高中数学第三章导数及其应用3.4生活中的优化问题举例a11a高二11数学
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12/9/2021
第二十二页，共四十三页。
[解析] (1)设日销量 q＝ekx(k≠0)，则ek30＝100， ∴k＝100e30，∴日销量 q＝10e0xe30， ∴y＝100e30xe－x 20－t(25≤x≤40)． (2)当 t＝5 时，y＝100e30exx －25(25≤x≤40)， ∴y′＝100e30e2x 6－x(25≤x≤40)， 由 y′>0，得 25≤x<26，由 y′<0，得 26<x≤40，
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第二十三页，共四十三页。
∴函数在[25,26)，上单调递增，在(26,40]上单调递减， ∴当 x＝26 时，函数取得最大值，最大值为 ymax＝100e4. ∴当每个玩具的出厂价为 26 元时，该工厂的日利润最大，最大值为 100e4 元．
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第二十四页，共四十三页。
上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模 过程．
第四页，共四十三页。
[双基自测]
1．做一个容积为 256 m3 的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为( )
A．6 m
B．8 m
C．4 m
D．2 m
解析：设底面边长为 x m，高为 h m，则有 x2h＝256，所以 h＝2x526. Nhomakorabea用材料的面积
时，函数取得极小值，且为最小值．
故当建成 12/9/2021 8 座球场时，每平方米的综合费用最省．
第二十一页，共四十三页。
探究三 利润最大问题 [典例 3] 某玩具厂生产一种儿童智力玩具，每个玩具的材料成本为 20 元，加工费 为 t 元(t 为常数，且 2≤t≤5)，出厂价为 x 元(25≤x≤40)，根据市场调查知，日销售 量 q(单位：个)与 ex 成反比，且当每个玩具的出厂价为 30 元时，日销售量为 100 个． (1)求该玩具厂的日利润 y 元与每个玩具的出厂价 x 元之间的函数关系式； (2)若 t＝5，则每个玩具的出厂价 x 为多少元时，该工厂的日利润 y 最大？并求最大 值．
y＝－13x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为(
)
A．13 万件
B．11 万件
C．9 万件
D．7 万件
解析：由题知，y′＝－x2＋81＝0 ∴x＝9. 故年产量为 9 万件时年利润最大．
答案：C
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第六页，共四十三页。
3．已知某矩形广场面积为 4 万平方米，则其周长至少为________米．
(2)S′＝4l ·2x2－x－4llx＋2 l2
＝4x2－l l2x－2－2 2l·x－2＋2 2l，x∈(0，b]，
∴当 b≤2－2
2 l
时，S′>0，S
在(0，b]递增，故当
x＝b
时，Smax＝b4l2bb－－ll；
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第十页，共四十三页。
当
2－ b> 2
2 l
时，在
x∈0，2－2
第十四页，共四十三页。
令 S′(x)>0，得 x>140， 令 S′(x)<0，得 20<x<140. ∴函数 S(x)在(140，＋∞)上单调递增，在(20,140)上单调递减， ∴S(x)的最小值为 S(140)． 当 x＝140 时，y＝175. 即当 x＝140，y＝175 时，S(x)取得最小值 24 500， 故当广告牌的高为 140 cm，宽为 175 cm 时，可使广告牌的面积最小．
f(x)＝8001＋15ln
x来表示，所
以每平方米的综合费用为 g(x)＝f(x)＋1 2x80＝800＋160ln x＋1 2x80(x>0)，所以 g′(x)
＝160xx2－8(x>0)，
令 g′(x)＝0，则 x＝8，当 0<x<8 时，g′(x)<0，当 x>8 时，g′(x)>0，所以 x＝8
3.4 生活(shēnghuó)中的优化问题举例
12/9/2021
第一页，共四十三页。
考纲定位
重难突破
1.通过实例体会导数在解决实际问 重点：利用导数解决简单的实际生活中的优化问
题中的作用．
题．
2.能利用导数解决实际问题.
难点：解决实际应用问题能力的提高与培养.
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第二页，共四十三页。
(1)求 S 关于 x 的函数关系式； 12/9/2021
(2)试确定点 E 的位置，使得直角三角形地块 AEF 的面积 S 最大，并求出 S 的最大值．
第九页，共四十三页。
[解析] (1)设 AF＝y，则 x＋y＋ x2＋y2＝l，整理，得 y＝2l2－l－2xlx.
