微专题 复合函数问题

2
2
2
根据以上信息,作出函数f(x)的图象如图.
观察图象可得函数y=f(x)的图象与直线y=2有2个交点,所以方程f(x)=2有两个根,
所以方程f(x)=m有3个根,且异于方程f(x)=2的根,观察图象可得
1 2
<m<2,所以m的取值范围为
1 2
,
2
.
故选D.
答案 D
例4 已知函数y=f(x)和y=g(x)在[-2,2]上的图象如图所示.
x 2, x 1,
因此f(f(x))= ln(x 2), 1 x 0,
ln[ln(x 1) 1], x 0.
在平面直角坐标系内作出函数y=f(f(x))的图象,如图.
方程f(f(x))=a恰有两个不相等的实数根等价于直线y=a与函数y=f(f(x))的图象有两个不同交点,观 察图象知ln 2≤a<1, 此时x1+2=a,且ln[ln(x2+1)+1]=a,
1 2
,
1 2
单调递增,排除B;当x∈
,
1 2
时,
f(x)=ln(-2x-1)-ln(1-2x),则f
'(x)=
2 -
2x 1
2 = 4 <0,
1 2x 1 4x2
∴f(x)在
,
1 2
单调递减,∴D正确.
答案 D
例2 (多选)(2023安徽宣城二调,12)已知函数f(x)=sin(cos x)+cos(sin x),下列关于该函数的结论正 确的是( ) A. f(x)的图象关于直线x=π对称 B. f(x)的一个周期是2π
类型三:复合函数的方程(组)、不等式问题 解复合函数中的方程或不等式问题,一种思路是将f(g(x))=0分解为f(t)=0,t=g(x)处理;另一种思
路是构造同构方程f(g(x))=f(h(x)),利用函数y=f(x)的单调性求解方程(或不等式).
例5
(2023湖南长沙适应性考试,16)已知函数f(x)=lxn(x1,x1),
微专题
复合函数问题
一、专题说明 复合函数是高考的难点,主要以基本初等函数为载体,考查函数的单调性、奇偶性、周期性和
对称性,有时与导数结合,常以选择题和填空题的形式出现,考查数形结合、转化与化归、函数与 方程、分类讨论等数学思想,考查数学运算、逻辑推理等核心素养.
二、类型分析 类型一:复合函数的性质 1.复合函数奇偶性的判断方法 (1)定义法:判断复合函数的奇偶性,如不能分辨内外层函数的奇偶性时,一般使用定义进行判断. (2)利用法则判断
x2 2x, x 0,
()
A.2 B.3 C.4 D.5 答案 D 2.(2023安徽黄山第二次质检,6)已知函数f(x)=lg(|x|-1)+2 023x+2 023-x,则使不等式f(3x)<f(x+1)成立 的x的取值范围是 ( ) A.(-∞,-1)∪(1,+∞)
B.
1 4
,
1 2
C.
|
x
1 2
,关于原点对称,又∵f(-x)=ln|-2x+1|-ln|-2x-1|=ln|2x-1|-ln|2x+1|
=-f(x),∴f(x)是奇函数,排除A、C;当x∈ຫໍສະໝຸດ 1 2,1 2
时,
f(x)=ln(2x+1)-ln(1-2x),则f
'(x)=
2 2x
1-
1
2 2x
=
4 1 4x2
>0,∴f(x)在
例3 (2023山西太原一模,7)已知函数f(x)= 个零点,则实数m的取值范围为 ( )
3 x2 6 2 2(x 1)
ex
x 5, x , x 1,
1,
若函数g(x)=f
2(x)-(m+2)f(x)+2m恰有5
A.(1,2)
B.(-1,0)
C.
0,
1 2
D.
1 2
,
2
解析 因为函数g(x)=f 2(x)-(m+2)f(x)+2m恰有5个零点,
AB
C. 21
4
D. 23
4
给出下列四个命题:
①方程f(g(x))=0有且仅有6个根;
②方程g(f(x))=0有且仅有3个根;
③方程f(f(x))=0有且仅有5个根;
④方程g(g(x))=0有且仅有4个根.
其中正确的命题是
(把所有正确命题的序号都填上).
解析 由图象可得-2≤g(x)≤2,-2≤f(x)≤2. 对于①,由y=f(x)的图象知满足方程f(g(x))=0的g(x)有三个不同的值,一个值在-2与-1之间,一个值为 0,一个值在1与2之间,由g(x)的图象可得每个g(x)值对应了2个x值,故满足f(g(x))=0的x值有6个,即方 程f(g(x))=0有且仅有6个根,故①正确. 对于②,由y=g(x)的图象可得满足g(f(x))=0的f(x)有两个,一个值在-2与-1之间,由y=f(x)的图象可得此 时对应1个x值;另一个值在0与1之间,由y=f(x)的图象可得此时对应3个x值,因此该方程有且仅有4 个根,故②不正确. 对于③,满足方程f(f(x))=0的f(x)有三个不同的值,从图中可知一个f(x)等于0,一个f(x)∈(-2,-1),一 f(x)∈(1,2).而当f(x)=0时,对应了3个不同的x值;当f(x)∈(-2,-1)时,只对应1个x值;当f(x)∈(1,2)时,也只 对应1个x值,故满足方程f(f(x))=0的x值共有5个,故③正确. 对于④,由于满足方程g(g(x))=0的g(x)值有两个,而结合图象可得每个g(x)值对应2个不同的x值,故 满足方程g(g(x))=0的x值有4个,即方程g(g(x))=0有且仅有4个根,故④正确. 综上,得①③④正确. 答案 ①③④
sin 1,当cos x=1时,sin x=0,y=cos(sin x)=cos 0=1,也取得最大值,所以f(x)的最大值为sin 1+1,故D正确.故 选ABD.
