高考数学压轴专题人教版备战高考《复数》全集汇编及答案

数学《复数》试卷含答案
一、选择题
1．已知z 是复数，则“2z 为纯虚数”是“z 的实部和虚部相等”的（ ）
A ．充分必要条件
B ．充分不必要条
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】D
【解析】
【分析】
设z a bi =+，2z 为纯虚数得到0a b =±≠，得到答案.
【详解】
设z a bi =+，,a b ∈R ，则()2222z a b abi =-+，
2z 为纯虚数220020
a b a b ab ⎧-=⇔⇔=±≠⎨≠⎩，z 的实部和虚部相等a b ⇔=. 故选：D.
【点睛】
本题考查了既不充分也不必要条件，意在考查学生的推断能力.
2．若复数21z i i =
+-（i 为虚数单位），则||z =（ ）
A
B C D ．5
【答案】C
【解析】
【分析】 根据复数的运算，化简复数，再根据模的定义求解即可.
【详解】
22(1)
12
1(1)(1)
i z i i i i i i +=+=+=+--+，||z ==故选C. 【点睛】
本题主要考查了复数的除法运算，复数模的概念，属于中档题.
3．欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意得2cos 2sin 2i e i =+，得到复数在复平面内对应的点(cos 2,sin 2)，即可作出解答.
【详解】
由题意得，e 2i ＝cos 2＋isin 2，
∴复数在复平面内对应的点为(cos 2，sin 2)．
∵2∈，
∴cos 2∈(－1，0)，sin 2∈(0，1)，
∴e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限，
故选B.
【点睛】
本题主要考查了复数坐标的表示，属于基础题.
4．设i 是虚数单位，则()()
3211i i -+等于( ) A ．1i -
B ．1i -+
C ．1i +
D ．1i --
【答案】B
【解析】
【分析】
化简复数得到答案.
【详解】 ()
()3221(1)(1)2(1)1221i i i i i i i i
i -----===-++ 故答案选B
【点睛】
本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力.
5．已知复数i z x y =+（x ，y ∈R ），且23z +=1y x -的最大值为（ ） A 3B 6 C ．26+
D ．26【答案】C
【解析】
【分析】
根据模长公式，求出复数z 对应点的轨迹为圆，
1y x
-表示(,)x y 与(0,1)连线的斜率，其最值为过(0,1)点与圆相切的切线斜率，即可求解.
【详解】
∵复数i z x y =+（x ，y ∈R ），且23z +=， ∴(
)2223x y ++=，∴()2
223x y ++=. 设圆的切线l ：1y kx =+，则22131k k -+=+，
化为2420k k --=，解得26k =±，
∴
1y x
-的最大值为26+. 故选:C.
【点睛】 本题考查复数的几何意义、轨迹方程、斜率的几何意义，考查数形结合思想，属于中档题.
6．已知复数z ＝
23(13)i i +-，则|z |＝( ) A ．14 B ．12 C ．1 D ．2
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】
解：因为z=23(3)33(13)2232(3)
i i i i i i i i +++-+===----，因此|z |＝12
7．如图所示，在复平面内，OP uuu v 对应的复数是1－i ，将OP uuu v
向左平移一个单位后得到00
O P u u u u v ，则P 0对应的复数为( )
A ．1－i
B ．1－2i
C ．－1－i
D ．－i
【答案】D
【解析】
【分析】 要求P 0对应的复数，根据题意，只需知道0OP u u u v ，而0000OP OO O P =+u u u v u u u u v u u u u v
，从而可求P 0对应
的复数
【详解】
因为00O P OP
=u u u u v u u u v ，0OO u u u u v 对应的复数是－1， 所以P 0对应的复数， 即0
OP u u u v 对应的复数是()11i i -+-=-，故选D. 【点睛】
本题考查复数的代数表示法及其几何意义，复平面内复数、向量及点的对应关系，是基础题．
8．已知(,)a bi a b R +∈是
11i i +-的共轭复数,则a b +=（ ） A ．1-
B ．12-
C ．12
D ．1 【答案】A
【解析】
【分析】 先利用复数的除法运算法则求出
11i i
+-的值，再利用共轭复数的定义求出a +bi ，从而确定a ，b 的值，求出a +b ．
【详解】 ()()21(1)21112
i i i i i i ++===-+-i ， ∴a +bi ＝﹣i ，
∴a ＝0，b ＝﹣1，
∴a +b ＝﹣1，
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．
9．已知
2a i b i i +=+ ，,a b ∈R ，其中i 为虚数单位，则+a b =（ ） A ．-1
B ．1
C ．2
D ．3
【答案】B
【解析】
【分析】
利用复数除法运算法则化简原式可得2ai b i -=+，再利用复数相等列方程求出,a b 的值，从而可得结果.