S＝12xy＝x4l2l－－2xlx，x∈(0，b]．
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第十五页，共四十三页。
探究二 用料最省(成本最低)问题 [典例 2] 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造 隔热层．某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元．该建筑物每年的能源消耗费用 C(单位：万元)与隔热层厚度 x(单位：cm)满足 关系：C(x)＝3x＋k 5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元，设 f(x) 为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和． (1)求 k 的值及 f(x)的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小，并求最小值．
3．某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为 10 万元/辆，出厂价为 13 万元/辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆 车的投入成本增加的比例为 x(0<x<1)，则出厂价相应提高的比例为 0.7x，年销售量 也相应增加，年销售量 y 关于 x 的函数为 y＝3 240－x2＋2x＋53，则当 x 为何值时， 本年度的年利润最大？最大利润为多少(年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入 成本)×年销售量)?
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第十二页，共四十三页。
1.如图，要设计一矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右 两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为 18 000 cm2，四周空白的宽度为 10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度 为 5 cm.怎样确定广告牌的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩 形广告牌面积最小？
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第十七页，共四十三页。
(2)f′(x)＝6－32x＋40502，
令 f′(x)＝0，即32x＋40502＝6，
解得 x＝5，x＝－235(舍去)． 当 0＜x＜5 时，f′(x)＜0；当 5＜x＜10 时，f′(x)＞0， 故 x＝5 是 f(x)的最小值点，
对应的最小值为 f(5)＝6×5＋1850＋05＝70.
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第八页，共四十三页。
探究一 面积容积最值问题 [典例 1] 某次花博会，展览园指挥中心所用地块的形状是大小 一定的矩形 ABCD，BC＝a，CD＝b.a，b 为常数且满足 b<a.组 委会决定从该矩形地块中划出一个直角三角形地块 AEF 建游客 休息区(点 E，F 分别在线段 AB、AD 上)，且该直角三角形 AEF 的周长为 l(l>2b)，如 图，设 AE＝x，△AEF 的面积为 S.
f(x)＝8001＋15ln
x来刻画．为了使该球场每平方米的综合费用最省(综合费用
是建设费用与购地费用之和)，该网球中心应建几个球场？
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第二十页，共四十三页。
解析：设建成 x 个球场，则 1≤x≤10，每平方米的购地费用为12180×001x04＝1 2x80元，
因为每平方米的平均建设费用(单位：元)可近似地用
(1)经济生活中优化问题的解法 经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很 容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动． (2)关于利润问题常用的两个等量关系 ①利润＝收入－成本． ②利润＝每件产品的利润×销售件数．
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第二十五页，共四十三页。
设为 S m2，则有 S＝4x·h＋x2＝4x·2x526＋x2＝256x×4＋x2.S′＝2x－256x×2 4，令 S′＝
0 得 x＝8，因此 h＝26546＝4(m)．
答案：C
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第五页，共四十三页。
2．已知某生产厂家的年利润 y(单位：万元)与年产量 x(单位：万件)的函数关系式为
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01 课前 自主(zìzhǔ)梳理
02 课堂 合作(hézuò)探究 03 课后 巩固提升
课时(kèshí)作业
第三页，共四十三页。
[自主梳理] 一、优化问题 生活中经常遇到求利润最大、用料最省 、效率最低 等问题，这些问题称为优化问题． 二、用导数解决优化问题的基本思路
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第二十七页，共四十三页。
当 x∈0，59时，f ′(x)>0，f(x)是增函数； 当 x∈59，1时，f ′(x)<0，f(x)是减函数． 所以当 x＝59时，f(x)取极大值，f59＝20 000， 因为 f(x)在(0,1)内只有一个极大值，所以它是最大值． 所以当 x＝59时，本年度的年利润最大，最大利润为 20 000 万元．
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第二十六页，共四十三页。
解析：由题意得，本年度每辆车的投入成本为 10(1＋x)，每辆车的出厂价为 13(1＋ 0.7x)，年利润为 f(x)＝[13(1＋0.7x)－10(1＋x)]·y ＝(3－0.9x)×3 240×－x2＋2x＋53 ＝3 240(0.9x3－4.8x2＋4.5x＋5)， 则 f ′(x)＝3 240(2.7x2－9.6x＋4.5) ＝972(9x－5)(x－3)， 由12f/9/202′1 (x)＝0，解得 x＝59或 x＝3(舍去)，
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第十六页，共四十三页。
[解析] (1)设隔热层厚度为 x cm，由题设，每年能源消耗费用为 C(x)＝3x＋k 5，再由 C(0)＝8，得 k＝40， 因此 C(x)＝3x4＋0 5. 而建造费用为 C1(x)＝6x. 最后得隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为 f(x)＝20C(x)＋C1(x) ＝20×3x4＋0 5＋6x＝38x0＋05＋6x(0≤x≤10)．
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当隔热层修建 5 cm 厚时，总费用达到最小值 70 万元．
第十八页，共四十三页。
解决实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等问题，需要求相应 函数的最小值，此时根据 f′(x)＝0 求出极值点(注意根据实际意义舍去不合适的极 值点)后，判断函数在该点附近满足左减右增，则此时的极小值就是所求函数的最小 值．
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第十三页，共四十三页。
解析：设广告牌的高和宽分别为 x cm，y cm， 则每栏的高和宽分别为 x－20，y－225，其中 x>20，y>25. 两栏面积之和为 2(x－20)·y－225＝18 000， 由此得 y＝1x8－02000＋25. 广告牌面积为 S(x)＝x1x8－02000＋25＝1x8－00200x＋25x， ∴12S/9′/2021(x)＝18 000x[－x－20202 －x]＋25＝－x3－60200020＋25.
