2020版高中数学人教A版必修4 导学案 《正弦函数、余弦函数的图象》 学生版

反思与感悟 一些三角函数的定义域可以借助函数图象直观地观察得到，同时要注意区间端
点的取舍.
跟踪训练 2 求函数 y=
1
log2
－1的定义域.
sin x
类型三 与正弦、余弦函数有关的函数零点问题 命题角度 1 零点个数问题 例 3：在同一坐标系中，作函数 y=sin x 和 y=lg x 的图象，根据图象判断出方程 sin x=lg x 的解的个数.
D.关于 y 轴对称
2.用五点法画 y=sin x，x∈[0，2π]的图象时，下列哪个点不是关键点( )
π1 ，
A. 6 2
π ，1
B. 2
C.(π，0)
D.(2π，0)
π x＋
π x－
3.已知 f(x)=sin 2 ，g(x)=cos 2 ，则将 f(x)的图象( )
A.与 g(x)的图象相同
B.与 g(x)的图象关于 y 轴对称
反思与感悟 作正弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图.“五点”即 y=sin x 或 y=cos x 的图象在[0，2π]内的最高点、最低点和与 x 轴的交点.“五点法”是作简图的常用方法. 跟踪训练 1 用“五点法”作出函数 y=1－cos x(0≤x≤2π)的简图.
类型二 利用正弦、余弦函数的图象求定义域 例 2 求函数 f(x)=lg sin x＋ 16－x2的定义域.
，(2π，0)；
画余弦函数 y=cos x，x∈[0，2π]的图象，五个关键点是
π ，0
3π ，0
(0，1)， 2 ，(π，－1)， 2 ，(2π，1).
(3)用光滑曲线顺次连接这五个点，得到正弦曲线、余弦曲线的简图.
类型一 “五点法”作图的应用 例 1 利用“五点法”作出函数 y=1－sin x(0≤x≤2π)的简图.
反思与感悟 三角函数的图象是研究函数的重要工具，通过图象可较简便的解决问题，这正
是数形结合思想方法的应用.
跟踪训练 3 方程 x2－cos x=0 的实数解的个数是
.
命题角度 2 参数范围问题
πm 例 4.方程 sin(x＋ )= 在[0，π]上有两实根，求实数 m 的取值范围及两实根之和.
32
反思与感悟 准确作出函数图象是解决此类问题的关键，同时应抓住“临界”情况进行分析. 跟踪训练 4 若函数 f(x)=sin x－2m－1，x∈[0，2π]有两个零点，求 m 的取值范围.
因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数 y=sin x，x∈[2kπ，2(k＋1)π)，k∈Z 且 k≠0 的图象与函数 y=sin x，x∈[0，2π)的图象的形状完全一致.于是只要将函数 y=sin x， x∈[0，2π)的图象向左、向右平行移动(每次 2π个单位长度)，就可以得到正弦函数 y=sin x， x∈R 的图象，如图.
7.若函数 y=2cos x(0≤x≤2π)的图象和直线 y=2 围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图
形的面积是( )
A.4
B.8
C.2π
D.4π
二、填空题
8.函数 f(x)=lg cos x＋ 25－x2的定义域为
.
1 9.函数 y=sin x，x∈[0，2π]的图象与直线 y=－ 的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
学习目标 1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法. 2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦、 余弦曲线. 3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系.
