专题08-全等模型巩固练习(基础)-冲刺2021年中考几何专项复习(解析版)

全等模型巩固练习
1． 王强同学用10块高度都是2cm 的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC ＝BC ，∠ACB ＝90°），点C 在DE 上，点A 和B 分别与木墙的顶端重合．
（1）求证：△ADC ≌△CEB ；
（2）求两堵木墙之间的距离．
【解答】（1）见解析；（2）20cm
【解析】（1）证明：由题意得：AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，
∴∠ADC ＝∠CEB ＝90°，
∴∠ACD +∠BCE ＝90°，∠ACD +∠DAC ＝90°，
∴∠BCE ＝∠DAC
在△ADC 和△CEB 中{∠ADC =∠CEB
∠DAC =∠BCE AC =BC
，
∴△ADC ≌△CEB （AAS ）；
（2）由题意得：AD ＝2×3＝6cm ，BE ＝7×2＝14cm ，
∵△ADC ≌△CEB ，
∴EC ＝AD ＝6cm ，DC ＝BE ＝14cm ，
∴DE ＝DC +CE ＝20（cm ），
答：两堵木墙之间的距离为20cm ．
2． 如图，小明站在堤岸的A 点处，正对他的S 点停有一艘游艇，他想知道这艘游艇距离他多远，于是他沿堤岸走到电线杆B 旁，接着再往前走相同的距离，到达C 点，然后他向左直行，当看到电线杆与游艇在一条直线上时停下来．此时他位于D 点．那么C 、D 两点间的距离就是在A 点处小明与游艇的距离，你知道这是为什么吗？
【解答】见解析
【解析】在△ABS 与△CBD 中，{∠A =∠C =90°
AB =CB ∠ABS =∠CBD
，
∴△ABS ≌△CBD （ASA ），
∴AS ＝CD ．
3． 如图，工人师傅要在墙壁的O 处用钻打孔，要使孔口从墙壁对面的B 点处打开，墙壁厚是35cm ，B 点与O 点的铅直距离AB 长是20cm ，工人师傅在旁边墙上与AO 水平的线上截取OC ＝35cm ，画CD ⊥OC ，使CD ＝20cm ，连接OD ，然后沿着DO 的方向打孔，结果钻头正好从B 点处打出，这是什么道理呢？请你说出理由．
【解答】见解析
【解析】∵OC ＝35cm ，墙壁厚OA ＝35cm ，
∴OC ＝OA ，
∵墙体是垂直的，
∴∠OAB ＝90°且CD ⊥OC ，
∴∠OAB ＝∠OCD ＝90°，
在Rt △OAB 和Rt △OCD 中，{∠OAB =∠OCD =90°
OC =OA ∠AOB =∠COD
，
∴Rt △OAB ≌Rt △OCD （ASA ），
∴DC ＝AB ，
∵DC ＝20cm ，
∴AB ＝20cm ，
∴钻头正好从B 点处打出．
4． 课间，小明拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙之间，如图AD ⊥DE ，BE ⊥DE ．
（1）求证：△ADC ≌△CEB ；
（2）若三角板的一条直角边AC ＝25cm ，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a 的大小（每块砖的厚度相等）．
【解答】（1）见解析；（2）5cm ．
【解析】（1）证明：由题意得：AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，
∴∠ADC ＝∠CEB ＝90°，
∴∠ACD +∠BCE ＝90°，∠ACD +∠DAC ＝90°，
∴∠BCE ＝∠DAC ，
在△ADC 和△CEB 中，{∠ADC =∠CEB
∠DAC =∠BCE AC =BC
，
∴△ADC ≌△CEB （AAS ）；
（2）∵一块墙砖的厚度为a ，
∴AD ＝4a ，BE ＝3a ，
