李雅普诺夫函数

李雅普诺夫函数
李雅普诺夫函数（Lyapunov function）是用来证明一动力系统或自治微分方程稳定性的函数。

其名称来自俄罗斯数学家亚历山大·李雅普诺夫（Aleksandr Mikhailovich Lyapunov）。

李雅普诺夫函数在稳定性理论及控制理论中相当重要。

若一函数可能可以证明系统在某平衡点的稳定性，此函数称为李雅普诺夫候选函数（Lyapunov-candidate-function）。

不过目前还找不到一般性的方式可建构（或找到）一个系统的李雅普诺夫候选函数，而找不到李雅普诺夫函数也不代表此系统不稳定。

在动态系统中，有时会利用守恒律来建构李雅普诺夫候选函数。

针对自治系统的李雅普诺夫定理，直接使用李雅普诺夫候选函数的特性。

在寻找一个系统平衡点附近的稳定性时，此定理是很有效的工具。

不过此定理只是一个证明平衡点稳定性的充分条件，不是必要条件。

而寻找李雅普诺夫函数也需要碰运气，通常会用试误法（trial and error）来寻找李雅普诺夫函数。

目录
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•1 李雅普诺夫候选函数的定义
•2 系统平衡点的转换
•3 自治系统的基本李雅普诺夫定理
o 3.1 稳定平衡点
o 3.2 局部渐近稳定平衡点
o 3.3 全域渐近稳定平衡点
•4 参见
•5 参考资料
•6 外部链接
李雅普诺夫候选函数的定义[编辑]
令
为标量函数。

若要为李雅普诺夫候选函数，函数需为局部正定函数，亦即
其中是的邻域。

系统平衡点的转换[编辑]
令
为一个自治（autonomous）的动态系统，其平衡点为:
可利用的坐标转换，使得
在新的系统中，其平衡点为原点。

若系统的平衡点不是原点，可用上述的方式，转换为另一个平衡点为原点的系统，因此以下的说明中，均假设原点是系统的平衡点。

自治系统的基本李雅普诺夫定理[编辑]
主条目：李雅普诺夫稳定性
令
为以下自治系统的平衡点
且令
为李雅普诺夫候选函数的时间导数。

稳定平衡点[编辑]
若在平衡点的邻域，李雅普诺夫候选函数为正定，且其时间导数半负定：
则此平衡点为一稳定的平衡点。

局部渐近稳定平衡点[编辑]
若在平衡点的邻域，李雅普诺夫候选函数为正定，且其时间导数为负定：
则此平衡点为一局部渐近稳定的平衡点。

全域渐近稳定平衡点[编辑]
若李雅普诺夫候选函数为全域正定，其时间导数为全域负定：
且满足以下的条件（称为“径向无界” radially unbounded）：
.
则此平衡点为一全域渐近稳定的平衡点。

参见[编辑]
•常微分方程
•控制李雅普诺夫函数
参考资料[编辑]
•MathWorld上Lyapunov Function的资料，作者：埃里克·韦斯坦因。

•Khalil, H.K. Nonlinear systems. Prentice Hall Upper Saddle River, NJ. 1996.
•本条目含有来自PlanetMath《Liapunov function》的材料，版权遵守乃遵守知识共享协议：署名-相同方式共享协议。

•李雅普诺夫稳定性的理论可延伸到许多领域，尤其是随机微扰的非线性系统: S. P. Meyn and R. L. Tweedie. Markov Chains and Stochastic Stability. London: Springer-Verlag, 1993. ISBN 0-387-19832-6. online: /~meyn/pages/book.html . Second edition to appear, Cambridge University Press, 2009.
外部链接[编辑]
•Example 利用李雅普诺夫函数判别常微分方程平衡点稳定性的一些例子
•Some Lyaponov diagrams。