关于数学的故事：曹冲称象

关于数学的故事：曹冲称象
曹操获得一头大象，与大家一边看一边议论，大象到底有多重呢?由于当时没有这么大的秤杆，没有先进的仪器，这就成了一个问题，一个非常规应用问题.
存在不同水平的问题解决.有人提议把大象宰了，一块一块地称，这是一种化整为零的策略，重量虽然出来了，但珍贵的大象却不复存在了.曹操的儿子曹冲才7岁，他提出一个聪明的办法：先把大象赶到一艘大船上，看船身下沉多少，就沿着水面，在船舷上画一条线.然后，把大象赶上岸，往船上装石头，直至船下沉到画线的地方为止.最后，称一称船上的石头，石头有多重，就知道大象有多重了.
理解曹冲方案需要物理知识(没有物理知识作保证，不能保证石头与大象等重，难保不会出现刻舟求剑的错误)，下面的分析不涉及物理定律，纯粹数学教育的视角.
第2、问题解决的分析.
我们从数学上分析曹冲的问题解决过程主要有两个步骤：(解题过程的结构分析)
(1)把整体的大象对应为等价物：零散的石头(映射--化整为零);
(2)称一小块一小块石头，得出大象的重量(逆映射--集零为整).
一头大象一堆石块
大象重量称出石块总重量
图1
请注意，曹冲先化整为零、再集零为整的做法，与愚蠢的宰象方案有思想方法上的共同性，曹冲的聪明之处在于，既从别人的不成功想法中吸取了合理成分，又用等价物代替大象.(思维亮点：通过物理知识找出等价物)
第3、反思曹冲方案.
曹冲方案的大前提是把大象赶上船、再赶上岸，这当中若有一次大象不愿走动，那么抬大象的困难与称大象的困难是类似的.大象自已
走上走下对我们抬石头、称石头能带来什么启示呢?
就此，笔者与一位小学二年级学生进行了如下的对话.
教师：假如我们这块地方是个平原，一马平川全是黄土，没有石头，你怎么办?(把等价物从石头的传统认识中突破出来不是唯一的) 学生：那我就把黄土挑上船，直至船沉到画线的地方，然后称黄土的重量.(用水也可以)
教师：挑黄土上船、下船，既费工又费时，有没有既省工又省时的更简单办法?(寻找更方便的等价物)
学生：用电子秤直接称大象.
教师：这不行，不能改变当时的技术条件.
学生：组织围观的人代替黄土，让人自己走上船、自己走下船过秤，既省工又省时，要不，赶一群羊上船也可以.
第4、反思的启示.
这个办法确实比曹冲的强.由此，可以得出3个结论：
(1)即使是智慧典范的解题过程也有创新的空间.
(2)即使是对小学生作解题过程的分析与启引，也能开发出解题智慧来.
(3)找回被浪费的重要信息是解题分析获得进展的一个有效途径.在曹冲方案中，大象自己上船、下船本已存在，只不过是在使用石头等价物时被浪费了，小学二年级学生无非是找回被浪费的重要信息.
(罗增儒：从曹冲称象的解题愚蠢说起例说解题过程的改进，中学数学教学参考，2000，9)。