安徽省宿州市长山中学高二数学文下学期期末试卷含解析

安徽省宿州市长山中学高二数学文下学期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 4名同学甲、乙、丙、丁按任意次序站成一排，甲或乙站在边上的概率为（）
A．B．C．D．
参考答案：
B
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【分析】先求出甲、乙、丙、丁四人并排站成一排的事件种数，然后求出甲和乙站在中间的情况，从而求出甲或乙站在边上的情况，最后利用古典概型的概率公式进行求解即可．
【解答】解：甲、乙、丙、丁四人并排站成一排一共有A44=24种
甲和乙站在中间的情况有A22?A22=4种
∴甲或乙站在边上的情况有20种
甲或乙站在边上的概率为=，
故选：B．
【点评】本题求的是概率实际上本题考查的是排列问题，把排列问题包含在实际问题中，解题的关键是看清题目的实质，把实际问题转化为数学问题，解出结果以后再还原为实际问题．
2. 观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…，则a10+b10=（）
A．28 B．76 C．123 D．199
参考答案：
C
【考点】F1：归纳推理．
【分析】观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，所求值为数列中的第十项．根据数列的递推规律求解．
【解答】解：观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项．
继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，第十项为123，即a10+b10=123，．故选C．
3. （1999?广东）直线x+y﹣2=0截圆x2+y2=4得的劣弧所对的圆心角是( )A．B．C．D．
参考答案：
C
【考点】直线和圆的方程的应用．
【分析】先求圆心到直线的距离，再求劣弧所对的圆心角．
【解答】解：圆心到直线的距离：，
圆的半径是2，劣弧所对的圆心角为60°
故选C．
【点评】本题考查直线与圆的方程的应用，是基础题．
4. 已知等差数列{a n}中，，公差，则等于( )
A．8 B．11 C．14 D．5
参考答案：
B
5. 已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）
A．（1，2] B．（1，2）C．[2，+∞） D．（2，+∞）
参考答案：
C
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率．根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围．
【解答】解：已知双曲线的右焦点为F，
若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，
则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，
∴≥，离心率e2=，
∴e≥2，故选C
【点评】本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件．
6. 为了得到这个函数的图象，只要将的图象上所有的点（）
(A)向左平移个单位长度，再把所得各点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
(B) 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
(C) 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
(D) 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变参考答案：
A 7. 一个空间几何体的三视图(单位:)如右图所示，则该几何体的体积为( )．A．8 B. C . D.4
参考答案：
B
略
8. 圆上的动点到直线的最小距离为（）
A．1 B． C． D.
参考答案：
D
略
9. 函数的最大值为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
参考答案：
A
10. 若<α<2π,则直线+=1必不经过( )
A.第一象限
B.第二象限
C. 第三象限
D.第四象限
参考答案：
B 略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得1分，没有命中得﹣1分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立，假设该射手完成以上三次射击，则该射手得3分的概率为
_________ ．
参考答案：
12. 直线
x ﹣y+a=0的倾斜角为 ．
参考答案：
60°
【考点】直线的倾斜角．
【专题】计算题；方程思想；演绎法；直线与圆．
【分析】由直线的倾斜角α与斜率k 的关系，可以求出α的值． 【解答】解：设直线x ﹣y+a=0的倾斜角是α， 则直线的方程可化为y=x+a ，
l 的斜率k=tanα=，
∵0°≤α＜180°， ∴α=60°． 故答案为60°．
【点评】本题考查了利用直线的斜率求倾斜角的问题，是基础题．
13. 已知
，复数
为纯虚数，则
_____________．
参考答案：
1
14. 若α表示平面, a 、b 表示直线, 给定下列四个命题: ①a∥α, a⊥b T b⊥α; ② a∥b, a⊥α T b⊥α; ③ a⊥α, a⊥b T b∥α; ④ a⊥α, b⊥αT a∥b . 其中正确命题的序号是 . (只需填写命题的序号)
参考答案：
略
15. 如图所示：直角梯形中，
，
为
中点，沿
把梯形折成四个面都是直角三角形的三棱锥，使点
重合，则这个三棱
锥的体积等于__________。

