数学归纳法
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数学归纳法（一）
1.归纳法： 由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法
问题1：在数列{an }中，a1=1, an1 n ,先计算a2 , a3 , a4的值，再推测通 1 an 项an 的公式. 解：
a2 1 1 1 1 , a3 , a4 , an 2 3 4 n
(1) n＝1时，左边=1，右边=1，等式成立； (2)假设n＝k时，等式成立，即
当n k 1时，需要证明的式子是 ：
1+3+5+…+(2k-1)＝k2
那么当n＝k+1时，
需要证明的式子是?
1+3+5+…+(2k-1)+（2k+1）
＝k2+（2k+1）＝（k+1）2 这就是说，当n=k+1时，等式也成立
那么： ak+1=
ak 1 1 ak 1
k
1 k
1 k 1
∴当n=k+1时,公式成立
由(1) (2)知对任意自然数n, an=
1 成立. n
例6、用数学归纳法证明： 1 3 5 ( 2k 1) ( 2k 1) ( k 1)2 1+3+5+…+(2n-1)＝n2
a
（不完全归纳法）
问题2：对小于6的自然数n，不等式7n3 6(7n 9) 成立吗 ？ 解：
7 n 3
n=1 n=2 n=3 n=4 n=5
1 49
大小关系
6(7n+9)
96 138 180 222 264 （完全归纳法）
1 7
1 7 49
< < < < <
∴对小于6的正整数n,不等式成立.
∴由①、② 可知对任何n∈N*时，等式都成立
（基础）
证明当 n k 1时,命题也成立 （依据）
完成这两个步骤后, 就可以断定： 命题对从 n0 开始的所有正整数n都成立 这种证明方法叫做数学归纳法
例1 如果 {a n } 是等差数列，已知首项为 a1 公差为 d ，那么 a n a1 ( n 1)d 对一切n N 都成立 试用数学归纳法证明
问题3：对任意正整数n, 不等式 7n3 6(7n 9)
成立吗？
6(7n+9) 96 138 180 222
解：
n=1 n=2 n=3 n=4
7 n 3
1 49
大小关系 < < < <
1 7
1 7
n=5
n=6 n=7
49
343 2401
<
＞ ＞
264
348 348
结论：当n是小于6的正整数，不等式成立 7 n3 ＞ 6(7n+9) 当n是大于等于6的正整数，
多米诺骨牌游戏
多米诺骨牌成功的关键有两点： (1) 第一张牌被推倒 （基础） (2) 假如某一张牌倒下, 则它的后 一张牌必定倒下 （依据） 于是, 我们可以下结论： 多米诺骨牌会全部倒下
证明一个与正整数n有关的数学命题 关键步骤如下：
(1)证明当n取第一个值时命题成立
* n k k N , k n0 时,命题成立 (2)假设当
这就是说，当n=k+1时，等式也成立
n N 由（1）和（2），可知等式对任何 都成立
因此数学归纳法是一种科学的递推方法 (1)是递推的基础 (2)是递推的依据
正确判断取第一个值 n0 时的命题形式
• 例2 用数学归纳法证明：“ n2
1 a a
2
a
n 1
在验证n=1时，左端计算所得项为：_______
n k k 1 证明不等式 f (2 ) 时， f (2 ) 比 f (2 ) 2 多的项数是（） 1 1 1 f ( n ) 1 ( n N ), 例5 设
2
3
3n 1
那么
f (n 1) f (n)
等于（）
以问题1为例：
问题1：在数列{an }中，a1=1, Hale Waihona Puke n1 *2
2
1
由于a5＝25 ≠1，所以猜测是不正确的
所以由归纳法得到的结论
不一定可靠
2.归纳与证明： 如何证明由不完全归纳法得到的一般结论？ 第一个正式研究此课题的是意大利科学家莫罗利科
在使用归纳法探究数学命题时，必须对 任何可能的情况进行论证后，才能判别 命题正确与否。
思考1：与正整数n有关的数学命题能否 通过一一验证的办法来加以证明呢？ 思考2：如果一个数学命题与正整数n有 关,我们能否找到一种既简单又有效的证 明方法呢？
说明：（1）依数据作推测，决不是乱猜，要注意对数据作出谨慎 地分析。 （2）用不完全归纳法得到的结论可能会不正确。
举例说明： 一个数列的通项公式是： an= (n2－5n+5)2 请算出a1= 1，a2= 1，a3= 1 ，a4= 1 猜测an＝? 猜测是否正确呢？
对一切n N , 都有 an n 5n 5
例3 若
1 1 1 f ( n) 4 5 6 1 ,n N, 2n 3
1 a (a 1) 1 a
则当ｎ＝１时，f(n)=______
正确判断命题从n=k到 n=k+1的变化
例4 已知
1 1 f ( n) 1 2 3
n
1 (n N ), n
证明：（1）当n=1时， 左边 a1 , 右边 a1 0 d a1 ,
等式是成立的 （2）假设当n=k时等式成立，就是 a k a1 ( k 1)d , 那么 a k 1 a k d
[a1 (k 1)d ] d a1 [(k 1) 1]d
再推测通项an的公式. 1 1 1 1 a2= , a3= , a4= , 推测 an= n 2 3 4
an ,先计算a2,,a3,a4的值， 1 an
证明思路：先证明“第一项满足公式” （证题基础） （递推关系） 再证明命题“若某一项满足公式，则下一项也满足公式”
条件 结论
1 证明：（1）当n=1时,左= a1=1,右= 1 =1，所以公式成立。 1 （2）假设当n=k(k∈N)时,公式成立,即 ak= k
1.归纳法： 由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法
问题1：在数列{an }中，a1=1, an1 n ,先计算a2 , a3 , a4的值，再推测通 1 an 项an 的公式. 解：
a2 1 1 1 1 , a3 , a4 , an 2 3 4 n
(1) n＝1时，左边=1，右边=1，等式成立； (2)假设n＝k时，等式成立，即
当n k 1时，需要证明的式子是 ：
1+3+5+…+(2k-1)＝k2
那么当n＝k+1时，
需要证明的式子是?
