数学_2010年上海市普陀区高考数学二模试卷 (文科)_(含答案)

2010年上海市普陀区高考数学二模试卷 （文科）
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得4分，填错或不填在正确的位置一律得零分.
1. 已知C 102x −C 10x+1
=0，则x =________．
2. 设函数f(x)的图象关于原点对称，且存在反函数f −1(x)．若已知f(4)=2，则f −1(−2)=________．
3. 函数y =log 2(3x −2)的定义域是________．
4. 已知cosx =3
5，x ∈(−π
2，0)，则tan2x =________．
5. 不等式组{x −y +1≥0
2x −y ≤0y ≥0所表示的平面区域的面积是________．
6. 设f(x)=|1
11
x
−11x 2
11
|(x ∈R)，则方程f(x)=0的解集为________． 7. 不等式(|x|−2)(x −1)≥0的解集为________．
8. 敲击一次音叉A 所发出的声波可用函数y 1=1
1000sin(400π−t)描述，敲击一次音叉B 所发出的声波可用函数y 2=
31250
sin(460π−t)描述，则两个音叉所发出的音量较大的是
________．（填入A 或B ）
9. 在复平面上，已知直线l 上的点所对应的复数z 满足|z +i|＝|z −3−i|，则直线l 的倾斜角为________．（结果反三角函数值表示）
10. 将一个半圆面围成圆锥的侧面，则其任意两条母线间夹角的最大值为________． 11. 如图，平行四边形ABCD 的两条对角线相交于点M ，点P 是MD 的中点．若|AB →
|=2，|AD →
|=1，且∠BAD =60∘
，则AP →
⋅CP →
=________．
12. 平面直角坐标系中，已知点P 0(1, 0)，P 1(2, 1)，且P n P n+1→
=−1
2
P n−1P n →
(n ∈N ∗)．当
n →+∞时，点P n 无限趋近于点M ，则点M 的坐标为________．
13. 某企业投资72万元兴建一座环保建材厂．第1年各种经营成本为12万元，以后每年的经营成本增加4万元，每年销售环保建材的收入为50万元．则该厂获取的纯利润达到最大值时是在第________年．
14. 在二项式(x +1)9的展开式中任取2项，则取出的2项中系数均为奇数的概率为________．（用分数表示结果）
二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中.每题选对得4分，不选、选错或选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内），或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分. 15. 已知条件p:x >1，条件q:1
x <1，则p 是q 成立的（ ）
A 充分非必要条件
B 必要非充分条件
C 充要条件
D 既非充分也非必要条件
16. 已知抛物线x 2+my =0上的点到定点(0, 4)和到定直线y =−4的距离相等，则m =( )
A 1
16 B −1
16 C 16 D −16
17. 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ） A
3√34 B √33 C √34 D √3
12 18. 若函数f(x)=x 3−ax(a >0)的零点都在区间[−10, 10]上，则使得方程f(x)=1000有正整数解的实数a 的取值个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.
