磁场对运动电荷的作用

磁场对运动电荷的作用
一、 考点聚焦
1.磁场对运动电荷的作用，洛伦兹力。

带电粒子在匀强磁场中的运动 Ⅱ
2.质谱仪．回旋加速器 Ⅰ
二、 知识扫描
1．磁场对运动电荷的作用力叫做洛伦兹力。

当v ⊥B qvB f =；当v ∥B 时，f ＝0。

2．洛伦兹力的方向：用左手定则判定。

注意：四指代表电流方向，不是代表电荷的运动方向。

3．由于洛伦兹力f 始终与速度v 垂直，因此f 只改变速度方向而不改变速度大小。

当运动电荷垂直磁场方向进入磁场时仅受洛伦兹力作用，因此一定做匀速圆周运动。

4．带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动有一个动力学方程：
R v m qvB 2=，两个基本公式（1）轨道半径公式：qB mv R =，（2）周期公式：
qB m T π2=。

三、好题精析
例1 在如图11.3-1所示的三维空间中，存在方向未知的匀强磁
场。

一电子从坐标原点出发，沿x 轴正方向运动时方向不变；沿y
轴正方向运动时，受到z 轴负方向的洛伦兹力作用。

试确定当电
子从O 点沿z 轴正方向出发时的轨道平面及绕行方向。

解析 运动的电荷在匀强磁场中方向不变有两种可能：一是电荷沿
磁场方向运动不受洛伦兹力；二是电荷受洛伦兹力与其它力的合
力为零。

本题电子沿x 轴正方向运动时方向不变，表明沿磁场方
向运动，即磁场方向与yOz 平面垂直，而电子沿y 轴正方向运动时，
受到z 轴负方向的洛伦兹力作用，由左手定则可知，磁场指向纸内。

当电子从O 点沿z 轴正方向出发时，轨道平面一定在yOz 平面内，
沿顺时针方向做匀速圆周运动，且圆心在y 轴正方向某一点。

如图
11.3-2所示。

点评 本题考查对洛伦兹力方向的判定和分析带电粒子在磁场中运动轨迹。

物理习题中所给条件有的是直接给出的，也有隐含在题中，需要根据所学知识进行挖掘。

本题中匀强磁场的方向就是通过两步分析来确定的。

图
11.3-1
图11.3-2
例2 电视机的显像管中，电子束的偏转是用磁偏转技术实现的。

电子束经过电压为U 的加速电场后，进入一圆形匀强磁场区，如图11.3-3所示。

磁场方向垂直于圆面。

磁场区的中心为O ，半径为r 。

当不加磁场时，电子束将通过O
点而打到屏幕的中心M 点。

为了让电子束射到屏幕边
缘P ，需要加磁场，使电子束偏转一已知角度θ，此
时磁场的磁感应强度B 应为多少？
解析 电子在磁场中沿圆弧ab 运动（如图11.3-4），
圆心为C ，半径为R 。

以v 表示电子进入磁场时的速
度，m 、e 分别表示电子的质量和电量，则 eU ＝2
1mv 2 ① evB ＝R
mv 2
② 又有R
r =2tan θ
③ 由以上各式解得
B ＝2tan 21θe mU r ④ 点评 带电粒子在匀强磁场中的运动，其圆心、半径的确定是解题的关键。

圆心的确定是画出粒子运动轨迹中任意两点（一般是射入和射出磁场的两点）的洛伦兹力的方向，沿两个洛伦兹力方向画其延长线，两个延长线的交点即为圆心；半径的确定，一般是利用几何知识、解三角形的方法及圆心角等于圆弧上弦切角的两倍等知识。

此外，还常常会涉及在磁场中运动时间的确定，通常是利用圆心角与弦切角的关系或四边形内角和为360°计算出圆心角的大小，再由T t ⋅=πθ2（或T t ⋅=
360θ）求出运动时间。