由（1）得：△ADC ≌△CEB ，
∴DC ＝BE ＝3a ，AD ＝CE ＝4a ，
∴AC =√AD 2+CD 2=5a ＝25，
∴a ＝5，
答：砌墙砖块的厚度a 为5cm ．
5． 某大学计划为新生配备如图1所示的折叠凳图2是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿AB 和CD 的长相等，O 是它们的中点．为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD 设计为30cm ，由以上信息能求出CB 的长度吗？如果能，请求出BC 的长度，如果不能，请你说明理由．
【解答】30cm
【解析】∵O 是AB 、CD 的中点，
∴OA ＝OB ，OC ＝OD ，
在△AOD 和△BOC 中，{OA =OB
∠AOD =∠BOC OC =OD
，
∴△AOD ≌△BOC （SAS ），
∴CB ＝AD ，
∵AD ＝30cm ，
∴CB ＝30cm ．
6． 在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“X 型转动钳”按如图方法进行测量，其中OA ＝OD ，OB ＝OC ，只需测得AB ＝a ，EF ＝b ，就可以知道圆形容器的壁厚了．
（1）请你利用所学习的数学知识说明AB ＝CD ；
（2）求出圆形容器的壁厚．（用含有a ，b 的代数式表示）
【解答】（1）见解析；（2）12（b ﹣a ） 【解析】（1）连接AB ．
在△AOB 和△DOC 中，
{OA =OD ∠AOB =∠DOC BO =OC
，
∴△AOB≌△DOC（SAS），
∴AB＝CD；
（2）∵EF＝b，AB＝CD＝a，
（b﹣a）．
∴圆形容器的壁厚是1
2
7．如图，要测量河两岸相对两点A、B间的距离，在河岸BM上截取BC＝CD，作ED⊥BD交AC的延长线于点E，垂足为点D．（DE≠CD）
（1）线段的长度就是A、B两点间的距离
（2）请说明（1）成立的理由．
【解答】（1）DE；（2）见解析
【解析】（1）线段DE的长度就是A、B两点间的距离；
故答案为：DE；
（2）∵AB⊥BC，DE⊥BD
∴∠ABC＝∠EDC＝90°
又∵∠ACB＝∠DCE，BC＝CD
∴△ABC≌△CDE（ASA）
∴AB＝DE．
8．某风景区改建中，需测量湖两岸游船码头A、B间的距离，于是工作人员在岸边A、B的垂线AF上取两点E、D，使ED＝AE．再过D点作出AF的垂线OD，并在OD上找一点C，使B、E、C在同一直线上，
这时测得CD 长就是AB 的距离．请说明理由．
【解答】见解析
【解析】证明：∵AB ⊥AD ，CD ⊥AD
∴∠A ＝∠CDE ＝90°
又∵ED ＝AE ，∠AEB ＝∠CED
∴△ABE ≌△CED （AAS ）
所以AB ＝CD ．
9． 课间，王二丁拿着老师的等腰直角三角板的三角板玩，不小心掉到两墙之间，如图所示AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，AD ⊥DE ，BE ⊥DE
（1）求证：△ADC ≌△CEB ；
（2）已知DE ＝42cm ，请你帮王二丁求出砌墙的厚度a 的大小（每块砖的厚度相等）．
【解答】（1）见解析；（2）6
【解析】（1）证明：由题意得：AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，
∴∠ADC ＝∠CEB ＝90°，
∴∠ACD +∠BCE ＝90°，∠ACD +∠DAC ＝90°，
∴∠BCE ＝∠DAC ，
在△ADC 和△CEB 中，{∠ADC =∠CEB
∠DAC =∠BCE AC =BC
，
∴△ADC ≌△CEB （AAS ）；
（2）由题意得：∵一块墙砖的厚度为a ，
∴AD ＝4a ，BE ＝3a ，
