2019高考(押题)数学二轮复习 专题五 解析几何 第二讲 椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程与性质教案 理

第二讲椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程与性质
圆锥曲线的定义与标准方程
授课提示：对应学生用书第49页
[悟通——方法结论]
1．圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)；
(2)双曲线：|||PF 1|－|PF 2|＝2a (2a <|F 1F 2|)；
(3)抛物线：|PF |＝|PM |，点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于M . 2．求解圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”．
所谓“定型”，就是曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2
，b 2
，p 的值．
[全练——快速解答]
1．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y
＝52x ，且与椭圆x 2
12＋y
2
3
＝1有公共焦点，则C 的方程为( ) A.x 28－y 2
10＝1
B.x 24－y 25＝1
C.x 25－y 2
4
＝1 D.x 24－y 2
3＝1 解析：根据双曲线C 的渐近线方程为y ＝5
2
x ， 可知b a ＝
5
2
.① 又椭圆x 212＋y 2
3＝1的焦点坐标为(3,0)和(－3,0)，
所以a 2
＋b 2
＝9.②
根据①②可知a 2
＝4，b 2
＝5， 所以C 的方程为x 24－y 2
5＝1.
答案：B
2．(2018·山西四校联考)设抛物线C ：y 2
＝3px (p ＞0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则抛物线C 的方程为( )
A ．y 2
＝4x 或y 2
＝8x B ．y 2
＝2x 或y 2
＝8x C ．y 2
＝4x 或y 2
＝16x D ．y 2
＝2x 或y 2
＝16x
解析：∵抛物线C ：y 2
＝3px (p ＞0)的焦点为F (3p 4，0)，∴|OF |＝3p 4，∵以MF 为直径的
圆过点(0,2)，设A (0,2)，连接AF ，AM ，可得AF ⊥AM ，在Rt △AOF 中，|AF |＝
4＋9p
2
16
，
∴sin ∠OAF ＝|OF |
|AF |
＝
3p 44＋
9p 2
16
，根据抛物线的定义，得直线AO 切以MF 为直径的圆于点A ，
∴∠OAF ＝∠AMF ，可得在Rt △AMF 中，sin ∠AMF ＝|AF |
|MF |
＝
3p 44＋
9p 2
16
，∵|MF |＝5，|AF |＝
4＋9p
2
16
，∴
4＋
9p 2
165
＝3p 4
4＋
9p
2
16
，整理得4＋9p 2
16＝15p 4，解得p ＝43或p ＝16
3，∴C 的方程为y 2
＝4x 或y 2
＝16x .
答案：C
3．如果点P 1，P 2，P 3，…，P 10是抛物线y 2
＝2x 上的点，它们的横坐标依次为x 1，x 2，
x 3，…，x 10，F 是抛物线的焦点，若x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 10＝5，则|P 1F |＋|P 2F |＋|P 3F |＋…＋
|P 10F |＝________.
解析：由抛物线的定义可知，抛物线y 2
＝2px (p ＞0)上的点P (x 0，y 0)到焦点F 的距离|PF |＝x 0＋p
2
，在y 2
＝2x 中，p ＝1，所以|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P 10F |＝x 1＋x 2＋…＋x 10＋5p ＝10. 答案：10
4．(2018·重庆模拟)从双曲线x 24－y 2
9＝1的左焦点F 引圆x 2＋y 2
＝4的切线FP 交双曲线
右支于点P ，T 为切点，M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则|MO |－|M T|＝________.
解析：不妨设点P 在第一象限，双曲线x 24－y 2
9＝1的右焦点为F ′，连接PF ′，O T.(图
略)因为M 为线段FP 的中点，所以|OM |＝12|PF ′|，|FM |＝1
2|PF |，且|O T|＝2，|OF |＝13，
所以|F T|＝|OF |2
－|OT |2
＝3，由双曲线的定义得|PF |－|PF ′|＝4，易知|MF |＞|F T|，所以|MO |－|M T|＝12|PF ′|－(|MF |－|F T|)＝12|PF ′|－12|PF |＋|F T|＝1
2(|PF ′|－|PF |)＋3
＝
1
2
×(－4)＋3＝1. 答案：1
1．圆锥曲线的定义反映了它们的基本特征，理解定义是掌握其性质的基础． 2．在使用椭圆与双曲线的标准方程时，要注意区分焦点位置．
椭圆、双曲线、抛物线的几何性质
授课提示：对应学生用书第49页
[悟通——方法结论]
1．椭圆、双曲线中，a ，b ，c 之间的关系 (1)在椭圆中：a 2
＝b 2
＋c 2
，离心率为e ＝c a
＝ 1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫b a 2；
(2)在双曲线中：c 2
＝a 2
＋b 2
，离心率为e ＝c a
＝
1＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫b a
2.
