【一轮效果监测】高考数学一轮复习检测：《平面向量的数量积及平面向量的应用》

平面向量的数量积及平面向量的应用
1.(2012年高考重庆卷)设x∈R,向量a=(x,1),b=(1,-2),且a⊥b,则|a+b|等于( B )
(A)(B)(C)2(D)10
解析:∵a⊥b,∴x-2=0,
∴x=2.
∴|a+b|====.故选B.
2.(2013乐山市第一次调研)已知两点A(-1,0),B(1,3),向量a=(2k-1,2),若⊥a,则实数k 的值为( C )
(A)2 (B)1 (C)-1 (D)-2
解析:由=(2,3),因为⊥a,
所以2(2k-1)+2×3=0,
得k=-1,故选C.
3.(2012年高考辽宁卷)已知两个非零向量a、b满足|a+b|=|a-b|,则下面结论正确的是( B )
(A)a∥b (B)a⊥b
(C)|a|=|b| (D)a+b=a-b
解析:法一代数法:将原式平方得|a+b|2=|a-b|2,
∴a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2,∴a·b=0,∴a⊥b,
故选B.
法二几何法:如图所示,
在▱ABCD中,设=a,=b,
∴=a+b,=a-b,
∵|a+b|=|a-b|,
∴平行四边形两条对角线长度相等,即平行四边形ABCD为矩形,
∴a⊥b,故选B.
4.(2013玉溪一中月考)已知|a|=6,|b|=3,a·b=-12,则向量a在向量b方向上的投影是
( A )
(A)-4 (B)4 (C)-2 (D)2
解析:cos<a,b>===-,
向量a在向量b方向上的投影为
|a|cos<a,b>=6×(-)=-4,
故选A.
5.(2012东北四校联考)已知平面向量a和b,|a|=1,|b|=2,且a与b的夹角为120°,则|2a+b|等于( A )
(A)2 (B)4 (C)2(D)6
解析:由题意可知|2a+b|2=4a2+b2+4a·b=4|a|2+|b|2+4|a||b|·cos 120°=4,所以|2a+b|=2,故选A.
6.(2013成都市高三一诊模拟)已知向量a=(cos θ,sin θ),向量b=(,1),则|2a-b|的最大值和最小值分别为( B )
(A)4,0 (B)4,0 (C)16,0 (D)4,4
解析:|2a-b|=|(2cos θ-,2sin θ-1)|
=
=,
所以最大值和最小值分别为4,0.
故选B.
二、填空题
7.单位圆上三点A,B,C满足++=0,则向量,的夹角为.
解析:∵A,B,C为单位圆上三点 ,
∴||=||=||=1,又++=0,
∴-=+,
∴=(+)2=++2·,
可得cos<,>=-,
∴向量,的夹角为120°.
答案:120°
8.(2011年高考天津卷)已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,
∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|+3|的最小值为.
解析:如图建立平面直角坐标系,
设C(0,b),则B(1,b),
又A(2,0),设P(0,y),
则+3=(2,-y)+3(1,b-y)=(5,3b-4y),
∴|+3|2=25+(3b-4y)2,
∴当3b-4y=0,即y=b时,
|+3|2的最小值为25.
∴|+3|的最小值为5.
答案:5
9.(2012德州一模)已知a=(m,n),b=(p,q),定义a⊗b=mn-pq,下列等式中,
①a⊗a=0;②a⊗b=b⊗a;③(a+b)⊗a=a⊗a+b⊗a;
④(a⊗b)2+(a·b)2=(m2+q2)(n2+p2),
一定成立的是.(填上所有正确等式的序号)
解析:由a⊗b的定义可知,①a⊗a=mn-mn=0,故①正确,②a⊗b=mn-pq,b⊗a=pq-mn,故②错误,③a+b=(m+p,n+q),所以(a+b)⊗a=(m+p)(n+q)-mn,而a⊗a+b⊗a=pq-mn,故③错误,④(a⊗b)2=(mn-pq)2,(a·b)2=(mp+nq)2,所以(a⊗b)2+(a·b)2=(m2+q2)(n2+p2),故④正确.
答案:①④
三、解答题
10.已知a、b、c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2).
(1)若|c|=2,且c∥a,求c的坐标;
(2)若|b|=,且a+2b与2a-b垂直,求a与b的夹角θ.
解:(1)设c=(x,y),由c∥a和|c|=2,可得:
∴或
∴c=(2,4)或c=(-2,-4).
(2)∵(a+2b)⊥(2a-b),
∴(a+2b)·(2a-b)=0,
即2a2+3a·b-2b2=0,
∴2|a|2+3a·b-2|b|2=0,
∴2×5+3a·b-2×=0,
∴a·b=-,
∴cos θ==-1,
∵θ∈[0,π],∴θ=π.
即a与b的夹角大小为π.
11.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c.若·=·=k(k∈R).
(1)判断△ABC的形状;
(2)若k=2,求b的值.
解:(1)∵·=cbcos A,·=bacos C,
∴bccos A=abcos C,
根据正弦定理,得sin Ccos A=sin Acos C,
即sin Acos C-cos Asin C=0,sin(A-C)=0,
∴A=C,即a=c.
则△ABC为等腰三角形.
(2)由(1)知a=c,
由余弦定理,得
·=bccos A=bc·=.
·=k=2,
即=2,解得b=2.
12.(2012山东省威海市高三第一次模拟)已知向量m=(2cos x,cos x-sin
x),n=,且满足f(x)=m·n.
(1)求函数y=f(x)的单调递增区间;
(2)设△ABC的内角A满足f(A)=2,a、b、c分别为角A、B、C所对的边,且·=,求边BC的最小值.
解:(1)f(x)=2cos x（sin x+cos x）+sin x·cos x-sin2x=2sin x·cos x+cos2x-sin2 x=sin 2x+cos 2x=
2sin,
由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,
得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,
故所求单调递增区间为(k∈Z).
(2)由f(A)=2sin=2,0<A<π得A=,
∵·=,即bccos A=,
∴bc=2,
又△ABC中,
a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc≥2bc-bc
=(2-)bc,
∴=(2-)×2=4-2, ∴a min==-1.
即边BC的最小值为-1。