2l上，S′>0，S 递增，在 x∈2－2
2l，b上，S′<0，
S 递减，故当 x＝2－2
2 l
时，Smax＝3－42
2l2.
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第十一页，共四十三页。
解决面积、体积最值问题的思路 解决面积、体积的最值问题，要正确引入变量，将面积或体积表示为变量的函数， 结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值．
解析：设广场的长为
x
米，则宽为40 x000米，于是其周长为
y＝2x＋40
x000(x>0)，
所以 y′＝21－40x0200，令 y′＝0，解得 x＝200(x＝－200 舍去)，这时 y＝800.当 0<x<200 时，y′<0，当 x>200 时，y′>0.所以当 x＝200 时，y 取得最小值，故其周
长至少为 800 米．
答案：800
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第七页，共四十三页。
4．电动自行车的耗电量 y 与速度 x 之间有关系 y＝13x3－329x2－40x(x>0)，为使耗电 量最小，则速度应定为________． 解析：由 y′＝x2－39x－40＝0， 得 x＝－1 或 x＝40， 由于 0<x<40 时，y′<0； 当 x>40 时，y′>0. 所以当 x＝40 时，y 有最小值． 答案：40
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第十九页，共四十三页。
2．某网球中心欲建连成片的网球场数块，用 128 万元购买土地 10 000 平方米，该中
心每块球场的建设面积为 1 000 平方米，球场的总建筑面积的每平方米的平均建设费
用与球场数有关，当该中心建球场 x 块时，每平方米的平均建设费用(单位：元)可近
似地用
第二十二页，共四十三页。
[解析] (1)设日销量 q＝ekx(k≠0)，则ek30＝100， ∴k＝100e30，∴日销量 q＝10e0xe30， ∴y＝100e30xe－x 20－t(25≤x≤40)． (2)当 t＝5 时，y＝100e30exx －25(25≤x≤40)， ∴y′＝100e30e2x 6－x(25≤x≤40)， 由 y′>0，得 25≤x<26，由 y′<0，得 26<x≤40，
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第二十三页，共四十三页。
∴函数在[25,26)，上单调递增，在(26,40]上单调递减， ∴当 x＝26 时，函数取得最大值，最大值为 ymax＝100e4. ∴当每个玩具的出厂价为 26 元时，该工厂的日利润最大，最大值为 100e4 元．
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上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模 过程．
第四页，共四十三页。
[双基自测]
1．做一个容积为 256 m3 的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为( )
A．6 m
B．8 m
C．4 m
D．2 m
解析：设底面边长为 x m，高为 h m，则有 x2h＝256，所以 h＝2x526. Nhomakorabea用材料的面积
时，函数取得极小值，且为最小值．
故当建成 12/9/2021 8 座球场时，每平方米的综合费用最省．
第二十一页，共四十三页。
探究三 利润最大问题 [典例 3] 某玩具厂生产一种儿童智力玩具，每个玩具的材料成本为 20 元，加工费 为 t 元(t 为常数，且 2≤t≤5)，出厂价为 x 元(25≤x≤40)，根据市场调查知，日销售 量 q(单位：个)与 ex 成反比，且当每个玩具的出厂价为 30 元时，日销售量为 100 个． (1)求该玩具厂的日利润 y 元与每个玩具的出厂价 x 元之间的函数关系式； (2)若 t＝5，则每个玩具的出厂价 x 为多少元时，该工厂的日利润 y 最大？并求最大 值．
y＝－13x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为(
)
A．13 万件
B．11 万件
C．9 万件
D．7 万件
解析：由题知，y′＝－x2＋81＝0 ∴x＝9. 故年产量为 9 万件时年利润最大．
答案：C
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第六页，共四十三页。
3．已知某矩形广场面积为 4 万平方米，则其周长至少为________米．
(2)S′＝4l ·2x2－x－4llx＋2 l2
＝4x2－l l2x－2－2 2l·x－2＋2 2l，x∈(0，b]，
∴当 b≤2－2
2 l
时，S′>0，S
在(0，b]递增，故当
x＝b
时，Smax＝b4l2bb－－ll；
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第十页，共四十三页。
当
2－ b> 2
2 l
时，在
x∈0，2－2
第十四页，共四十三页。
