福建省福州市福清东张中学2018-2019学年高三数学文上学期期末试卷含解析

福建省福州市福清东张中学2018-2019学年高三数学文
上学期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 定义在上的奇函数，当时，，则关的函数的所有零点之和为( )
A．B． C．
D．
参考答案：
B
2. ac2＞bc2是a＞b的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
A
考点：不等式的基本性质；必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题：探究型．
分析：由ac2＞bc2，可得a＞b，反之若a＞b，则ac2≥bc2，故可得结论．
解答：解：若ac2＞bc2，∵c2＞0，∴a＞b，∴ac2＞bc2是a＞b的充分条件
若a＞b，∵c2≥0，∴ac2≥bc2，∴ac2＞bc2不是a＞b的必要条件
∴ac2＞bc2是a＞b的充分不必要条件
故选A．
点评：本题考查四种条件，解题的关键是利用不等式的基本性质，属于基础题．
3. 设、表示不同的直线，、表示不同的平面，则下列结论中正确的是
（）
A.若∥，∥，则∥
B.若，∥，∥，则
∥
C.若∥，∥，∥，则∥
D.若∥，∥，∥，，则∥
参考答案：
D
4. 命题，命题,则( )
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．必要充分条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
A
5. 已知函数，则方程的实根个数不可能为（）
A．个 B．个C．个
D．个
参考答案：
D.
考点：1.函数与方程；2.分类讨论的数学思想.
【方法点睛】运用函数图象结合数形结合思想求解问题的类型：1.对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想；2.一些函数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解．
6. 在中，,则A=( )
A. B. C.
D.
参考答案：
B
略
7. 甲、乙两名选手参加歌手大赛时，5名评委打的分数，用茎叶图表示（如图）
，分别表示甲、乙选手分数的标准差，则与的关系是（填“”、“”或“＝”）
A． B． C． D．不确定
参考答案：
C
略
8. 已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线3x﹣y=0上，则
等于（）
A．﹣B．C．0 D．
参考答案：
B
【考点】运用诱导公式化简求值．
【专题】三角函数的求值．
【分析】利用三角函数的定义，求出tanθ，利用诱导公式化简代数式，代入即可得出结论．
【解答】解：∵角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线3x﹣y=0上，
∴tanθ=3，
∴===，
故选：B．
【点评】本题考查三角函数的定义，考查诱导公式的运用，正确运用三角函数的定义、诱导公式是关键．
9. 已知a＝，b＝，，则a，b，c三者的大小关系是()
A．b>c>a B．b>a>c
C．a>b>c D．c>b>a
参考答案：
A
10. 已知则的值是（）
A. B. C. D.
参考答案：
D
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设奇函数在（0，）上为增函数，且＝0，则不等式的解集为 .
参考答案：
(－1，0)（0，1）
12. 如果函数f（x）=x2sinx+a的图象过点（π，1）且f（t）=2．那么a=；f（﹣t）=．
参考答案：
1，0
【考点】函数的值．
【分析】由函数性质列出方程组，求出a=1，t2sint=1，由此能求出f（﹣t）．
【解答】解：∵函数f（x）=x2sinx+a的图象过点（π，1）且f（t）=2，
∴，解得a=1，t2sint=1，
∴f（﹣t）=t2sin（﹣t）+a=﹣t2sint+1=﹣1+1=0．
故答案为：1，0．
13. 某班级的54名学生编号为：1，2，3，…，54，为了采集同学们的身高信息，先采用系统抽样的方法抽取一个容量为6的样本，已知样本中含有编号为5号、23号和41号的学生，则样本中剩余三名同学的编号分别为．
参考答案：
14，32，50
【考点】系统抽样方法．
【分析】根据系统抽样的定义，求出样本间距为9，即可得到结论．
【解答】解：根据系统抽样的定义抽样间距为9，
则6个样本编号从小到大构成以9为公差的等差数列，
则样本中剩余三名同学的编号分别为14，32，50，
故答案为：14，32，50
14. 由曲线与直线所围成的图形的面积是．
参考答案：
15. 若数列的通项公式为，则．
参考答案：
因为，所以,，所以。

16. 设（为虚数单位）则=
参考答案：
2
17. 若，则的大小关系是______
参考答案：
试题分析：又
考点：指数函数、对数函数的性质
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数（其中a是实数）．
（1）求的单调区间；
（2）若设，且有两个极值点，求取值范围．（其中e为自然对数的底数）．
参考答案：
（1）的定义域为，，…….1分
令，，对称轴，，
1)当≤０，即－４≤≤4时，≥０
于是，函数的单调递增区间为，无单调递减区间．……………………………………2分
2)当＞０，即或时，
①若，则恒成立
于是，的单调递增区间为，无减区间．……………………3分
②若
令，得，，
当时，，当时，．
于是，的单调递增区间为和，单调递减区间为． (4)
分
综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间．
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为．…………………………………………………………………………5分
（2）由（1）知，若有两个极值点，则，且，，又，，,，又
，解得,……………………………………………7分
于是，
……………………………………9分
令，则恒成立，在单调递减，，即，故的取值范围为
．…………………………………………………12分
19. （本小题满分12分）
设函数
（1）求的最大值，并写出使取最大值时的集合；
（2）已知中，角的对边分别为若，
求的最小值.
