初中不等式与方程专题、讲义、例题、习题

第二部分方程与不等式
一、一元一次方程
（一）知识要点
在某一变化过程中，数值保持不变的量叫做常量。

可以取不同数值的量叫做变量。

一般地，如果在一个变化的过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有惟一的值与它对应，那么我们称y是x的函数。

其中，x是自变量，y是应变量。

通常，表示两个变量之间的关系可以用3种方法：表格、图形和数学式子。

表示两个变量之间关系的式子通常称为函数关系式。

在直角坐标系中，如果描出以自变量的值为横坐标、相应的函数值为纵坐标的点，那么所有这样的点组成的图形叫做这个函数的图像。

一般地，如果两个变量x与y之间的函数关系，可以表示为y=kx+b （k、b为常数，且k≠0）的形式，那么称y是x的一次函数。

它的图象是一条直线。

特别地，当b=0时，y叫做x的正比例函数。

一般地，正比例函数y=kx的图象是经过原点的一条直线，一次
函数y=kx+b的图象是由正比例函数y=kx的图象沿y轴向上（b>0）
或向下（b<0）平移|b|个单位长度得到的一条直线。

一般地，一次函数y=kx+b图象上任意一点的坐标都是二元一次
方程kx-y+b=0的一个解；以二元一次方程kx-y+b=0的解为坐标的点都在一次函数y=kx+b的图象上。

一般地，如果两个一次函数的图象有一个交点，那么交点的坐标就是相应的二元一次方程组的解。

用一次函数的图象解二元一次方程组的方法称为二元一次方程组的图象解法。

（二） 典型例题
例1.一个一元一次方程的解为2，请写出这个一元一次方程 . (答案不唯一)
例2.若关于x 的一元一次方程2313
2
x k x k ---=的解是1x =-,则k 的值
是（ ）
A ． 27
B ．1
C ．1311
- D ．0
例3. 23{32[1
2
(x-1)-3]-3}=3
例4.某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅．经过测试：同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2280名学生就餐．
（1）求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐； （2）若7个餐厅同时开放，能否供全校的5300名学生就餐？请说明理由．
例5.工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元；按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等.该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？
二、二元一次方程组
（一）知识要点
1、二元一次方程组的解：二元一次方程组中两个方程的公
共解
注意：一般情况下，一个二元一次方程组只有惟一一个解，但实际上，二元一次方程组的解还有另外两种情况：无解或有无数个解.
2、二元一次方程组的解法
（1）代入法：将方程组中一个方程的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，再代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一元一次方程，最后求得方程组的解.这种解方程组的方法叫做代入消元法，简称代入法.
（2）加减法：通过将方程组中两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法
3、列二元一次方程组解应用题的一般步骤： ⑴设出题中的两个未知数； ⑵找出题中的两个等量关系；
⑶根据等量关系列出需要的代数式，进而列出两个方程，并组成方程组；
⑷解这个方程组，求出未知数的值.
⑸检验所得结果的正确性及合理性并写出答案.
（二）典型例题
例1．若一个二元一次方程的一个解为则这个方程可以是
________．
例2．下列方程组中,是二元一次方程组的有( )个
①② ③④ ⑤
Ａ．个 Ｂ．个 Ｃ．个 Ｄ．个
例3．解方程组：
例4．已知代数式与是同类项，那么的值分别是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
例5．二元一次方程的正整数解是 ．
21x y =⎧⎨=-⎩
，
，⎩⎨⎧=-+=9432b a b a 25
27x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩
，．
⎩⎨⎧-==11
b a 1x y xy x y +=⎧⎨-=⎩2,9;x y y z -=⎧⎨+=⎩12342622x y x y -=⎧⎨+=-⎩
①
②131
2
a x y -23
b a b x y -+-a b ，21a b =⎧⎨=-⎩
，
21a b =⎧⎨=⎩
，
21a b =-⎧⎨=-⎩
，
21a b =-⎧⎨=⎩
，420x y +=
例6．关于x 、y 的方程，当时，；当时，，则 ，b= ．
例7．某同学在A 、B 两家超市发现他看中的英语学习机的单价相同，书包单价也相同，英语学习机和书包单价之和是452元，且英语学习机的单价比书包单价的4倍少8元．
（1）求该同学看中的英语学习机和书包单价各是多少元？
（2）某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A 所有商品打7.5折销售；超市B 全场购物满100元返购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的英语学习机、书包，那么在哪一家购买更省钱？
三、一元二次方程 （一）知识要点
1．灵活运用四种解法解一元二次方程：一元二次方程的一般形式:
20(0)ax bx c a ++=≠
四种解法：直接开平方法，配方法，公式法， 因式分解法，公式法：
12,x x =
(24b ac -≥0)
2．根的判别式及应用(24b ac ∆=-)： (1)一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的情况：
①当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；
y kx b =+2x =1y =-1x =-5y =k =
②当0∆=时，方程有两个相等的实数根； ③当0∆<时，方程无实数根. (2)判定一元二次方程根的情况； (3)确定字母的值或取值范围。