令 S′(x)>0，得 x>140， 令 S′(x)<0，得 20<x<140. ∴函数 S(x)在(140，＋∞)上单调递增，在(20,140)上单调递减， ∴S(x)的最小值为 S(140)． 当 x＝140 时，y＝175. 即当 x＝140，y＝175 时，S(x)取得最小值 24 500， 故当广告牌的高为 140 cm，宽为 175 cm 时，可使广告牌的面积最小．
f(x)＝8001＋15ln
x来表示，所
以每平方米的综合费用为 g(x)＝f(x)＋1 2x80＝800＋160ln x＋1 2x80(x>0)，所以 g′(x)
＝160xx2－8(x>0)，
令 g′(x)＝0，则 x＝8，当 0<x<8 时，g′(x)<0，当 x>8 时，g′(x)>0，所以 x＝8
3.4 生活(shēnghuó)中的优化问题举例
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第一页，共四十三页。
考纲定位
重难突破
1.通过实例体会导数在解决实际问 重点：利用导数解决简单的实际生活中的优化问
题中的作用．
题．
2.能利用导数解决实际问题.
难点：解决实际应用问题能力的提高与培养.
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第二页，共四十三页。
(1)求 S 关于 x 的函数关系式； 12/9/2021
(2)试确定点 E 的位置，使得直角三角形地块 AEF 的面积 S 最大，并求出 S 的最大值．
第九页，共四十三页。
[解析] (1)设 AF＝y，则 x＋y＋ x2＋y2＝l，整理，得 y＝2l2－l－2xlx.
S＝12xy＝x4l2l－－2xlx，x∈(0，b]．
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第十五页，共四十三页。
探究二 用料最省(成本最低)问题 [典例 2] 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造 隔热层．某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元．该建筑物每年的能源消耗费用 C(单位：万元)与隔热层厚度 x(单位：cm)满足 关系：C(x)＝3x＋k 5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元，设 f(x) 为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和． (1)求 k 的值及 f(x)的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小，并求最小值．
3．某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为 10 万元/辆，出厂价为 13 万元/辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆 车的投入成本增加的比例为 x(0<x<1)，则出厂价相应提高的比例为 0.7x，年销售量 也相应增加，年销售量 y 关于 x 的函数为 y＝3 240－x2＋2x＋53，则当 x 为何值时， 本年度的年利润最大？最大利润为多少(年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入 成本)×年销售量)?
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1.如图，要设计一矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右 两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为 18 000 cm2，四周空白的宽度为 10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度 为 5 cm.怎样确定广告牌的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩 形广告牌面积最小？
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第十七页，共四十三页。
(2)f′(x)＝6－32x＋40502，
令 f′(x)＝0，即32x＋40502＝6，
解得 x＝5，x＝－235(舍去)． 当 0＜x＜5 时，f′(x)＜0；当 5＜x＜10 时，f′(x)＞0， 故 x＝5 是 f(x)的最小值点，
对应的最小值为 f(5)＝6×5＋1850＋05＝70.
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第八页，共四十三页。
探究一 面积容积最值问题 [典例 1] 某次花博会，展览园指挥中心所用地块的形状是大小 一定的矩形 ABCD，BC＝a，CD＝b.a，b 为常数且满足 b<a.组 委会决定从该矩形地块中划出一个直角三角形地块 AEF 建游客 休息区(点 E，F 分别在线段 AB、AD 上)，且该直角三角形 AEF 的周长为 l(l>2b)，如 图，设 AE＝x，△AEF 的面积为 S.