由（1）得：△ADC ≌△CEB ，
∴DC＝BE＝3a，AD＝CE＝4a，
∴DC+CE＝BE+AD＝7a＝42，
∴a＝6，
答：砌墙的厚度a为6cm．
10．如图，小明站在乙楼BE前方的点C处，恰好看到甲、乙两楼楼顶上的点A和E重合为一点，若B、C 相距30米，C、D相距60米，乙楼高BE为20米，小明身高忽略不计，则甲楼的高AD是多少米？
【解答】40米
【解析】∵AD⊥DC，EB⊥BC，
∴AD∥BE，
∴∠AEF＝∠C，
∵B、C相距30米，C、D相距60米，
∴EF＝DB＝BC＝30米，
∵∠AFE＝∠EBC＝90°，
∴△AEF≌△ECB（ASA），
∴AF＝BE，
∵DF＝BE，
∴AD＝2BE＝2×20＝40（米）．
答：甲楼的高AD是40米．
11．雨伞的中截面如图所示，伞骨AB＝AC，支撑杆OE＝OF，AE=1
3AB，AF=1
3
AC，当O沿AD滑动时，
雨伞开闭，问雨伞开闭过程中，∠BAD与∠CAD有何关系？说明理由．
【解答】∠BAD ＝∠CAD
【解析】雨伞开闭过程中二者关系始终是：∠BAD ＝∠CAD ，
理由如下：
∵AB ＝AC ，AE =13AB ，AF =13AC ， ∴AE ＝AF ，
在△AOE 与△AOF 中，
{AE =AF AO =AO OE =OF
，
∴△AOE ≌△AOF （SSS ），
∴∠BAD ＝∠CAD ．
12．如图，O 为海港码头，A ，B 是到海港码头O 距离相等的两座灯塔，OA ，OB 为海岸线，一艘渔船离开码头，计划沿∠AOB 的平分线方向航行，在航行途中，测得渔船到灯塔A ，B 的距离始终相等．
（1）渔船是否偏离预定的航线？为什么？（C 表示渔船航行途中的某一位置）
（2）已知灯塔A ，B 距离码头17海里，灯塔A ，B 相距16海里，若渔船航行到距离灯塔17海里的E 处，渔船离开海港码头多远？
【解答】（1）渔船没偏离预定的航线；（2）30海里
【解析】（1）没有偏离预定航行，
理由如下：连接AC ，BC ，
在△AOC 与△BOC 中，{OA =OB
OC =OC AC =BC
，
∴△AOC ≌△BOC （SSS ）．
∴∠AOC ＝∠BOC ，
即点C 在∠AOB 的平分线上，
∴渔船没偏离预定的航线；
（2）连接AE ，AB 交OC 于∵OA ＝OB ，∠AOC ＝∠BOC ，
∴OC ⊥AB ，AC ＝BC =12AB ＝8， 由题意得，OA ＝OB ＝AE ＝17，AB ＝16，
∴OC =2−AC 2=√172−82=15，
∵AO ＝AE ，AC ⊥OE ，
∴OE ＝2OC ＝30，
故渔船离开海港码头30海里．
13．如图，A 、B 两建筑物位于河的两岸，要测得它们之间的距离，可以从B 点出发沿河岸画一条射线BF ，在BF 上截取BC ＝CD ，过D 作DE ∥AB ，使E 、C 、A 在同一直线上，则DE 的长就是A 、B 之间的距离，请你说明道理．
【解答】见解析
【解析】
∵DE ∥AB ，
∴∠CED ＝∠CAB ，
{∠CAB =∠CED
∠ACB =∠ECD BC =CD
∴△ABC ≌△EDC （AAS ），
∴AB ＝ED ，
答：DE 的长就是A 、B 之间的距离．
14．如图所示，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯BC 的高AC 与右边滑梯EF 水平方向的长度DF 相等，两滑梯倾斜角∠ABC 和∠DFE 有什么关系？
【解答】∠ABC 与∠DFE 互余
【解析】证明：在Rt △ABC 和Rt △DEF 中，{BC =EF AC =DF
∴Rt △ABC ≌Rt △DEF （HL ）
∴∠ABC ＝∠DEF
又∵∠DEF +∠DFE ＝90°
∴∠ABC +∠DFE ＝90°
即两滑梯的倾斜角∠ABC 与∠DFE 互余．。