知识点一 正弦函数、余弦函数的概念 思考 从对应的角度如何理解正弦函数、余弦函数的概念？ 答案为：实数集与角的集合之间可以建立一一对应关系，而一个确定的角又对应着唯一确定 的正弦(或余弦)值.这样，任意给定一个实数 x，有唯一确定的值 sin x(或 cos x)与之对应. 由这个对应法则所确定的函数 y=sin x(或 y=cos x)叫做正弦函数(或余弦函数)，其定义域是 R. 知识点二 几何法作正弦函数、余弦函数的图象 思考 1 课本上是利用什么来比较精确的画出正弦函数的图象的？其基本步骤是什么？ 答案为：利用正弦线，这种作图方法称为“几何法”，其基本步骤如下： ①作出单位圆：作直角坐标系，并在直角坐标系中 y 轴左侧的 x 轴上取一点 O1，作出以 O1 为 圆心的单位圆； ②等分单位圆，作正弦线：从⊙O1 与 x 轴的交点 A 起，把⊙O1 分成 12 等份.过⊙O1 上各分点
1.用“五点法”作 y=2sin 2x 的图象时，首先描出的五个点的横坐标是( )
π 3π A.0， ，π， ，2π
2
2
π π 3π B.0， ， ， ，π
42 4
C.0，π，2π，3π，4π
π π π 2π D.0， ， ， ，
632 3
2.下列图象中，y=－sin x 在[0，2π]上的图象是( )
梳理 “五点法”作正弦函数 y=sin x、余弦函数 y=cos x，x∈[0，2π]图象的步骤：
(1)列表
π
3π
x
0
π
2π
2
2
sin x 0 1
0 －1 0
cos x 1 0 －1 0
1
(2)描点
画正弦函数 y=sin x，x∈[0，2π]的图象，五个关键点是
π ，1
3π ，－1
(0，0)， 2 ，(π，0)， 2
3.用“五点法”画的正弦型函数在一个周期[0，2π]内的图象，如果要画出在其他区间上的 图象，可依据图象的变化趋势和周期性画出.
课时作业
一、选择题
1.对于正弦函数 y=sin x 的图象，下列说法错误的是( )
A.向左右无限伸展
B.与 y=cos x 的图象形状相同，只是位置不同
C.与 x 轴有无数个交点
求 k 的取值范围.
π C.向左平移 个单位，得 g(x)的图象
2
π D.向右平移 个单位，得 g(x)的图象
2
π 3π －， 4.函数 y=－sin x，x∈ 2 2 的简图是( )
x 5.方程 sin x= 的根的个数是( )
10
A.7
B.8
C.9
D.10
6.函数 y=cos x＋|cos x|，x∈[0，2π]的大致图象为( )
πππ 作 x 轴的垂线，得到对应于 0， ， ， ，…，2π等角的正弦线；
632 ③找横坐标：把 x 轴上从 0 到 2π这一段分成 12 等份； ④找纵坐标：把角 x 的正弦线向右平移，使它的起点与 x 轴上对应的点 x 重合，从而得到 12 条正弦线的 12 个终点； ⑤连线：用光滑的曲线将 12 个终点依次从左至右连接起来，即得到函数 y=sin x，x∈[0，2 π]的图象，如图.
2
则 x1＋x2=
.
sin x，x≥0，
1
10.函数 f(x)=Βιβλιοθήκη 则不等式 f(x)＞ 的解集是
.
x＋2，x＜0，
2
11.设 0≤x≤2π，且|cos x－sin x|=sin x－cos x，则 x 的取值范围为
.
三、解答题
1 12.用“五点法”画出函数 y= ＋sin x，x∈[0，2π]的简图.
1
3.函数 y=cos x，x∈[0，2π]的图象与直线 y=－ 的交点有
个.
2
4.函数 y= 2sin x－1的定义域为
.
π
1 2x－
5.请用“五点法”画出函数 y= sin
6 的图象.
2
1.对“五点法”画正弦函数图象的理解 (1)与前面学习函数图象的画法类似，在用描点法探究函数图象特征的前提下，若要求精度不 高，只要描出函数图象的“关键点”，就可以根据函数图象的变化趋势画出函数图象的草图. (2)正弦型函数图象的关键点是函数图象中最高点、最低点以及与 x 轴的交点. 2.作函数 y=asin x＋b 的图象的步骤：
思考 2 如何由正弦函数的图象通过图形变换得到余弦函数的图象？
梳理 正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线. 知识点三 “五点法”作正弦函数、余弦函数的图象 思考 1 描点法作函数图象有哪几个步骤？ 思考 2 “五点法”作正弦函数、余弦函数在 x∈[0，2π]上的图象时是哪五个点？
2
1
3
13.利用正弦曲线，求满足 <sin x≤ 的 x 的集合.
2
2
四、探究与拓展
π 5π
14.已知函数 y=2sin x( ≤x≤ )的图象与直线 y=2 围成一个封闭的平面图形，那么此封
2
2
闭图形的面积为( )
A.4
B.8
C.4π
D.2π
15.函数 f(x)=sin x＋2|sin x|，x∈[0，2π]的图象与直线 y=k 有且仅有两个不同的交点，