2．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±b
a
x .注意离心率e 与渐近线的斜率
的关系．
3．抛物线方程中p 的几何意义为焦点到准线的距离．
[全练——快速解答]
1．(2018·南宁、柳州联考)已知双曲线x 23－y 2b
＝1(b ＞0)的一个焦点与抛物线y 2
＝8x 的
焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为( )
A ．y ＝±1
3x
B ．y ＝±
33
x C ．y ＝±3x
D ．y ＝±3x
解析：由题意知，抛物线的焦点是(2,0)，即双曲线x 23－y 2
b
＝1的一个焦点坐标是(2,0)，
则c ＝2，且双曲线的焦点在x 轴上，所以3＋b ＝22
，即b ＝1，于是双曲线的渐近线方程为
y ＝±
3
3
x ，故选B. 答案：B
2．(2018·贵阳模拟)椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，右焦点为F ，过点F
且垂直于x 轴的直线交C 于P ，Q 两点，若cos ∠PAQ ＝3
5
，则椭圆C 的离心率e 为( )
A.12
B.22
C.33
D.23
解析：根据题意可取P (c ，b 2a )，Q (c ，－b 2a )，所以tan ∠PAF ＝b 2a
a ＋c ＝
b 2a 2＋a
c ＝a 2－c 2a 2＋ac ＝
a －c a
＝1－e ，cos ∠PAQ ＝cos 2∠PAF ＝cos 2
∠PAF －sin 2
∠PAF ＝cos 2
∠PAF －sin 2
∠PAF
cos 2∠PAF ＋sin 2
∠PAF
＝1－tan 2∠PAF 1＋tan 2∠PAF ＝1－(1－e )2
1＋(1－e )2＝35，故5－5(1－e )2＝3＋3(1－e )2⇒8(1－e )2＝2⇒(1－e )2
＝14.
又椭圆的离心率e 的取值范围为(0,1)，所以1－e ＝12，e ＝1
2
.故选A.
答案：A
3．(2018·惠州模拟)已知F 1，F 2是双曲线y 2a 2－x 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，过其中
一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段
F 1F 2为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是( )
A ．(1,2)
B ．(2，＋∞)
C ．(1，2)
D ．(2，＋∞)
解析：如图，不妨设F 1(0，c )，F 2(0，－c ) ，则过点
F 1与渐近线y ＝a b x 平行的直线为y ＝a
b x ＋
c ，联立，得
⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝a
b x ＋
c ，y ＝－a b x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－bc
2a ，y ＝c
2，
即M (－
bc
2a
，c
2)．因点M 在以线段F 1F 2为直径的圆x 2
＋y 2
＝c 2
内，故(－bc
2a )2
＋(c
2)2＜c 2，化简得b 2＜3a 2
，即c 2
－a 2
＜3a 2
，解得c
a ＜2，又双曲线的离心率e ＝c a
＞1，所以双曲线离心率的取值范围是(1,2)．故选A.
答案：A
4．(2018·高考全国卷Ⅲ)已知点M (－1,1)和抛物线C ：y 2
＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________.
解析：法一：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪
⎧
y 2
1＝4x 1，y 2
2＝4x
2，
∴y 21－y 2
2＝4(x 1－x 2)，∴k ＝
y 1－y 2x 1－x 2＝4
y 1＋y 2
. 设AB 中点M ′(x 0，y 0)，抛物线的焦点为F ，分别过点A ，B 作准线x ＝－1的垂线，垂足为A ′，B ′，
则|MM ′|＝12|AB |＝1
2(|AF |＋|BF |)
＝1
2(|AA ′|＋|BB ′|)． ∵M ′(x 0，y 0)为AB 中点，
∴M 为A ′B ′的中点，∴MM ′平行于x 轴， ∴y 1＋y 2＝2，∴k ＝2.