【详解】
因为2
2222a i ai i ai b i i i
+--==-=+- ，,a b ∈R ， 所以2211b b a a ==⎧⎧⇒⎨⎨-==-⎩⎩
，则+1a b =，故选B. 【点睛】
复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
10．复数z 满足()1|1|z i i +=-，则复数z 在复平面内的对应点位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 【答案】D
【解析】
【分析】
根据复数的运算法则，化简22z i =
-，再结合复数的几何表示方法，即可求解. 【详解】
由题意，复数z 满足()1|1|z i i +=-，可得)()()1|1|11122i i z i i i --=
==-++-，
则复数z 在复平面内对应的点为位于第四象限. 故选：D .
【点睛】
本题主要考查了复数的几何表示方法，以及复数的除法运算，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简复数为代数形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
11．若202031i i z i
+=+，则z 在复平面内对应点位于( ) A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】
化简得到2z i =+，得到答案.
【详解】
()()()()
202013131342211112i i i i i i z i i i i i +-+++=====++++-，对应的点在第一象限. 故选：A .
【点睛】
本题考查了复数对应象限，意在考查学生的计算能力.
12．设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数，若
231z i i =+-，则4z i +=（ ）
A ．6
B ．50
C ．
D 【答案】C
【解析】
【分析】
计算5z i =-，再代入计算得到答案.
【详解】
由231z i i
=+-，得()()2315z i i i =+-=-，则45455z i i i i +=++=+= 故选：C ．
【点睛】
本题考查了复数运算，共轭复数，复数的模，意在考查学生对于复数知识的综合应用.
13．设复数z 满足()13i z i +=+，则z =（ ）
A
B ．2
C ．
D 【答案】D
【解析】
分析：先根据复数除法得z ，再根据复数的模求结果.
详解：因为()13i z i +=+，所以31(3)(1)212
i z i i i i +=
=+-=-+,
因此z =
选D.
点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，
如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi
14．复数(1)(2)z ai a i =-+在复平面内对应的点在第一象限，其中a R ∈，i 为虚数单位，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．
B ．)+∞
C ．(,-∞
D ．(
【解析】
【分析】
利用复数代数形式的乘除运算、化简，再由实部与虚部均大于0，列出不等式组，即可求解.
【详解】
由题意，复数2
(1)(2)3(2)z ai a i a a i =-+=+-在复平面内对应的点在第一象限， 所以23020
a a >⎧⎨->⎩，解得02a <<，即实数a 的取值范围是(0,2). 故选：A .
【点睛】
本题主要考查了复数的乘法运算，以及复数的代数表示法及其几何意义的应用，着重考查了推理与运算能力.
15．在复平面内，复数121i z i -=
+对应的点位于（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 【答案】C
【解析】 试题分析：
1213122i i i -=--+在复平面内所对应的点坐标为，位于第三象限，故
选C ．
考点：复数的代数运算及几何意义．
16．已知i 为虚数单位，,a b ∈R ，复数12i i a bi i
+-=+-，则a bi -=（ ） A ．1255
i - B ．1255i + C ．2155i - D ．21i 55
+ 【答案】B
【解析】
【分析】 由复数的除法运算，可得(1)(2)12(2)(2)55i i i i i i a b i=
+++-=--+，即可求解a b i -，得到答案．
【详解】
由题意，复数12i i a bi i
+-=+-，得(1)(2)1312(2)(2)555i i a b i=i i i i i i ++++-=-=--+， 所以1
255
a b i=i -+，故选B ．
本题主要考查了复数的运算，其中解答中熟记复数的基本运算法则，准确化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
17．设复数4273i z i -=
-，则复数z 的虚部为（ ） A ．1729- B ．1729 C ．129- D ．129
【答案】C
【解析】
【分析】 根据复数运算法则求解1712929z i =
-，即可得到其虚部. 【详解】 依题意，()()()()427342281214634217173737358582929
i i i i i i z i i i i -+-+-+-=====---+ 故复数z 的虚部为129-
故选：C
【点睛】
此题考查复数的运算和概念辨析，关键在于熟练掌握运算法则，准确计算，正确辨析虚部的概念.
18．若复数z 满足()12z i i +=（i 为虚数单位），则z =（ ）
A ．1
B ．2
C
D ．【答案】C
【解析】
试题分析：因为(1)2z i i +=，所以22(1)1,12
i i i z i i -=
==++因此1z i =+= 考点：复数的模
19．若复数z 满足22iz i =-（i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点所在的象限是（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】B
【解析】
分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，然后求z 的共轭复数，即可得到z 在
复平面内对应的点所在的象限． 详解：由题意，()()()
222222,i i i z i i i i -⋅--===--⋅-Q 22,z i ∴=-+ 则z 的共轭复数z 对应的点在第二象限.
故选B.
点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
20．已知i 是虚数单位，则2331i i i -⎛⎫-= ⎪+⎝⎭
（ ） A ．32i --
B ．33i --
C ．24i -+
D ．22i -- 【答案】B
【解析】
【分析】
根据虚数单位i 的性质以及复数的基本运算法则，直接计算化简．
【详解】
()()()2
2231i 3i 3i i i 12i i 33i 1i 2轾--骣-÷犏ç-=+=-+=--÷ç÷犏ç桫+臌 故选B.
【点睛】
本题考查复数代数形式的混合运算．除法中关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，实现分母实数化．。