3．根与系数的关系(韦达定理)的应用：
韦达定理:如一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为12,x x ，则
12b x x a +=-
，12c x x a
⋅= 适用题型：(1)已知一根求另一根及未知系数； (2)求与方程的根有关的代数式的值；
(3)已知两根求作方程； (4)已知两数的和与积，求这两个数；
(5)确定根的符号:(12,x x 是方程两根)； （6）题目给出两根之间的关系，如两根互为相反数、互为倒数、两根的平方和或平方差是多少、两根是Rt ∆的两直角边求斜边等情况.
注意：（1）22
212
1212()2x x x x x x +=+-⋅ （2）22121212()()4x x x x x x -=+-⋅；
12x x -=（3）①方程有两正根，则1212
00x x x x ∆≥⎧⎪+>⎨⎪⋅>⎩； ②方程有两负根，则
1212
000x x x x ∆≥⎧⎪
+<⎨⎪⋅>⎩ ； ③方程有一正一负两根，则120
x x ∆>⎧⎨
⋅<⎩；④方程一根大于1，
另一根小于1，则120
(1)(1)0
x x ∆>⎧⎨
--<⎩
（4）应用韦达定理时，要确保一元二次方程有根，即一定要判断根的判别式是否非负;求作一元二次方程时，一般把所求作得方程的二次项系数设为1，即以12,x x 为根的一元二次方程为
21212()0x x x x x x -++⋅=;求字母系数的值时，需使二次项系数0a ≠，同时
满足∆≥0;求代数式的值，常用整体思想，把所求代数式变形成为含有两根之和12x x +，•两根之积12x x ⋅的代数式的形式，整体代入。

4．用配方法解一元二次方程的配方步骤： 例：用配方法解24610x x -+=
第一步，将二次项系数化为1：23102
4
x x -+=，（两边同除以4）
第二步，移项： 2312
4
x x -=-
第三步，两边同加一次项系数的一半的平方：2223313()()2
4
4
4
x x -+=-+
第四步，完全平方：235()416
x -=
第五步，直接开平方：3
4
x -=，即
:134x =+
,234
x =
（二）典型例题
1、关于x 的一元二次方程2(1)(2)26ax ax x x --=-+中，求a 的取值范围.
2、已知：关于x 的方程226350x x m m -+--=的一个根是1-，求方程的另一个根及m 的值。

3、用配方法解方程:2210x x --=
4已知关于x 的方程2(2)2(1)10m x m x m ---++=，当m 为何非负整数时：
(1)方程只有一个实数根； (2)方程有两个相等的实数根； (3)方程有两个不等的实数根.
5.已知,,a b c 是三角形的三条边，求证：关于x 的方程
222222
()0b x b c a x
c ++-+=没
有实数根.
（三）实战练习
1、关于x 的一元二次方程22(1)10a x x a -++-=的一个根是0，则a 的值为（ ）
A. 1
B.1-
C.1或1-
D.1
2
2、解方程23(121)4(121)x x -=-的最适当的方法（ ）
A. 直接开平方法
B. 配方法
C. 因式分解法
D. 公式法
3、若0a b c -+=，则一元二次方程20ax bx c ++=有一根是（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. －1
4、当k __________时，22(9)(5)30k x k x -+--=不是关于x 的一元二次方程.
5、已知方程23214x x -+=，则代数式21283x x -+=_____________.
6、解下列方程：
（1）2(1)4x -=; (2)2230x x --= (3)
22740t t --=（用配方法）
7、一元二次方程
的根的情况为（ ）
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.只有一个
实数根 D.没有实数根
8、已知关于x的一元二次方程22
-=有两个不相等的实数根，则m
x m x
的取值范围是（）
A.1
m<- C. m≥0 D.
m>- B. 2
m<
9、一元二次方程2
(1)210
---=有两个不相等的实数根，则k的取
k x x
值范围是__________.
10、求证：关于x的方程2(21)10
+++-=有两个不相等的实数根。

x k x k
一、填空题
1、关于
x的方程2
(3)20
--=是一元二次方程，则m的取值范
m x
围是 ____ .
2、若(0)
b b≠是关于x的方程2
20
++=的根，则2b c+的值
x cx b
为 ____ .
3、方程2310
-+=的根的情况是
x x
_______________________________.
4、写出一个既能直接开方法解，又能用因式分解法解的一元二次方
程是_______________.
5、在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为)
=
a-
*,根据这
a
(b
a
b
个规则，方程(2)50x +*=的解为_________________.
6、如果关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个实数根，则k 的取值范围是_____________。