法二：由题意知，抛物线的焦点坐标为F (1,0)，设直线方程为y ＝k (x －1)，直线方程与y 2
＝4x 联立，消去y ，得k 2x 2
－(2k 2
＋4)x ＋k 2
＝0.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝1，x 1＋x 2＝2k 2
＋4
k
2.
由M (－1,1)，得A M →＝(－1－x 1,1－y 1)，B M →
＝(－1－x 2,1－y 2)． 由∠AMB ＝90°，得A M →·B M →
＝0， ∴(x 1＋1)(x 2＋1)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0， ∴x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1＝0.
又y 1y 2＝k (x 1－1)·k (x 2－1)＝k 2
[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]，
y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)，
∴1＋2k 2
＋4k
2＋1＋k 2⎝
⎛⎭⎪⎫1－2k 2
＋4k
2＋1－k ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2k 2
＋4k 2－2＋1＝0，
整理得4k 2－4
k
＋1＝0，解得k ＝2.
答案：2
1．椭圆、双曲线的离心率(或范围)的求法
求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系或不等关系，然后把b 用a ，c 代换，求c a
的值．
2．双曲线的渐近线的求法及用法
(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得． (2)用法：①可得b a 或a b
的值．
②利用渐近线方程设所求双曲线的方程．
直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系
授课提示：对应学生用书第50页
[悟通——方法结论]
弦长问题
设直线与圆锥曲线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若直线AB 的斜率存在(设为k )，则|AB |＝1＋k 2
|x 1－x 2|或|AB |＝
1＋1k
2|y 1－y 2|(k ≠0)，其中|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2
－4x 1x 2，
|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2
－4y 1y 2；若直线AB 的斜率不存在，则直接求出直线与圆锥曲线的交点坐标，利用两点间的距离公式求弦长．
(1)(2018·山西八校联考)抛物线y 2
＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点N 在x 轴上且
在点F 的右侧，线段FN 的垂直平分线l 与抛物线在第一象限的交点为M ，直线MN 的倾斜角为135˚，O 为坐标原点，则直线OM 的斜率为( )
A ．22－2
B ．22－1 C.2－1
D ．32－4
解析：如图，设直线L 为抛物线的准线，过点M 向准线引垂线，
垂足为A ，交y 轴于点B ，设|MF |＝t ，因为点M 在FN 的垂直平分线上，且直线MN 的倾斜角为135˚，所以直线MF 的倾斜角为45˚，由抛物线的定义得t ＝|MA |＝p ＋
22t ，即t ＝2p 2－1
＝(2＋2)p ，所以|OB |＝2
2t ＝(2＋1)p ，|BM |＝t －p 2
＝(3＋22)p
2
，设直线OM 的倾斜角为θ，则∠OMB ＝θ，所以直
线OM 的斜率为tan θ＝|OB ||MB |＝2(2＋1)
3＋22
＝22－2，故选A.
答案：A
(2)(2017·高考全国卷Ⅰ)(12
分)设
A ，
B 为曲线
C ：
①求直线AB 的斜率；
②设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线且求直线AB
的方程．
[学审题]
[规范解答] ①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1≠x 2，y 1＝14，y 2＝2
4
，x 1＋x 2＝4，
(2分)
于是直线AB 的斜率k ＝
y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 2
4
＝1. (4分)
②由y ＝x 24，得y ′＝x
2.
设M (x 3，y 3)，由题设知x 3
2＝1，
解得x 3
＝2， (6分)
于是M (2,1)．
设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，
(8分)
故线段AB 的中点为N (2,2＋m )，|MN |＝|m ＋1|. 将y ＝x ＋m 代入y ＝x 2
4
，得x 2
－4x －4m ＝0.
当Δ＝16(m ＋1)>0，即m >－1时，x 1,2＝2±2m ＋1. 从而|AB |＝2|x 1－x 2|＝42(m ＋1) .