参考答案：
16. 已知曲线C ：（为参数），如果曲线C 与直线有公共点，那么
实数a 的取值范围为 。

参考答案：
略
17. 已知过点恰能作曲线的两条切线，则m的值是______．参考答案：
-3或-2
设切点为(a,a3-3a).
∵f(x)=x3-3x,
∴f'(x)=3x2-3,
∴切线的斜率k=3a2-3,
由点斜式可得切线方程为y-(a3-3a)=(3a2-3)(x-a).
∵切线过点A(1,m),
∴m-(a3-3a)=(3a2-3)(1-a),
即2a3-3a2=-3-m.
∵过点A(1,m)可作曲线y=f(x)的两条切线,
∴关于a的方程2a3-3a2=-3-m有两个不同的根.
令g(x)=2x3-3x2,
∴g'(x)=6x2-6x.
令g'(x)=0,解得x=0或x=1,
当x<0时,g'(x)>0,当0<x<1时,g'(x)<0,当x>1时,g'(x)>0,
∴g(x)在(-∞,0)内单调递增,在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增,
∴当x=0时,g(x)取得极大值g(0)=0,当x=1时,g(x)取得极小值g(1)=-1.
关于a的方程2a3-3a2=-3-m有两个不同的根,等价于y=g(x)与y=-3-m的图象有两个不同的交点,
∴-3-m=-1或-3-m=0,解得m=-3或m=-2,
∴实数m的值是-3或-2.
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD．E和F分别是CD和PC的中点，求证：
（Ⅰ）PA⊥底面ABCD；
（Ⅱ）BE∥平面PAD；
（Ⅲ）平面BEF⊥平面PCD．参考答案：
【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定．
【专题】空间位置关系与距离；立体几何．
【分析】（Ⅰ）根据条件，利用平面和平面垂直的性质定理可得PA⊥平面ABCD．
（Ⅱ）根据已知条件判断ABED为平行四边形，故有BE∥AD，再利用直线和平面平行的判定定理证得BE∥平面PAD．
（Ⅲ）先证明ABED为矩形，可得BE⊥CD ①．现证CD⊥平面PAD，可得CD⊥PD，再由三角形中位线的性质可得EF∥PD，
从而证得CD⊥EF ②．结合①②利用直线和平面垂直的判定定理证得CD⊥平面BEF，再由平面和平面垂直的判定定理
证得平面BEF⊥平面PCD．
【解答】解：（Ⅰ）∵PA⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，由平面和平面垂直的性质定理可得PA⊥平面ABCD．
（Ⅱ）∵AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，E和F分别是CD和PC的中点，故四边形ABED为平行四边形，故有BE∥AD．
又AD?平面PAD，BE不在平面PAD内，故有BE∥平面PAD．
（Ⅲ）平行四边形ABED中，由AB⊥AD可得，ABED为矩形，故有BE⊥CD ①．
由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AB，再由AB⊥AD可得AB⊥平面PAD，
∴CD⊥平面PAD，故有CD⊥PD．
再由E、F分别为CD和PC的中点，可得EF∥PD，
∴CD⊥EF ②．
而EF和BE是平面BEF内的两条相交直线，故有CD⊥平面BEF．由于CD?平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD．
【点评】本题主要考查直线和平面垂直的判定定理，直线和平面平行的判定定理，平面和平面垂直的判定定理、性质定理的应用，属于中档题．
19. 在如图所示的几何体中，四边形是等腰梯形，//，平面
.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
参考答案：
-160
略
20. (本小题满分12分) 如图，在三棱锥中，．
（Ⅰ）求证：平面平面（Ⅱ）若，，BC=AC，在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由。

参考答案：
（Ⅰ）∵，∴，．
∵，∴平面------------------------1分
∵平面，∴．------------------------2分
∵，∴．∵，∴平面．------3分
∵平面，∴平面平面．------------4分
（Ⅱ）由已知可知，，，此时．------------5分
以为原点，建立如图的空间直角坐标系，则，
设是平面的法向量，
则，
取，得，------------8分
设线段上的点的坐标为，则，
∵，解得， ------------11分∴在线段上不存在点，使得直线与平面所成角为。

------------12分21. 由经验得知，在某商场付款处排队等候付款的人数及概率如表：
（Ⅱ）至少有2人排队的概率是多少．
参考答案：
【考点】C5：互斥事件的概率加法公式．
【分析】（Ⅰ）“至多2人排队”是“没有人排队”，“1人排队”，“2人排队”三个事件的和事件，三个事件彼此互斥，利用互斥事件的概率公式求出至多2人排队的概率．
（Ⅱ）“至少2人排队”与“少于2人排队”是对立事件；“少于2人排队”是“没有人排队”，“1人排队”二个事件的和事件，二个事件彼此互斥，利用互斥事件的概率公式求出“少于2人排队”的概率；再利用对立事件的概率公式求出）“至少2人排队”的概率．
【解答】解：（Ⅰ）记没有人排队为事件A，1人排队为事件B．2人排队为事件C，A、B、C彼此互斥．
P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）=0.1+0.16+0.3=0.56；
（Ⅱ）记至少2人排队为事件D，少于2人排队为事件A+B，那么事件D与A+B是对立事件，
则P（D）=P（）=1﹣（P（A）+P（B））=1﹣（0.1+0.16）=0.74．
【点评】本题考查互斥事件的概率公式、考查对立事件的概率公式．考查计算能力．
22. （12分）已知函数，
（1）求在区间上的最大值；
（2）是否存在实数，使得的图像与的图像有且只有三个不同的交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。

参考答案：
略。