人教版数学高一A版必修2导学案 4.1.1圆的标准方程

4．1.1 圆的标准方程
1．明确圆的基本要素，能用定义推导圆的标准方程．2．会求圆的标准方程，能够判断点与圆的位置关系．
1．圆
M的____适合方程
(x－a)2＋(y－b)2＝
由圆的标准方程，可直接得到圆心和半径；给出圆心和半径，也可直接写出圆的标准方程．
【做一做1－1】圆x2＋y2＝1的圆心为()
A．(0,0) B．(1,1) C．(0,1) D．不存在
【做一做1－2】圆(x－1)2＋(y＋2)2＝2的半径为()
A．1 B.2C．2 D．4
2．点与圆的位置关系
圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2
【做一做2 】 圆C ：(x －1)2＋(y ＋2)2＝4，点P(x 0，y 0)在圆C 内部，且d ＝(x 0－1)2＋(y 0＋2)2，则有( )
A ．d ＞2
B ．d ＜2
C ．d ＞4
D ．d ＜4
答案：1．圆心 半径
(x －a )2＋(y －b )2＝r 2 坐标 圆C
【做一做1－1】 A
【做一做1－2】 B
2．＞ ＝ ＜
【做一做2】 D
1．特殊位置的圆的标准方程
剖析：如下表所示．
2.圆不是函数的图象
剖析：根据函数的知识，对于平面直角坐标系中某一曲线，如果垂直于x 轴的直线与此曲线至多有一个交点，那么这条曲线是函数的图象；否则，不是函数的图象．在平面直角坐标系中，垂直于x 轴的直线与圆至多有两个交点，因此圆不是函数的图象．但是存在图象是圆弧形状的函数．例如，函数y ＝b ＋r 2－(x －a )2(r>0)的图象是以(a ，b)为圆心，半径为r ，
位于直线y ＝b 上方的半圆；函数y ＝b －
r 2－(x －a )2(r>0)的图象是以(a ，b)为圆心，半径为r ，位于直线y ＝b 下方的半圆．
函数和圆的联系，丰富了函数概念的内涵，又对圆赋予了代数意义．因此，可以用函数来研究平面几何问题，反过来也可以用平面几何研究函数问题，这充分揭示了数和形的密切
联系，体现了数形结合的完美统一．
题型一：判断点与圆的位置关系
【例1】已知圆C：(x－5)2＋(y－6)2＝10，试判断点M(6,9)，N(3,3)，Q(5,3)与圆C的位置关系．
反思：判断点与圆的位置关系，可以判断该点与圆心的距离和圆的半径的大小关系，如本题；也可将该点的坐标代入圆的方程判断．
题型二：求圆的标准方程
【例2】求经过A(6,5)，B(0,1)两点，并且圆心在直线l：3x＋10y＋9＝0上的圆的标准方程．
反思：求圆的标准方程的方法：
(1)直接法(如本题解法一)，直接求出圆心坐标和半径．
(2)待定系数法(如本题解法二)，步骤是：
①设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2；
②由条件列方程(组)解得a，b，r的值；
③写出圆的标准方程．
题型三：易错辨析
易错点不理解圆的标准方程
【例3】已知圆C：(x－5)2＋(y＋1)2＝3，则圆C的周长等于__________．
错解：半径r＝3，则周长等于2πr＝6π，故填6π.
错因分析：圆C的半径r≠3，应有r2＝3，r＝ 3.
反思：圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝m(m＞0)，其中圆C的半径r≠m，应为r＝m.
答案：【例1】解：圆心C(5,6)，半径r＝10.
|CM|＝(6－5)2＋(9－6)2＝10，
|CN|＝(3－5)2＋(3－6)2＝13＞10，
|CQ|＝(5－5)2＋(3－6)2＝3＜10.
因此点M 在圆上，点N 在圆外，点Q 在圆内．
【例2】 解法一：(直接法)
由题意，得AB 的中垂线方程为3x ＋2y －15＝0，
由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y －15＝0，3x ＋10y ＋9＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝7，y ＝－3.
∴圆心为C (7，－3)．
∴r ＝|CB |＝72＋(1＋3)2＝65. ∴所求圆的标准方程是(x －7)2＋(y ＋3)2＝65.
解法二：(待定系数法)
设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)．
则有⎩⎪⎨⎪⎧ (6－a )2＋(5－b )2＝r 2，(0－a )2＋(1－b )2＝r 2，
3a ＋10b ＋9＝0，
解得a ＝7，b ＝－3，r ＝65.
∴所求圆的标准方程是(x －7)2＋(y ＋3)2＝65.
【例3】 23π
1．圆心为(0,4)，且过点(3,0)的圆的方程为( )
A ．x 2＋(y －4)2＝25
B ．x 2＋(y ＋4)2＝25
C ．(x －4)2＋y 2＝25
D ．(x ＋4)2＋y 2＝25
2．已知圆的方程是(x －2)2＋(y －3)2＝4，则点P(3,2)( )
A ．是圆心
B ．在圆上
C ．在圆内
D ．在圆外
3．点P(1，－1)在圆(x ＋2)2＋y 2＝m 的外部，则实数m 的取值范围是__________．
4．已知圆C ：(x ＋2)2＋(y －6)2＝1和直线l ：3x －4y ＋5＝0，求圆C 关于直线l 对称的圆的方程．
5．已知△ABC 的三个顶点分别为A(1,1)，B(1,4)，C(5,1)，求它的外接圆的方程．
答案：1．A 2.C 3.(0,10)
4．解：圆C ：(x ＋2)2＋(y －6)2＝1的圆心为C (－2,6)，半径为1，设所求圆的圆心为
M (a ，b )，半径为1.
由题知点M 与点C 关于直线l 对称，则有
263450,22631,24a b b a -+⎧⨯-⨯+=⎪⎪⎨-⎪⨯=-⎪+⎩
解得a ＝4，b ＝－2. 则所求圆的方程为(x －4)2＋(y ＋2)2＝1.
5．解法一：设△ABC 外接圆的方程为 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则
222222222(1)(1),(1)(4),(5)(1),a b r a b r a b r ⎧-+-=⎪-+-=⎨⎪-+-=⎩
解得3,2.5,2.5,a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2.5)2＝6.25. 解法二：线段AB 的中垂线为y ＝2.5，
线段AC 的中垂线为x ＝3，则圆心为(3,2.5)， 半径r
2.5， 故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2.5)2＝6.25.。