(10分)
由题设知|AB |＝2|MN |，即42(m ＋1)＝2(m ＋1)，解得m ＝7(m ＝－1舍去)．
所以直线AB 的方程为x －y ＋7＝0.
(12分)
直线与圆锥曲线的位置关系问题充分体现了方程思想，化归思想及数形结合思想，着重考查运算及推理能力，其解决的方法一般是：
(1)设直线方程，在直线的斜率不确定的情况下要分斜率存在和不存在进行讨论，或将直线方程设成x ＝my ＋b 的形式；
(2)联立直线方程与曲线方程并将其转化为一元二次方程，利用判别式或根与系数的关系得到交点横坐标或纵坐标的关系．
[练通——即学即用]
1．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2
3－y 2
＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，
过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝( )
A.32 B ．3 C ．2 3
D ．4
解析：由已知得双曲线的两条渐近线方程为y ＝±
1
3
x .
设两渐近线夹角为2α，则有tan α＝1
3＝3
3
，所以α＝30°.
所以∠MON ＝2α＝60°.
又△OMN 为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MN ⊥ON ，如图所示． 在Rt △ONF 中，|OF |＝2，则|ON |＝ 3.
则在Rt △OMN 中，|MN |＝|ON |·tan 2α＝3·tan 60°＝3. 故选B. 答案：B
2．(2018·洛阳模拟)已知短轴的长为2的椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)，直线n 的横、
纵截距分别为a ，－1，且原点O 到直线n 的距离为
32
. (1)求椭圆E 的方程；
(2)直线l 经过椭圆E 的右焦点F 且与椭圆E 交于A ，B 两点，若椭圆E 上存在一点C 满足OA →＋3OB →－2OC →
＝0，求直线l 的方程．
解析：(1)∵椭圆E 的短轴的长为2，故b ＝1. 依题意设直线n 的方程为x a
－y ＝1，由
11
a 2
＋1
＝3
2
，解得a ＝3，故椭圆E 的方程为x 2
3
＋y 2
＝1.
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，
当直线l 的斜率为0时，显然不符合题意．
当直线l 的斜率不为0或直线l 的斜率不存在时，F (2，0)，设直线l 的方程为x ＝t y ＋2，
由⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
3＋y 2＝1，x ＝ty ＋2，
得(t 2＋3)y 2
＋22t y －1＝0，
∴y 1＋y 2＝－22t t 2＋3，y 1y 2＝－1t 2＋3
， ①
∵OA →＋3OB →－2OC →
＝0，∴x 3＝12x 1＋32x 2，y 3＝12y 1＋32y 2，
又点C 在椭圆E 上，
∴x 233＋y 2
3
＝13(12x 1＋32x 2)2＋(12y 1＋32y 2)2＝14(x 213＋y 21)＋34(x 2
23＋y 22)＋32(1
3
x 1x 2＋y 1y 2)＝1， 又x 21
3＋y 21
＝1，x 22
3＋y 2
2＝1， ∴1
3
x 1x 2＋y 1y 2＝0， ② 将x 1＝t y 1＋2，x 2＝t y 2＋2及①代入②得t 2
＝1，即t ＝1或t ＝－1. 故直线l 的方程为x ＋y －2＝0或x －y －2＝0.
授课提示：对应学生用书第143页
一、选择题
1．(2018·广西南宁模拟)双曲线x 225－y 2
20
＝1的渐近线方程为( )
A ．y ＝±4
5x
B ．y ＝±5
4x
C ．y ＝±1
5
x
D ．y ＝±25
5
x
解析：在双曲线 x 225－y 220＝1中，a ＝5，b ＝25，而其渐近线方程为y ＝±b
a x ，∴其渐
近线方程为y ＝±25
5
x ，故选D.
答案：D
2．已知椭圆C 的方程为x 2
16＋y 2m 2＝1(m ＞0)，如果直线y ＝2
2
x 与椭圆的一个交点M 在x
轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F ，则m 的值为( )
A ．2
B ．2 2
C ．8
D ．2 3
解析：根据已知条件得c ＝16－m 2
，则点⎝ ⎛⎭
⎪⎫16－m 2，2216－m 2在椭圆x 2
16＋y 2
m 2＝1(m
＞0)上，∴16－m 2
16＋16－m
2
2m
2＝1，可得m ＝2 2.