19. 已知a ∈R ，且以下命题都为真命题：
命题p ：实系数一元二次方程x 2+ax +2=0的两根都是虚数； 命题q ：存在复数z 同时满足|z|=2且|z +a|=1． 求实数a 的取值范围．
20. 如图，在△ABC 中，AB =2，BC =√2，∠ABC =
3π4
．以点B 为圆
心，线段BC 的长为半径的半圆分别交AB 所在直线于点E 、F ，交线段AC 于点D ，求弧CD
̂的长．（精确到0.01）
21. 一企业生产的某产品在不做电视广告的前提下，每天销售量为b 件．经市
场调查后得到如下规律：若对产品进行电视广告的宣传，每天的销售量S （件）与电视广告
每天的播放量n（次）的关系可用如图所示的程序框图来体现．
（1）试写出该产品每天的销售量S（件）关于电视广告每天的播放量n（次）的函数关系式；
（2）要使该产品每天的销售量比不做电视广告时的销售量至少增加90%，则每天电视广
告的播放量至少需多少次？
22. 已知数列{a n}的首项为1，前n项和为S n，且满足a n+1=3S n，n∈N∗．数列{b n}满足
b n=log4a n．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）当n≥2时，试比较b1+b2+...+b n与1
2
(n−1)2的大小，并说明理由；
（3）试判断：当n∈N∗时，向量a→=(a n, b n)是否可能恰为直线l:y=1
2
x+1的方向向量？请说明你的理由．
23. 现有变换公式T:{4
5
x+3
5
y=x′
3 5x−4
5
y=y′
可把平面直角坐标系上的一点P(x, y)变换到这一平面上
的一点P′(x′, y′)．
（1）若椭圆C的中心为坐标原点，焦点在x轴上，且焦距为2√2，长轴顶点和短轴顶点间的距离为2．求该椭圆C的标准方程，并求出其两个焦点F1、F2经变换公式T变换后得到的点F1′和F2′的坐标；
（2）若曲线M上一点P经变换公式T变换后得到的点P′与点P重合，则称点P是曲线M在变换T下的不动点．求（1）中的椭圆C在变换T下的所有不动点的坐标；
（3）在（2）的基础上，试探究：中心为坐标原点、对称轴为坐标轴的椭圆和双曲线在变换T下的不动点的存在情况和个数．
2010年上海市普陀区高考数学二模试卷（文科）答案
1. 1或3
2. −4
3. {x|x>2
3
}
4. 24
7
5. 1
6. {−1, 1}
7. {x|−2≤x≤1或x≥2}
8. B
9. π−arctan3
2
10. 60∘
11. −25
16
12. (5
3,2 3 )
13. 10 14. 2
15
15. A 16. D 17. C 18. C
19. 解：由命题p 为真，可得△=a 2−8<0⇒a ∈(−2√2,2√2)； 又x 2+y 2=4表示以(0, 0)为圆心，以2为半径的圆；
而(x +a)2+y 2=1是以(−a, 0)为圆心，以1为半径的圆．
由命题q 为真，可知复平面上的圆x 2+y 2=4和圆(x +a)2+y 2=1有公共交点， 所以，实数a ∈[−3, −1]∪[1, 3]，
故两个命题同时为真的实数的取值范围是a ∈(−2√2，−1]∪[1,2√2)．
20. 解：
解法一：连接BD ，在△ABC 中，由余弦定理得
AC 2=AB 2+BC 2−2⋅AB ⋅BC ⋅cos∠ABC =4+2−4√2⋅(−√2
2
)=10 所以AC =√10．
再由正弦定理得AC
sin∠ABC =AB
sin∠ACB ⇒sin∠ACB =
2⋅√22
√
10
=√55 在△DBC 中，因为BD =BC ，故∠DBC =π−2arcsin √55
， 所以CD
̂=(π−2arcsin √5
5
)⋅√2≈3.13．
解法二：如图，以点B 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，
由条件可得点A 的坐标为(−2, 0)，点C 的坐标为(1, 1)，
故直线AC 的方程为y =1
3
(x +2)，
和圆方程x 2
+y 2
=2联立得{
x 2+y 2=2
y =1
3
(x +2)
可解得x =−7
5和x =1，即得点D 的坐标为(−7
5，1
5)．
于是，得BD →
=(−75,1
5)，BC →
=(1,1)，故向量BC →
和BD →
的夹角∠DBC 的余弦值为cos∠DBC =|BC →
|⋅|BD →
