（Ⅰ）当a=1时，若p∨q为真，求实数x的取值范围；
（Ⅱ）当a＜0时，若p是￢q的必要条件，求实数a的取值范围．
19．（本小题12分）已知方程．
（1）若方程表示双曲线，求实数m的取值范围．
（2）若方程表示椭圆，且椭圆的离心率为，求实数m的值．
20．（本小题12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2且离心率为，过左焦点F1的直线l与C交于A，B两点，△ABF2的周长为16．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知过点P（2，1）作弦且弦被P平分，则此弦所在的直线方程．
21．（本小题12分）已知抛物线C：y2=2px经过点P（2，2），A，B是抛物线C上异于点O的不同的两点，其中O为原点．
（I）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
（II）若OA⊥OB，求△AOB面积的最小值．
22．（本小题12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的上顶点为B（0，1），且过点P（，
）．
（I）求椭圆C方程及其离心率；
（Ⅱ）斜率为k的直线1与椭圆C交于M，N两个不同的点，当直线OM，ON的斜率之积是不为0的定值时，求此时△MON的面积的最大值．
高二月考数学答案
6
13.
14.
14.y2=8x 16. 2
三、解答题
17.解：设中点M的坐标为（x，y），点Q的坐标为（x0，y0）．利用中点坐标公式，得∴
∵Q（x0，y0）在椭圆+y2=1上，
将x0=2x﹣1，y0=2y代入上式，
得．
故所求AQ的中点M的轨迹方程是（x﹣）2+4y2=1．
18.解：（1）当a=1时，p：1＜x＜3，q：x＜﹣3或x＞﹣2．∵p∨q为真，∴p，q中至少有一个真命题．
∴1＜x＜3或x＜﹣3或x＞﹣2，
∴x＜﹣3或x＞﹣2，
∴实数x的取值范围是（﹣∞，﹣3）∪（﹣2，+∞）．
（2）当a＜0时，p：3a＜x＜a，
由＞0，得q：x＜﹣3或x＞﹣2，
∴￢q：﹣3≤x≤﹣2，
∵p是￢q的必要条件，
∴{x|﹣3≤x≤﹣2}⊆{x|3a＜x＜a}，
∴，解得﹣2＜a＜﹣1，
∴实数a的取值范围是（﹣2，﹣1）．
19.解：（1）方程表示双曲线，即有
（4﹣m）（2+m）＞0，解得﹣2＜m＜4，
即m的取值范围是（﹣2，4）；
（2）方程表示椭圆，
若焦点在x轴上，即有4﹣m＞﹣2﹣m＞0，
且a2=4﹣m，b2=﹣2﹣m，c2=a2﹣b2=6，
即有e2==，解得m=﹣4；
若焦点在y轴上，即有0＜4﹣m＜﹣2﹣m，
且b2=4﹣m，a2=﹣2﹣m，c2=a2﹣b2=﹣6，不成立．
综上可得m=﹣4．
20.解：（1）如图所示，
椭圆C：=1的离心率为，
∴=，
△ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=4a=16，
∴a=4，
∴c=2，
∴b2=a2﹣c2=4，
∴椭圆C的方程+=1；
（2）设过点P（2，1）作直线l，l与椭圆C的交点为D（x1，y1），E（x2，y2），则，
两式相减，得（﹣）+4（﹣）=0，
∴（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0，
∴直线l的斜率为k==﹣=﹣=﹣，
∴此弦所在的直线方程为y﹣1=﹣（x﹣2），
化为一般方程是x+2y﹣4=0．
21.解：（I）由抛物线C：y2=2px经过点P（2，2）知4p=4，解得p=1．
则抛物线C的方程为y2=2x．
抛物线C的焦点坐标为，准线方程为，
（ II）由题知，直线AB不与y轴垂直，设直线AB：x=ty+a，
由消去x，得y2﹣2ty﹣2a=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=2t，y1y2=﹣2a．
因为OA⊥OB，所以x1x2+y1y2=0，即，
解得y1y2=0（舍）或y1y2=﹣4．
所以﹣2a=﹣4．解得a=2．
所以直线AB：x=ty+2．
所以直线AB过定点（2，0）.===4．
当且仅当y1=2，y2=﹣2或y1=﹣2，y2=2时，等号成立．
所以△AOB面积的最小值为4．
22.解：（I）由题意可得：b=1，+=1，a2=b2+c2，联立解出：b=1，a=2，c=．
∴椭圆C方程为：+y2=1．
离心率e==．
（II）设直线l的方程为：y=kx+m，M（x1，y1），N（x2，y2），
联立，化为：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，
△=64k2m2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）＞0，
化为：4k2+1＞m2．（*）
∴x1+x2=﹣，x1x2=，
k OM•k ON====
==，
当直线OM，ON的斜率之积是不为0的定值时，则1﹣4k2=0，可得：k2=．k OM•k ON=．
由（*）：m2＜2．
|MN|===
．
d===．
S△oMN=|MN•|•d=×=≤=1，当且仅当m2=1时取等号．
此时△MON的面积的最大值为1．。