答案：B
3．(2018·张掖模拟)双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1相切，
则双曲线的离心率为( )
A. 2
B. 3 C ．2 D ．3
解析：双曲线x 2a 2－y 2b
2＝1的渐近线与圆x 2＋(y －2)2
＝1相切，则圆心(0,2)到直线bx －ay
＝0的距离为1，所以
2a
a 2＋b
2
＝1，即2a c ＝1，所以双曲线的离心率e ＝c
a
＝2，故选C. 答案：C
4．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1、A 2，
且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( )
A.
63 B.33 C.23 D.13
解析：以线段A 1A 2为直径的圆的圆心为坐标原点O (0,0)，半径为a .由题意，圆心到直
线bx －ay ＋2ab ＝0的距离为2ab
a 2＋b
2＝a ，即a 2
＝3b 2
.又e 2
＝1－b 2a 2＝23，所以e ＝6
3.
答案：A
5．已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为45，渐近线方程为2x ±y ＝0，则双曲
线的方程为( )
A.x 24－y 2
16＝1 B.x 216－y 2
4＝1 C.
x 216－y 264
＝1 D.
x 2
64－y 2
16
＝1 解析：易知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点在x 轴上，所以由渐近线方程为2x ±y
＝0，得b a
＝2，因为双曲线的焦距为45，所以c ＝25，结合c 2＝a 2＋b 2
，可得a ＝2，b ＝4，所以双曲线的方程为x 24－y 2
16
＝1，故选A.
答案：A
6．(2018·长春模拟)已知O 为坐标原点，设F 1，F 2分别是双曲线x 2
－y 2
＝1的左、右焦点，P 为双曲线上任意一点，过点F 1作∠F 1PF 2的平分线的垂线，垂足为H ，则|OH |＝( )
A ．1
B ．2
C ．4
D.12
解析：不妨设P 在双曲线的左支，如图，延长F 1H 交PF 2于点M ，由于PH 既是∠F 1PF 2
的平分线又垂直于F 1M ，故△PF 1M 为等腰三角形，|PF 1|＝|PM |且H 为F 1M 的中点，所以OH 为△MF 1F 2的中位线，所以|OH |＝12|MF 2|＝12(|PF 2|－|PM |)＝1
2
(|PF 2|－|PF 1|)＝1.故选A.
答案：A
7．(2018·高考全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，则点
(4,0)到C 的渐近线的距离为( )
A. 2 B ．2 C.32
2
D ．2 2
解析：由题意，得e ＝c a
＝2，c 2＝a 2＋b 2，得a 2＝b 2
.又因为a ＞0，b ＞0，所以a ＝b ，渐近线方程为x ±y ＝0，点(4,0)到渐近线的距离为
42
＝22，
故选D. 答案：D
8．(2018·石家庄一模)已知直线l ：y ＝2x ＋3被椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)截得的弦
长为7，有下列直线：①y ＝2x －3；②y ＝2x ＋1；③y ＝－2x －3；④y ＝－2x ＋3.其中被椭圆C 截得的弦长一定为7的有( )
A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．4条
解析：易知直线y ＝2x －3与直线l 关于原点对称，直线y ＝－2x －3与直线l 关于x 轴对称，直线y ＝－2x ＋3与直线l 关于y 轴对称，故由椭圆的对称性可知，有3条直线被椭圆C 截得的弦长一定为7.选C.
答案：C
9．(2018·洛阳模拟)设双曲线C ：x 216－y 2
9＝1的右焦点为F ，过F 作双曲线C 的渐近线
的垂线，垂足分别为M ，N ，若d 是双曲线上任意一点P 到直线MN 的距离，则d
|PF |
的值为( )
A.34
B.45 C ．54
D ．无法确定
解析：双曲线C ：x 216－y 2
9＝1中，a ＝4，b ＝3，c ＝5，右焦点F (5,0)，渐近线方程为y
＝±34x .不妨设M 在直线 y ＝34x 上，N 在直线y ＝－34x 上，则直线MF 的斜率为－4
3，其方程
为y ＝－43(x －5)，设M (t ，34t)，代入直线MF 的方程，得34t ＝－43(t －5)，解得t ＝165
，即
M (165，125)．由对称性可得N (165，－125)，所以直线MN 的方程为x ＝165
.设P (m ，n )，则d ＝
|m －165|，m 2
16－n 2
9＝1，即n 2＝916(m 2－16)，则|PF |＝(m －5)2＋n 2
＝14|5m －16|.故d |PF |＝
|m －165
|
14
|5m －16|＝4
5，故选B.