参考答案：
（1）
……………3分
的最大值为………………………………………4分
要使取最大值，
故的集合为………6分
（2）由题意；，即
化简得……………………………………………………8分
，，只有，………9分
在中，由余弦定理，………10分
由知，即，………………………………11分
当时，取最小值…………………………………12分
20. （本题满分12分）如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，
．
（Ⅰ）证明：平面PQC⊥平面DCQ；
（Ⅱ）求二面角Q—BP—C的余弦值．
参考答案：
（I）依题意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0）.
则
所以
即PQ⊥DQ，PQ⊥DC.故PQ⊥平面DCQ.
又PQ平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ.
（II）依题意有B（1，0，1），
设是平面PBC的法向量，则
因此可取
设m是平面PBQ的法向量，则
可取
故二面角Q—BP—C的余弦值为
21. （本小题满分13分）
已知函数.
（Ⅰ）求的值和的最小正周期；
（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值.
参考答案：
解：（I）………………2分
因为
………………4分
………………6分
………………8分所以的周期为
………………9分
（II）当时，，
所以当时，函数取得最小值………………11分当时，函数取得最大值………………13分
略
22. 已知抛物线C1：y2=2px上一点M（3，y0）到其焦点F的距离为4；椭圆C2：
的离心率e=，且过抛物线的焦点F．
（Ⅰ）求抛物线C1和椭圆C2的标准方程；
（Ⅱ）过点F的直线l1交抛物线C1于A、B两不同点，交y轴于点N，已知
，求证：λ+μ为定值．
（Ⅲ）直线l2交椭圆C2于P，Q两不同点，P，Q在x轴的射影分别为P′，Q′，
+1=0，若点S满足：，证明：点S在椭圆C2上．
参考答案：
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的标准方程．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（Ⅰ）利用抛物线上一点M（3，y0）到其焦点F的距离为4；求出
p，即可得到抛物线方程，通过椭圆的离心率，且过抛物线的焦点F（1，0）求出a，b，即可得到椭圆的方程．
（Ⅱ）直线l1的斜率必存在，设为k，设直线l与椭圆C2交于A（x1，y1），B（x2，y2），求出直线l的方程为y=k（x﹣1），N（0，﹣k），联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理以及判别式，通过向量关系式即可求出λ+μ为定值．
（Ⅲ）设P（x p，y p），Q（x Q，y Q），可得S（x p+x Q，y p+y Q），通过
转化证明即可．
【解答】解：（Ⅰ）抛物线上一点M（3，y0）到其焦点F的距离为4；
抛物线的准线为
抛物线上点M（3，y0）到其焦点F的距离|MF|等于到准线的距离d
所以，所以p=2
抛物线C1的方程为y2=4x
椭圆的离心率，且过抛物线的焦点F（1，0）
所以b=1，，解得a2=2
所以椭圆的标准方程为
（Ⅱ）直线l1的斜率必存在，设为k，设直线l与椭圆C2交于A（x1，y1），B（x2，y2）则直线l的方程为y=k（x﹣1），N（0，﹣k）
联立方程组：所以k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，
△=16k2+16＞0，所以（*）
由得：λ（1﹣x1）=x1，λ（1﹣x2）=x2得：
所以
将（*）代入上式，得
（Ⅲ）设P（x p，y p），Q（x Q，y Q）所以S（x p+x Q，y p+y Q），则
由，得2x P x Q+y P y Q=﹣1…（1），
(2)
(3)
（1）+（2）+（3）得：
即S（x p+x Q，y p+y Q）满足椭圆的方程，命题得证
【点评】本题考查椭圆的方程的应用，直线与椭圆以及抛物线的位置关系的应用，考查分析问题解决问题的能力．。