例3（2001年高考理综卷）如图11.3-6所示是测量带电
粒子质量的仪器工作原理示意图。

设法使某有机化合物
的气态分子导入图中所示的容器A
中，使它受到电子束
图
11.3-3
图
11.3-5
图11.3-6
轰击，失去一个电子变成正一价的分子离子。

分子离子从狭缝s 1以很小的速度进入电压为U 的加速电场区（初速不计），加速后，再通过狭缝s 2、s 3射入磁感应强度为B 的匀强磁场，方向垂直于磁场区的界面PQ 。

最后，分子离子打到感光片上，形成垂直于纸面而且平行于狭缝s 3的细线。

若测得细线到狭缝s 3的距离为d 。

试导出分子离子的质量m 的表达式。

解析（1）为测定分子离子的质量，该装置用已知的电场和磁场控制其运动，实际的运动现象应能反映分子离子的质量。

这里先是电场的加速作用，后是磁场的偏转作用，分别讨论这两个运动应能得到答案。

以m 、q 表示离子的质量电量，以v 表示离子从狭缝s 2射出时的速度，由功能关系可得
qU mv =22
1 ① 射入磁场后，在洛仑兹力作用下做圆周运动，由牛顿定律可得R
v m qvB 2
= ② 式中R 为圆的半径。

感光片上的细黑线到s 3缝的距离d ＝2R ③ 解得U
d qB m 82
2= ④ 点评 带电粒子垂直进入一边有界磁场，离开磁场时运动轨迹恰好是一个半圆。

例4 一质量为m 、带电量为q 的粒子以速度v 0从O 点沿y 轴正方向射入磁感强度为B 的一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区
后，从b 处穿过x 轴，速度方向与x 轴正向夹角为30°，如
图11.3-7所示（粒子重力忽略不计）。

试求：
（1）圆形磁场区的最小面积；
（2）粒子从O 点进入磁场区到达b 点所经历的时间；
（3）b 点的坐标。

解析（1）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径qB mv R =，由图11.3-8可知， 60='∠b O a ，磁场区域最小半径qB mv R r 2330cos 0=
= ，磁场区域最小面积222022
43B q v m r S ππ==
（2）粒子从O 至a 做匀速圆周运动的时
间
图
11.3-7 图11.3-8
qB
m T t 3231π==，从a 飞出磁场后做匀速直线运动。

∵ab R
= 30tan ∴R ab 3=
qB
m v R v ab t 33002=== ∴)33
2(21+=+=πqB m t t t （3）∵b O R '=
30sin ∴R b O 2=' ∴qB
mv R Ob 033== 故b 点的坐标为（
qB mv 03，0） 点评 求解带电粒子在有界匀强磁场中的运动，首先要规范地画出带电粒子在磁场中运动的部分轨迹，然后找出其几何关系，在根据带电粒子在匀强磁场中圆运动的有关规律求解。

运动，要求两粒子在P 点相遇，OP 一定是位于一段优弧（大于半圆周）和一段劣弧（小于半圆周）上的弦，这两段弧的圆心一定在OP 的中垂线上。

根据定性画出的示意图，结合几何知识即可得解。

例 5．（2004广东18题）如图图11.3-9，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小B =0.60T ，磁场内有一块平面感光板ab ，板面与磁场方向平行，在距ab 的距离16l cm =处，有一个点状的α放射源S ，
它向各个方向发射α粒子，α粒子的速度都是63.010/v m s =⨯，已知α粒子的电荷与质量之比75.010/q C kg m =⨯，现只考虑在图纸平面中运动的α粒子，求ab 上被α粒子打中的区域的长度。

解析 α粒子带正电，故在磁场中沿逆时针方向做
匀速圆周运动，
a
b
l
S
图11.3-9
用R 表示轨道半径，有R
v m qvB 2= ① 由此得B
m q v R )/(= 代入数值得R =10cm 可见，2R >l >R .
因朝不同方向发射的α粒子的圆轨迹都过S ，
由此可知，某一圆轨迹在图中N 左侧与ab 相切，
则此切点P 1就是α粒子能打中的左侧最远点.为定出P 1点的位置，可作平行于ab 的直线cd ，cd 到ab 的距离为R ，以S 为圆心，R 为半径，作弧交cd 于Q 点，过Q 作ab 的垂线，它与ab 的交点即为P 1. 221)(R l R NP --= ②
再考虑N 的右侧。