7、设12,x x 是一元二次方程20a x b x c ++=的两个根，则代数式
3322121212
()()()0
a x x b
x x c x x +++++=的值为___________. 8、 a 是整数，已知关于x 的一元二次方程01)12(2=-+-+a x a ax 只有整数根，则a =__________. 二、选择题
1、关于x 的方程220x kx k -+-=的根的情况是（ ）
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.无实数根
D.不能确定 2、已知方程有一个根是
，则下列代数式的值恒
为常数的是（ ） A 、
B 、
C 、
D 、
3、方程23270x +=的解是（ ） A. B.
C.
D. 无
实数根
4、若关于x 的一元二次方程22(4)60x kx x --+=没有实数根，那么k 的最小整数值是（ ）
A.
1
B.
2
C.
3 D.
5、如果a 是一元二次方程230x x m -+=的一个根，a -是一元二次方程
230x x m +-=的一个根，那么a 的值是（ ）
A 、1或2
B 、0或3-
C 、1-或2-
D 、0或3
6、设m 是方程250x x +=的较大的一根，n 是方程2320x x -+=的较小的一根，则m n +=（ ）
A. B. C. 1 D. 2
三、解答题
1、用配方法解下列方程：
2314x x -= 220(0)ax abx a +-=> 2()0(0)a x b c a -+=≠
2、已知方程222(9)(34)0x k x k k +-+++=有两个相等的实数根，求k 值，并求出方程的根。

3、已知,,a b c 是ABC ∆的三条边长，且方程222()210a b x cx +-+=有两个相等的实数根，试判断ABC ∆的形状。

4、 已知关于x 的一元二次方程2223840x mx m m --+-=.
（1）求证：原方程恒有两个实数根;
（2）若方程的两个实数根一个小于5，另一个大于2，求m 的取值范围.
5、方程2(2008)2007200910x x -⨯-=的较大根为a ，方程020*******=--x x 的较小根为b ，求2009)(b a +的值.
四、分式方程
1．分式方程:分母中含有 的方程叫分式方程.
2．解分式方程的一般步骤：
（1）去分母，在方程的两边都乘以 ，约去分母，化成整式方程；
（2）解这个整式方程；
（3）验根，把整式方程的根代入 ，看结果是不是零，使
最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.
典型例题
1．方程
0112=--x
x 的解是 ． 2．若关于x 方程23
32+-=--x m x x 无解，则m 的值是 ． 3.分式方程3
111122=---x x 的解是 ． 4. 以下是方程1211=--x x x 去分母、去括号后的结果，其中正确的是（ ）
A ．112=--x B.112=+-x C.x x 212=+- D.x x 212=--
5．分式方程
21124x x x -=--的解是（ ） A ．3
2- B ．2- C ．52- D ．32
6.分式方程1
421-=+-x x x 的解是（ ） A.71=x , 12=x B. 71=x , 12-=x C. 71-=x , 12-=x
D. 71-=x 12=x
7． 今年以来受各种因素的影响，猪肉的市场价格仍在不断上升．据调查，今年5月份一级猪肉的价格是1月份猪肉价格的1.25
倍．小英同学的妈妈同样用20元钱在5月份购得一级猪肉比在1月份购得的一级猪肉少(2) 在实际工作中，甲、乙两组合做完成这项工程的6
5后，工程队又承包了东段的改造工程，需抽调一组过去，从按时完成中段任务考虑，你认为抽调哪一组最好？请说明理由．
（五）一元一次不等式
用不等号表示不等关系的式子叫做不等式。

能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。

一个含有未知数的不等式的解的全体叫做这个不等式的解集。

求不等式解集的过程叫做解不等式。

一般地，如果a>b ，那么a+b>b+c （或a-b>b-c ）
一般地，如果a>b ，c>0，那么ac>bc ；如果a>b ，c<0，那么ac<bc
不等式性质1
不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

不等式性质2
不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0的不等式，叫做一元一次不等式。

由几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组叫做一元一次不等式组。

不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集。

求不等式组解集的过程叫做解不等式组。

若不等式组中的两个不等式的解集没有公共部分，我们说这个不等式组无解。

当一次函数中的一个变量的值确定时，可以用一元一次方程确定另一个变量的值；当已知一次函数中的一个变量取值的范围时，可以用一元一次不等式（组）确定另一个变量取值的范围。

典型例题
1．不等式2(x + 1) -
12
732-≤-x x 的解集为_____________。

2．同时满足不等式7x + 4≥5x – 8和523x x -<的整解为______________。

3．如果不等式3
3131++>+x mx 的解集为x >5，则m 值为___________。

4．不等式22)(7)1(3)12(k x x x x ++<--+的解集为_____________。

5．关于x 的不等式(5 – 2m)x > -3的解是正数，那么m 所能取的最小整数是__________。

6．关于x 的不等式组⎩⎨⎧<->+2
5332b x x 的解集为-1<x <1，则ab____________。

7．能够使不等式(|x| - x )(1 + x ) <0成立的x 的取值范围是_________。

8．不等式2<|x - 4| <3的解集为_____________。

9．已知a,b 和c 满足a ≤2,b ≤2,c ≤2,且 a + b + c = 6，则abc=______________。

10．已知a,b 是实数，若不等式(2a - b)x + 3a – 4b <0的解是94>x ，则不等式(a – 4b)x + 2a – 3b >0的解是__________。

11对于整数a 、b 、c 、d ，定义
bd ac c d b a -=，已知3411<<d b ，则b
＋d 的值为______．
12求满足下列条件的最小的正确整数，n ：对于n ，存在正整数k ，使137158<+<k n n 成立。

13若不等式组⎪⎩
⎪⎨⎧<+++>--05)25(20222k x k x x x 的整数解只有x = -2，求实数k 的取值范围。