f(x)＝8001＋15ln
x来刻画．为了使该球场每平方米的综合费用最省(综合费用
是建设费用与购地费用之和)，该网球中心应建几个球场？
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解析：设建成 x 个球场，则 1≤x≤10，每平方米的购地费用为12180×001x04＝1 2x80元，
因为每平方米的平均建设费用(单位：元)可近似地用
(1)经济生活中优化问题的解法 经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很 容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动． (2)关于利润问题常用的两个等量关系 ①利润＝收入－成本． ②利润＝每件产品的利润×销售件数．
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第二十五页，共四十三页。
设为 S m2，则有 S＝4x·h＋x2＝4x·2x526＋x2＝256x×4＋x2.S′＝2x－256x×2 4，令 S′＝
0 得 x＝8，因此 h＝26546＝4(m)．
答案：C
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第五页，共四十三页。
2．已知某生产厂家的年利润 y(单位：万元)与年产量 x(单位：万件)的函数关系式为
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01 课前 自主(zìzhǔ)梳理
02 课堂 合作(hézuò)探究 03 课后 巩固提升
课时(kèshí)作业
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[自主梳理] 一、优化问题 生活中经常遇到求利润最大、用料最省 、效率最低 等问题，这些问题称为优化问题． 二、用导数解决优化问题的基本思路
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当 x∈0，59时，f ′(x)>0，f(x)是增函数； 当 x∈59，1时，f ′(x)<0，f(x)是减函数． 所以当 x＝59时，f(x)取极大值，f59＝20 000， 因为 f(x)在(0,1)内只有一个极大值，所以它是最大值． 所以当 x＝59时，本年度的年利润最大，最大利润为 20 000 万元．
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第二十六页，共四十三页。
解析：由题意得，本年度每辆车的投入成本为 10(1＋x)，每辆车的出厂价为 13(1＋ 0.7x)，年利润为 f(x)＝[13(1＋0.7x)－10(1＋x)]·y ＝(3－0.9x)×3 240×－x2＋2x＋53 ＝3 240(0.9x3－4.8x2＋4.5x＋5)， 则 f ′(x)＝3 240(2.7x2－9.6x＋4.5) ＝972(9x－5)(x－3)， 由12f/9/202′1 (x)＝0，解得 x＝59或 x＝3(舍去)，
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[解析] (1)设隔热层厚度为 x cm，由题设，每年能源消耗费用为 C(x)＝3x＋k 5，再由 C(0)＝8，得 k＝40， 因此 C(x)＝3x4＋0 5. 而建造费用为 C1(x)＝6x. 最后得隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为 f(x)＝20C(x)＋C1(x) ＝20×3x4＋0 5＋6x＝38x0＋05＋6x(0≤x≤10)．
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当隔热层修建 5 cm 厚时，总费用达到最小值 70 万元．
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解决实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等问题，需要求相应 函数的最小值，此时根据 f′(x)＝0 求出极值点(注意根据实际意义舍去不合适的极 值点)后，判断函数在该点附近满足左减右增，则此时的极小值就是所求函数的最小 值．
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解析：设广告牌的高和宽分别为 x cm，y cm， 则每栏的高和宽分别为 x－20，y－225，其中 x>20，y>25. 两栏面积之和为 2(x－20)·y－225＝18 000， 由此得 y＝1x8－02000＋25. 广告牌面积为 S(x)＝x1x8－02000＋25＝1x8－00200x＋25x， ∴12S/9′/2021(x)＝18 000x[－x－20202 －x]＋25＝－x3－60200020＋25.
2l上，S′>0，S 递增，在 x∈2－2
2l，b上，S′<0，
S 递减，故当 x＝2－2
2 l
时，Smax＝3－42
2l2.
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解决面积、体积最值问题的思路 解决面积、体积的最值问题，要正确引入变量，将面积或体积表示为变量的函数， 结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值．
解析：设广场的长为
x
米，则宽为40 x000米，于是其周长为
y＝2x＋40
x000(x>0)，
所以 y′＝21－40x0200，令 y′＝0，解得 x＝200(x＝－200 舍去)，这时 y＝800.当 0<x<200 时，y′<0，当 x>200 时，y′>0.所以当 x＝200 时，y 取得最小值，故其周
长至少为 800 米．
答案：800
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4．电动自行车的耗电量 y 与速度 x 之间有关系 y＝13x3－329x2－40x(x>0)，为使耗电 量最小，则速度应定为________． 解析：由 y′＝x2－39x－40＝0， 得 x＝－1 或 x＝40， 由于 0<x<40 时，y′<0； 当 x>40 时，y′>0. 所以当 x＝40 时，y 有最小值． 答案：40
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2．某网球中心欲建连成片的网球场数块，用 128 万元购买土地 10 000 平方米，该中
心每块球场的建设面积为 1 000 平方米，球场的总建筑面积的每平方米的平均建设费
用与球场数有关，当该中心建球场 x 块时，每平方米的平均建设费用(单位：元)可近
似地用