答案：B
10．(2018·高考全国卷Ⅰ)设抛物线C ：y 2
＝4x 的焦点为F ，过点(－2,0)且斜率为23的
直线与C 交于M ，N 两点，则FM →·FN →
＝( )
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
解析：由题意知直线MN 的方程为y ＝2
3(x ＋2)，
联立直线与抛物线的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝23
(x ＋2)，
y 2＝4x ，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝1，y ＝2
或⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝4，y ＝4.
不妨设M 为(1,2)，N 为(4,4)．
又∵抛物线焦点为F (1,0)，∴FM →＝(0,2)，FN →
＝(3,4)， ∴FM →·FN →
＝0×3＋2×4＝8. 故选D. 答案：D
11．(2018·广西五校联考)已知点F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右
焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线与双曲线交于M ，N 两点，若MF 1→·NF →
1＞0，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )
A ．(2，2＋1)
B ．(1，2＋1)
C ．(1，3)
D ．(3，＋∞)
解析：设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，
依题意可得c 2a 2－y 2b 2＝1，得到y ＝b 2
a ，
不妨设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2
a ，N ⎝
⎛⎭⎪⎫c ，－b 2
a ，
则MF →
1·NF →1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2c ，－b 2
a ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫－2c ，b 2
a ＝4c 2
－b 4
a
2＞0，
得到4a 2c 2－(c 2－a 2)2
＞0， 即a 4
＋c 4
－6a 2c 2
＜0， 故e 4
－6e 2
＋1＜0，
解得3－22＜e 2
＜3＋22， 又e ＞1，所以1＜e 2＜3＋22， 解得1＜e ＜1＋ 2 答案：B
12．(2018·南昌模拟)抛物线y 2
＝8x 的焦点为F ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是抛物线上
的两个动点，若x 1＋x 2＋4＝
23
3
|AB |，则∠AFB 的最大值为( ) A.π3 B.3π4 C.5π6
D.2π3
解析：由抛物线的定义可得|AF |＝x 1＋2，|BF |＝x 2＋2，又x 1＋x 2＋4＝23
3|AB |，
得|AF |＋|BF |＝23
3|AB |，
所以|AB |＝
3
2
(|AF |＋|BF |)． 所以cos ∠AFB ＝|AF |2
＋|BF |2
－|AB |
2
2|AF |·|BF |
＝
|AF |2
＋|BF |2
－⎣⎢⎡⎦
⎥⎤32()|AF |＋|BF |2
2|AF |·|BF |
＝14|AF |2＋14|BF |2
－32|AF |·|BF |2|AF |·|BF |
＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫|AF ||BF |＋|BF ||AF |－34≥1
8×2|AF ||BF |·|BF ||AF |－34＝－1
2
，而0＜∠AFB ＜π， 所以∠AFB 的最大值为2π
3.
答案：D 二、填空题
13．(2018·成都模拟)已知双曲线x 2a 2－y 22
＝1(a ＞0)和抛物线y 2
＝8x 有相同的焦点，则
双曲线的离心率为________．
解析：易知抛物线y 2
＝8x 的焦点为(2,0)，所以双曲线x 2a 2－y 2
2
＝1的一个焦点为(2,0)，
则a 2＋2＝22
，即a ＝2，所以双曲线的离心率e ＝c a
＝
22
＝ 2.
答案： 2
14．(2018·武汉调研)双曲线Γ：y 2a 2－x 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为10，焦点到渐近线
的距离为3，则Γ的实轴长等于________．
解析：双曲线的焦点(0,5)到渐近线y ＝a
b
x ，即ax －by ＝0的距离为|5b |
a 2＋b
2
＝5b c
＝b ＝3，所以a ＝4,2a ＝8.