任何α粒子在运动中离S 的距离不可能超过2R ，以2R 为半径、S 为圆心作圆，交ab 于N 右侧的P 2点，此即右侧能打到的最远点.
由图图11.3-10中几何关系得 222)2(l R NP -=
③
所求长度为 2121NP NP P P += ④
代入数值得 P 1P 2=20cm ⑤
点评 带电粒子在洛伦兹力作用下的匀速圆周运动，圆心位置的确定是关键。

在解决此类问题时，应首先根据各种可能的方向，结合边界条件确定圆心位置，再利用几何关系结合运动规律求解。

四、变式迁移
1．（2004北京理综19题）如图图11.3-11所示，正方形区域abcd 中充满匀强磁场，磁场方
向垂直纸面向里。

一个氢核从ad 边的中点m 沿着既垂直于ad 边又垂直于磁场的方向，以一定速度射入磁场，正好从ab 边中点n 射出磁场。

若将磁场的磁感应强度变为原来的2倍。

其他条件不
变，则这个氢核射出磁场的位置是
A ．在b 、n 之间某点
B ．在n 、a 之间某点
C ．a 点
图
11.3-10
图11.3-11
D ．在a 、m 之间某点
2．如图11.3-12所示，在y ＜0的区域内存在匀强磁场，磁场方向
垂直于xy 平面并指向纸面外，磁感强度为B 。

一带正电的粒子以速
度v 0从O 点射入磁场，入射方向在xy 平面内，与x 轴正向夹角为 。

若粒子射出磁场的位置与O 点的距离为l ，求该粒子的电荷量与质量之比m
q 。

五、能力突破
1．如图11.3-13所示，在垂直纸面向里的匀强磁场的边界上，有
两个质量和电量均相同的正、负离子（不计重力），从O 点以相同
的速度先后射人磁场中，入射方向与边界成θ角，则正、负离子
在磁场中
A ．运动时间相同
B ．运动轨迹的半径相同
C ．重新回到边界时速度的大小和方向相同
D ．重新回到边界的位置与O 点的距离相等
2．当一带正电q 的粒子以速度v 沿通电螺线管中轴线进入该通电螺线管，若不计重力，则
A ．带电粒子速度大小改变
B ．带电粒子速度方向改变
C ．带电粒子速度大小不变
D ．带电粒子速度方向不变
3．（2005西南师大附中模拟）如图11.3-14所示，曲线AB 为
空间中一个电子的运动轨迹，那么该空间中
A ．可能存在沿x 轴正方向的电场
B ．可能存在沿y 轴正方向的电场
C ．可能存在沿Z 轴正方向的磁场
D ．可能存在沿Z 轴负方向的磁场 4．来自宇宙的质子流，以与地球表面垂直的方向射向赤道上
空的某一点，则这些质子在进入地球周围的空间时，将
A ．竖直向下沿直线射向地球
B ．相对于预定地点向东偏转
C ．相对于预定地点稍向西偏转
D ．相对于预定地点稍向北偏转
5．如图11.3-15所示，在圆形区域里，有匀强磁场，方向如图所示。