1+3+5+…+(2k-1)+（2k+1）
＝k2+（2k+1）＝（k+1）2 这就是说，当n=k+1时，等式也成立
那么： ak+1=
ak 1 1 ak 1
k
1 k
1 k 1
∴当n=k+1时,公式成立
由(1) (2)知对任意自然数n, an=
1 成立. n
例6、用数学归纳法证明： 1 3 5 ( 2k 1) ( 2k 1) ( k 1)2 1+3+5+…+(2n-1)＝n2
a
（不完全归纳法）
问题2：对小于6的自然数n，不等式7n3 6(7n 9) 成立吗 ？ 解：
7 n 3
n=1 n=2 n=3 n=4 n=5
1 49
大小关系
6(7n+9)
96 138 180 222 264 （完全归纳法）
1 7
1 7 49
< < < < <
∴对小于6的正整数n,不等式成立.
∴由①、② 可知对任何n∈N*时，等式都成立
（基础）
证明当 n k 1时,命题也成立 （依据）
完成这两个步骤后, 就可以断定： 命题对从 n0 开始的所有正整数n都成立 这种证明方法叫做数学归纳法
例1 如果 {a n } 是等差数列，已知首项为 a1 公差为 d ，那么 a n a1 ( n 1)d 对一切n N 都成立 试用数学归纳法证明
问题3：对任意正整数n, 不等式 7n3 6(7n 9)
成立吗？
6(7n+9) 96 138 180 222
解：
n=1 n=2 n=3 n=4
7 n 3
1 49
大小关系 < < < <
1 7
1 7
n=5
n=6 n=7
49
343 2401
<
＞ ＞
264
348 348
结论：当n是小于6的正整数，不等式成立 7 n3 ＞ 6(7n+9) 当n是大于等于6的正整数，
多米诺骨牌游戏
多米诺骨牌成功的关键有两点： (1) 第一张牌被推倒 （基础） (2) 假如某一张牌倒下, 则它的后 一张牌必定倒下 （依据） 于是, 我们可以下结论： 多米诺骨牌会全部倒下
证明一个与正整数n有关的数学命题 关键步骤如下：
(1)证明当n取第一个值时命题成立
* n k k N , k n0 时,命题成立 (2)假设当
这就是说，当n=k+1时，等式也成立
n N 由（1）和（2），可知等式对任何 都成立
因此数学归纳法是一种科学的递推方法 (1)是递推的基础 (2)是递推的依据
正确判断取第一个值 n0 时的命题形式
• 例2 用数学归纳法证明：“ n2
1 a a
2
a
n 1
在验证n=1时，左端计算所得项为：_______
n k k 1 证明不等式 f (2 ) 时， f (2 ) 比 f (2 ) 2 多的项数是（） 1 1 1 f ( n ) 1 ( n N ), 例5 设
2
3
3n 1
那么
f (n 1) f (n)
等于（）
以问题1为例：
问题1：在数列{an }中，a1=1, Hale Waihona Puke n1 *2
2
1
由于a5＝25 ≠1，所以猜测是不正确的
所以由归纳法得到的结论
不一定可靠
2.归纳与证明： 如何证明由不完全归纳法得到的一般结论？ 第一个正式研究此课题的是意大利科学家莫罗利科
在使用归纳法探究数学命题时，必须对 任何可能的情况进行论证后，才能判别 命题正确与否。
思考1：与正整数n有关的数学命题能否 通过一一验证的办法来加以证明呢？ 思考2：如果一个数学命题与正整数n有 关,我们能否找到一种既简单又有效的证 明方法呢？
说明：（1）依数据作推测，决不是乱猜，要注意对数据作出谨慎 地分析。 （2）用不完全归纳法得到的结论可能会不正确。
举例说明： 一个数列的通项公式是： an= (n2－5n+5)2 请算出a1= 1，a2= 1，a3= 1 ，a4= 1 猜测an＝? 猜测是否正确呢？
对一切n N , 都有 an n 5n 5
例3 若
1 1 1 f ( n) 4 5 6 1 ,n N, 2n 3
1 a (a 1) 1 a
则当ｎ＝１时，f(n)=______
正确判断命题从n=k到 n=k+1的变化
例4 已知
1 1 f ( n) 1 2 3
n
1 (n N ), n
证明：（1）当n=1时， 左边 a1 , 右边 a1 0 d a1 ,
等式是成立的 （2）假设当n=k时等式成立，就是 a k a1 ( k 1)d , 那么 a k 1 a k d
[a1 (k 1)d ] d a1 [(k 1) 1]d
再推测通项an的公式. 1 1 1 1 a2= , a3= , a4= , 推测 an= n 2 3 4
an ,先计算a2,,a3,a4的值， 1 an
证明思路：先证明“第一项满足公式” （证题基础） （递推关系） 再证明命题“若某一项满足公式，则下一项也满足公式”
条件 结论
1 证明：（1）当n=1时,左= a1=1,右= 1 =1，所以公式成立。 1 （2）假设当n=k(k∈N)时,公式成立,即 ak= k