答案：8
15．(2018·唐山模拟)过抛物线y 2
＝2px (p ＞0)的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |＝6，则p ＝________.
解析：设AB 的方程为x ＝my ＋p
2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1＞x 2，将直线AB 的方程
代入抛物线方程得y 2
－2pmy －p 2
＝0，所以y 1y 2＝－p 2,
4x 1x 2＝p 2
.设抛物线的准线为l ，过A 作AC ⊥l ，垂足为C ，过B 作BD ⊥l ，垂足为D ，因为|AF |＝2|BF |＝6，根据抛物线的定义知，|AF |＝|AC |＝x 1＋p 2＝6，|BF |＝|BD |＝x 2＋p
2
＝3，所以x 1－x 2＝3，x 1＋x 2＝9－p ，所以(x 1＋
x 2)2－(x 1－x 2)2＝4x 1x 2＝p 2，即18p －72＝0，解得p ＝4.
答案：4
16．(2017·高考全国卷Ⅰ改编)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2
m
＝1长轴的两个端点．若C 上
存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是________．
解析：当0＜m ＜3时，焦点在x 轴上， 要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b
≥tan 60°＝3，即3
m
≥ 3，
解得0＜m ≤1.
当m ＞3时，焦点在y 轴上，
要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b
≥tan 60°＝3，即
m
3
≥3，解得m ≥9.
故m 的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)． 答案：(0,1]∪[9，＋∞) 三、解答题
17．(2018·辽宁五校联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，
F 2，上顶点为B ，若△BF 1F 2的周长为6，且点F 1到直线BF 2的距离为b .
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设A 1，A 2是椭圆C 长轴的两个端点，P 是椭圆C 上不同于A 1，A 2的任意一点，直线
A 1P 交直线x ＝m 于点M ，若以MP 为直径的圆过点A 2，求实数m 的值．
解析：(1)由题意得F 1(－c,0)，F 2(c,0)，B (0，b )，
则2a ＋2c ＝6，①
直线BF 2的方程为bx ＋cy －bc ＝0， 所以|－bc －bc |c 2＋b 2
＝b ，即2c ＝a ，② 又a 2
＝b 2
＋c 2
，③
所以由①②③可得a ＝2，b ＝3， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2
3
＝1.
(2)不妨设A 1(－2,0)，A 2(2,0)，P (x 0，y 0)， 则直线A 1P 的方程为y ＝y 0
x 0＋2
(x ＋2)，
所以M (m ，
y 0
x 0＋2
(m ＋2))，
又点P 在椭圆C 上，所以y 20
＝3(1－x 20
4
)，
若以MP 为直径的圆过点A 2，则A 2M ⊥A 2P ，A 2M →·A 2P →
＝0， 所以(m －2，
y 0x 0＋2
(m ＋2))·(x 0－2，y 0)＝(m －2)(x 0－2)＋
y 20x 0＋2
(m ＋2)＝(m －2)(x 0－
2)＋3(1－x 20
4)
x 0＋2(m ＋2)＝(x 0－2)(14m －7
2
)＝0.
又点P 不同于点A 1，A 2，所以x 0≠±2， 所以m ＝14.
18．(2018·福州模拟)抛物线C ：y ＝2x 2
－4x ＋a 与两坐标轴有三个交点，其中与y 轴的交点为P .
(1)若点Q (x ，y )(1＜x ＜4)在C 上，求直线PQ 斜率的取值范围； (2)证明：经过这三个交点的圆E 过定点．
解析：(1)由题意得P (0，a )(a ≠0)，Q (x,2x 2
－4x ＋a )(1＜x ＜4)， 故k PQ ＝2x 2
－4x ＋a －a x
＝2x －4，
因为1＜x ＜4，所以－2＜k PQ ＜4，
所以直线PQ 的斜率的取值范围为(－2,4)． (2)证明：法一：P (0，a )(a ≠0)．
令2x 2
－4x ＋a ＝0，则Δ＝16－8a ＞0，a ＜2，且a ≠0， 解得x ＝1±
4－2a
2
，
故抛物线C 与x 轴交于A (1－
4－2a 2，0)，B (1＋4－2a
2
，0)两点． 故可设圆E 的圆心为M (1，t)， 由|MP |2
＝|MA |2
，得12
＋(t －a )2
＝(4－2a 2)2＋t 2
，解得t ＝a 2＋14
， 则圆E 的半径r ＝|MP |＝
1＋(14－a 2
)2
.