有一束速率各不相同的质子自A 点沿半径方向射入磁场，这些质
子在磁场中
A ．运动时间越长的，其轨迹所对应的圆心角越大
B ．运动时间越长的，其轨迹越长
C ．运动时间越短的射出磁场时，速率越小
D ．运动时间越短时，射出磁场时，速度方向偏转越小
6.如图11.3-16所示,质量为m ,电量为q 的带正电物体,在磁感应强度为B,方向垂直纸面向里的匀强磁场中,沿动摩擦因数为μ的水平面向左运动,则
A.物体的速度由v 减小到零的时间等于mv/μ
(mg+Bqv) 图
11.3-12 图
11.3-13
Z
图
11.3-14 图
11.3-15 图11.3-16
B.物体的速度由v 减小到零的时间小于mv/μ(mg+Bqv)
C.若另加一个电场强度大小为(mg+Bqv)/q,方向水平向右的匀强电场,物体将作匀速运动
D.若另加一个电场强度大小为(mg+Bqv)/q,方向竖直向上的匀强电
场,物体将作匀速运动
7．串列加速器是用来产生高能离子的装置。

图11.3-17中虚线
框内为其主体的原理示意图，其中加速管的中部b 处有很高的
正电势U 。

a 、c 两端均有电极接地（电势为零）。

现将速度很
低的负一价碳离子从a 端输入，当离子到达b 处时，可被设在
b 处的特殊装置将其电子剥离，成为n 价正离子，而不改变其
速度大小。

这些正n 价碳离子从c 端飞出后进入一与其速度方
向垂直的、磁感强度为B 的匀强磁场中，在磁场中做半径为R 的圆周运动。

已知碳离子的质量m ＝2.0×10－26kg ，U ＝7.5×
105V ，B ＝0.05T ，n ＝2，基元电荷e ＝1.6×10－19C ，求R 。

8．在研究性学习中，某同学设计了一个测定带电粒子比荷的实验，其实验装置如图图11.3-18所示。

abcd 是一个长方形盒子，在ad 边和cd 边上各开有小孔f 和e ，e 是cd 边上的中点，荧光屏M 贴着cd 放置，能显示从e
孔射出的粒子落点位置。

盒子内有一方向垂直于abcd 平面的匀
强磁场，磁感应强度大小为B 。

粒子源不断地发射相同的带电粒子，粒子的初速度可忽略。

粒子经过电压为U 的电场加速后，
从f 孔垂直于ad 边射入盒内。

粒子经磁场偏转后恰好从e 孔射
出。

若已知fd=cd=L ，不计粒子的重力和粒子之间的相互作用力。

请你根据上述条件求出带电粒子的比荷q/m 。

9．如图11.3-19所示，匀强磁场分布在半径为R 的圆形区域内，
磁感应强度为B ，方向垂直纸面向外，ab 是圆的直径．质量是
m 、电量为+q 的带电粒子，由静止开始经加速电场加速后，沿着
与直径ab 平行且相距为0.6R 的直线从c 点进入磁场．若带电粒子在磁场中的运动时间是qB m
2 ，求加速电场的加速电压．
10．(2005盐城模拟)如图11.3-20所示，相距为d 的狭缝P 、Q 间
存在着方向始终与P 、Q 平面垂直、电场强度大小为E 的匀强电
场，且电场的方向按一定规律分时段变化。

狭缝两侧均有磁感强度大小为B 、方向垂直纸面向里的匀强磁场，且磁场区域足够大。

某时刻从P 平面处由静止释放一个质量为m 、带电荷为q 的带负电粒子（不计重力），粒子被加速后由A
点进入Q 平面右侧磁场区，以半径r 1做圆运动，此时电场的方向已经反向，当粒子由A 1点自右向左通过Q 平面后，使粒子再次被加速进入P 平面左侧磁场区做
圆运动，此时电场又已经反向，粒子经半个圆周后通
过P 平面进入PQ 狭缝又被加速，……。

以后粒子每次通过PQ 间都被加速。

设粒子自右向左穿过Q 平面
的位置分别是A 1、A 2、A 3、……A n ……，求： （1）粒子第一次在Q 右侧磁场区做圆运动的半径r 1的大小。

图
11.3-17 图11.3-19
c M
图11.3-18
图11.3-20
（2）粒子第一次和第二次通过Q平面的位置A1和A2之间的距离。

（3）设A n与A n+1间的距离小于r1/3，则n值为多大。