答案 ABD
类型二:复合函数的零点问题 1.零点的个数问题 解决复合函数y=f(g(x))的零点问题,要分内外层函数来考虑,第一层是考虑f(t)=0,求解使等式成立 的t的值,第二层是结合t的值,求解使得g(x)=t成立的x的个数,即为函数y=f(g(x))的零点个数. 2.由零点个数求参数的范围问题 由零点个数求参数的范围问题与函数的图象结合比较紧密,先画出函数y=f(t),t=g(x)的图象,然后确 定关于t的方程f(t)=0的解ti,再根据g(x)的图象特点,分配每一个函数值ti=gi(x)与哪些x的值对应,进 而确定参数的范围.
内层函数
外层函数
f(g(x))
口诀
偶
偶/奇
偶
内偶则偶
奇
奇
奇
外奇则奇
奇
偶
偶
外偶则偶
简记为内偶则偶;内奇同外. 2.复合函数的周期性 函数u=g(x)是定义在A上的周期函数,u∈C, f(u)在C上有定义,则复合函数f(g(x))也是A上的周期函 数,内层函数为周期函数,复合函数必为周期函数,内层函数的周期就是复合函数的周期;若外层函 数为周期函数,复合函数未必是周期函数. 3.复合函数的单调性 复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则,内外层单调性相同复合后为增函数,内外层单调性相 反复合后为减函数.
x)+cos(sin
x)=f(x),故B正确.对于C,
f
2
-f(π)
=cos 1+sin 1-1=
2
sin
1
4
-1>
2
sin
3 4
-1=0,则f
2
>f(π),又函数f(x)连续,所以C错误.
对于D,因为-1≤cos x≤1,y=sin x在[-1,1]上单调递增,所以当cos x=1时,y=sin(cos x)取最大值,为
即x1+2=a,且x2+1=
eea 1
,则有
x2 x1
1 2
=
eea 1 a
,
令g(x)=
eex 1 x
,ln
2≤x<1,求导得g'(x)=
eex 1(xex x2
1)
,令h(x)=xex-1,ln
2≤x<1,
则h'(x)=(x+1)ex>0,
则函数h(x)在[ln 2,1)上单调递增,
则h(x)>h(ln 2)=2ln 2-1=ln 4-1>0,即g'(x)>0,因此函数g(x)在[ln 2,1)上单调递增,又g(ln 2)= e ,g(1)=
e2x
ex
当-1<x<0时, f '(x)>0,函数f(x)在(-1,0)上单调递增;
当x>0时, f '(x)<0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,
因为x>-1,所以f(x)>0, f(0)=2, 当x>-1且x→-1时, f(x)→0, x→+∞时, f(x)→0,
当x≤-1时, f(x)= 3 x2+6x+5= 3 (x+2)2-1, f(-1)= 1 ,
例1 (2020课标Ⅱ理,9,5分)设函数f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|,则f(x) ( )
A.是偶函数,且在
1 2
,
单调递增
B.是奇函数,且在
1 2
,
1 2
单调递减
C.是偶函数,且在
,
1 2
单调递增
D.是奇函数,且在
,
1 2
单调递减
解析
函数f(x)的定义域为
x
C.
f(x)在区间
2
,
上单调递增
D. f(x)的最大值为sin 1+1
解析 对于A, f(2π-x)=sin[cos(2π-x)]+cos[sin(2π-x)]=sin(cos x)+cos(-sin x)=sin(cos x)+cos(sin x)=
f(x),故A正确.
对于B,
f(2π+x)=sin[cos(2π+x)]+cos[sin(2π+x)]=sin(cos
ln 2
ee-1,于是当ln 2≤x<1时, e ≤g(x)<ee-1,即 e ≤eea1 <ee-1,
ln 2
ln 2 a
所以
x2 x1
1 2
的取值范围是
e ln 2
,
ee1
.
答案
e ln 2
,
ee1
针对训练
lnx 1 , x 0,
1.(2022湖南长沙长郡中学冲刺(一))已知函数f(x)= x 则函数y=f(f(x)+1)的零点个数是
1 3
,
1 2
D.
1 3
,
1 4
∪
1 3
,
1 2
答案 C
3.(多选)(2023广东茂名二模,11)已知f(x)=
x2
x ex
,
2x x 0,
1,
x
0,
若关于x的方程4ef
2(x)-af(x)+
1 e
=0恰好有
6个不同的实数解,则a的取值可以是 ( )
A. 17
4
答案
B. 19
4
0, x
0.
若关于x的方程f(f(x))=a恰有两个
不相等的实数根x1,x2,且x1<x2,则
x2 x1
1 2
的取值范围是
.
解析 由题易知,f(x)在(-∞,0)上单调递增,且f(x)<1;f(x)在[0,+∞)上单调递增,且f(x)≥0.当f(x)<0,即x <-1时, f(f(x))=x+2,且f(f(x))<1,当-1≤x<0,即0≤f(x)<1时, f(f(x))=ln(x+2),且0≤f(f(x))<ln 2, 当x≥0,即f(x)≥0时, f(f(x))=ln[ln(x+1)+1],且f(f(x))≥0,
所以方程f 2(x)-(m+2)f(x)+2m=0恰有5个根,
由f 2(x)-(m+2)f(x)+2m=0得(f(x)-m)·(f(x)-2)=0,所以方程f(x)=2和f(x)=m共有5个根.
当x>-1时, f(x)= 2(x 1) ,
ex
则f '(x)= 2ex 2(x 1)ex = 2x ,