所以圆E 的方程为(x －1)2
＋(y －a 2－14)2＝1＋(14－a 2
)2，
所以圆E 的一般方程为x 2＋y 2
－2x －(a ＋12)y ＋a 2＝0，
即x 2＋y 2
－2x －12y ＋a (12－y )＝0.
由⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
＋y 2
－2x －1
2y ＝0，12－y ＝0，
得⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝0，y ＝1
2
或⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝2，y ＝1
2
，
故圆E 过定点(0，12)，(2，1
2
)．
法二：P (0，a )(a ≠0)，设抛物线C 与x 轴的两个交点分别为A (x 1,0)，B (x 2,0)，圆E 的一般方程为x 2
＋y 2
＋Dx ＋Fy ＋G ＝0，则
⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
1＋Dx 1＋G ＝0，x 2
2＋Dx 2＋G ＝0，a 2＋Fa ＋G ＝0.
因为x 1，x 2是方程2x 2
－4x ＋a ＝0，即x 2
－2x ＋a
2＝0的两根，
所以x 2
1－2x 1＋a
2＝0，x 2
2－2x 2＋a
2＝0，
所以D ＝－2，G ＝a
2， 所以F ＝－G －a 2
a ＝－(a ＋1
2
)，
所以圆E 的一般方程为x 2＋y 2
－2x －(a ＋12)y ＋a 2＝0，
即x 2＋y 2
－2x －12y ＋a (12
－y )＝0.
由⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
＋y 2
－2x －1
2y ＝0，12－y ＝0，
得⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝0，y ＝1
2
或⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝2，y ＝1
2
，
故圆E 过定点(0，12)，(2，1
2
)．
19．(2018·广州模拟)如图，在直角坐标系xOy 中，椭圆C ：y 2a 2＋x 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的上
焦点为F 1，椭圆C 的离心率为12，且过点(1，26
3
)．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设过椭圆C 的上顶点A 的直线l 与椭圆C 交于点B (B 不在y 轴上)，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与x 轴交于点H ，若F 1B →·F 1H →
＝0，且|MO |＝|MA |，求直线l 的方程．
解析：(1)因为椭圆C 的离心率为12，所以c a ＝1
2
，即a ＝2c .
又a 2
＝b 2
＋c 2
，所以b 2
＝3c 2
，即b 2
＝34a 2，所以椭圆C 的方程为y 2
a 2＋x
2
34
a 2
＝1.
把点(1，263)代入椭圆C 的方程中，解得a 2
＝4.
所以椭圆C 的方程为y 24＋x 2
3
＝1.
(2)由(1)知，A (0,2)，设直线l 的斜率为k (k ≠0)，则直线l 的方程为y ＝kx ＋2，
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋2，x 23＋y
24
＝1，得(3k 2＋4)x 2
＋12kx ＝0.
设B (x B ，y B )，得x B ＝－12k
3k 2
＋4
， 所以y B ＝－6k 2
＋83k 2＋4
，
所以B (－12k 3k 2＋4，－6k 2
＋8
3k 2
＋4
)． 设M (x M ，y M )，因为|MO |＝|MA |，所以点M 在线段OA 的垂直平分线上， 所以y M ＝1，因为y M ＝kx M ＋2，所以x M ＝－1k ，即M (－1
k
，1)．
设H (x H,0)，又直线HM 垂直于直线l ，所以k MH ＝－1k ，即1－1k
－x H
＝－1
k
.
所以x H ＝k －1k ，即H (k －1
k
，0)．
又F 1(0,1)，所以F 1B →
＝(－12k 3k 2＋4，4－9k 2
3k 2＋4)，F 1H →
＝(k －1k
，－1)．
因为F 1B →
·F 1H →
＝0，所以－12k 3k 2＋4·(k －1k )－4－9k
2
3k 2＋4
＝0，
解得k ＝±26
3
.
所以直线l 的方程为y ＝±26
3
x ＋2.。