|˙
=−3
5，即∠DBC =π−arccos 3
5 所以，CD
̂=(π−arccos 3
5
)⋅√2≈3.13．
21. 解：（1）设电视广告播放量为每天i 次时，该产品的销售量为为s i (0≤i ≤n ,)．
由题意，S i ={b i =0
S i−1+b 2
i
1≤i ≤n,i ∈N ∗， 于是当i =n 时，S n =b +(b 2
+
b 22
++
b 2n
)=b(2−
12n
)，
所以，该产品每天销售量S （件）与电视广告播放量n （次/天）的函数关系式为S =b(2−
12n
)，n ∈N ∗．
（2）由题意，有b(2−1
2n )≥1.9b ．
所以，要使该产品的销售量比不做电视广告时的销售量增加，则每天广告的播放量至少需
4次． 22. 解：（1）由a n+1=3S n (1)，得a n+2=3S n+1 （2），由（2）−(1)得 a n+2−a n+1=3a n+1，整理得
a n+2a n+1
=4，n ∈N ∗．
所以，数列a 2，a 3，a 4，，a n ，是以4为公比的等比数列． 其中，a 2=3S 1=3a 1=3， 所以，a n ={
1
n =1
3⋅4n−2
n ≥2,n ∈N ∗
．
（2）由题意，b n ={0n =1
log 43+(n −2)n ≥2,n ∈N ∗
．
当n ≥2时，
b 1+b 2+b 3++b n =0+(log 43+0)+(log 43+1)++(log 43+n −2) =(n −1)log 43+1
2(n −2)(n −1)
=
n −1
2
[2log 43−1+(n −1)] =n −12[log 494+(n −1)]>(n −1)22
所以，b 1+b 2+b 3++b n >
(n−1)2
2
．
（3）由题意，直线l 的方向向量为d →
=(2,1)，假设向量(a n , b n )恰为该直线的方向向量， 则有2b n =a n ，
当n =1时，a 1=1，b 1=0，向量a →
=(1,0)不符合条件；
当n ≥2时，由2b n =a n ⇒2[log 43+(n −2)]=3⋅4n−2⇒log 49=3⋅4n−2−2n +4， 而此时等式左边的log 49不是一个整数，而等式右边的3⋅4n−2−2n +4是一个整数，故等式不可能成立．
所以，对任意的n ∈N ∗，a →
=不可能是直线l 的方向向量．
23. 解：（1）依题意可知{a 2−b 2=2a 2+b 2
=4
解得a 2=3，b 2=1
∴ 椭圆方程为x 2
3+y 2=1，焦点坐标为F 1(√2, 0)，F 2(−√2, 0)
依题意F 1′
的坐标为(
4√25, 3√25)，F 2′
(−4√25, −3√25
) （2）依题意设不动点P 的坐标为(m, n)依题意则有4
5m +3
5n =m ，整理的m =3n ，代入椭圆方程得
9n 23
+n 2=1，解得n =12
，m =32
或n =−12
，m =−3
2
∴ 不动点坐标为(12, 3
2)(−1
2, −3
2)
（3）由（2）可知，曲线M 在变换T 下的不动点P(x, y)需满足 情形一：据题意，不妨设椭圆方程为x 2
m +y 2n
=1(m >0, n >0)，
则有
(3y)2m
+
y 2n
=1⇔
9n+m mn
y 2=1．
因为m >0，n >0，所以y 2=mn
9n+m >0恒成立，
因此椭圆在变换T 下的不动点必定存在，且一定有2个不动点． 情形二：设双曲线方程为x 2m
+
y 2n
=1(mn <0)，
则有
(3y)2m
+
y 2n
=1⇔
9n+m mn
y 2=1，因为mn <0，
故当9n +m =0时，方程
9n+m
mn
y 2=1无解；
当9n +m ≠0时，故要使不动点存在，则需y 2=mn 9n+m
>0，
因此，当且仅当{mn <0
9n +m <0时，双曲线在变换T 下一定有2个不动点．否则不存在不动点．
进一步分类可知， (I)当n <0，m >0时，m 9n+m
≤−1⇒9n +m <0⇒9>−m n
．
即双曲线的焦点在
轴上时，需满足0<−m
n <9时，双曲线在变换 下一定有2个不动点．否则不存在不动点． (II)当n >0，m <0时，⇒
mn 9n+m >0⇒9n +m <0⇔−
m n
>9．
即双曲线的焦点在y 轴上时，需满足−m
n >9时，双曲线在变换T 下一定有2个不动点．否则不存在不动点．。