高二数学(新人教A版选修2-2)考点清单《1.5 定积分的概念》

．定积分的概念
考点一：曲边梯形面积的求解
、求由直线＝，＝，＝和曲线＝(－)围成的图形面积．
[解析] ()分割
将曲边梯形分割成个小曲边梯形，用分点，，…，把区间[]等分成个小区间：
，，…，，…，，简写作(＝，…，)．
每个小区间的长度为Δ＝－＝.
过各分点作轴的垂线，把曲边梯形分成个小曲边梯形，它们的面积分别记作：Δ，Δ，…，Δ，…，Δ.
()近似代替
用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积：
在小区间上任取一点ξ(＝，…，)，为了计算方便，取ξ为小区间的左端点，用以点ξ坐标(ξ)＝为其一边，以小区间长度Δ＝为邻边的小矩形面积近似代替第个小曲边梯形面积，可以近似地表示为Δ≈(ξ)Δ＝·(＝，…，)．
()求和
因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值，所以个小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值，即＝≈(ξ)Δ
＝·
＝[＋＋＋…＋(－)]－[＋＋＋…＋(－)]
＝·(－)(－)－·
＝＝.
()取极限
当分割无限变细，即Δ无限趋近于时，无限趋近于＋∞，此时无限趋近于.从而有：
＝→∞＝－.
所以由直线＝，＝，＝和＝(－)围成的图形面积为.
、求直线＝，＝，＝与曲线＝所围成的曲边梯形的面积．
[解析] ()分割：
把求面积的曲边梯形分割成个小曲边梯形，用分点，，…，把区间[]等分成个小区间，，…，，…，，每个小区间的长度为Δ＝－＝，过各分点作轴的垂线，把曲边梯形分割成个小曲边梯形，如图，它们的面积分别记作
Δ，Δ，…，Δ.
()近似代替：
取各小区间的左端点ξ，用以点ξ的纵坐标(ξ)为一边，以小区间长Δ＝为另一边的小矩形面积近似代替第个小曲边梯形面积，可以近似地表示为：
Δ≈(ξ)·Δ＝·(＝，…，－)．
()求和：
因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值，所以个小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值，即。