泉州市养正中学、惠安一中、安溪一中联考2015-2016学年高二下学期期末数学试卷(理科) 含解析

2015-2016学年福建省泉州市养正中学、惠安一中、安溪一中联考
高二（下)期末数学试卷(理科）
一、选择题:（本小题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

请把答案涂在答题卡的相应位置.）
1．设命题p：∀x＞0,x＞lnx．则￢p为（）
A．∀x＞0，x≤lnx B．∀x＞0，x＜lnx
C．∃x0＞0,x0＞lnx0D．∃x0＞0，x0≤lnx0
2．已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0。

4，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为(）
A．0。

6 B．0.7 C．0。

8 D．0。

9
3．“4＜k＜10”是“方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆”的(）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球,2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于（）
A．B．C．D．
5．在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁．为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小鼠进行试验，得到如表列联表：
感染未感染总计
服用10 40 50
未服用20 30 50
总计30 70 100
附表:
P(K2＞k）0.10 0.05 0.025
k 2.706 3。

841 5.024
参考公式：K2=（n=a+b+c+d为样本容量）
参照附表,下列结论正确的是（）
A．在犯错误的概率不超5%过的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关" B．在犯错误的概率不超5%过的前提下,认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗无关”C．有97.5%的把握认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”
D．有97.5％的把握认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗无关”
6．已知f（n）=+++…+,则（）
A．当n=2时,f（2）=+；f（k+1)比f（k）多了1项
B．当n=2时,f(2）=++；f（k+1）比f（k）多了2k+1项
C．当n=2时，f（2)=+；f（k+1）比f（k）多了k项
D．当n=2时，f（2）=++；f（k+1)比f(k)多了2k项
7．设a∈Z,且0＜a＜13，若532016+a能被13整除，则a=（)
A．0 B．1 C．11 D．12
8．设X～N(1,δ2），其正态分布密度曲线如图所示，且P（X≥3）=0.0228，那么向正方形OABC 中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为(）
附：（随机变量ξ服从正态分布N(μ，δ2），则P（μ﹣δ＜ξ＜μ+δ）=68.26%,P(μ﹣2δ＜ξ＜μ+2δ）=95。

44%
A．6038 B．6587 C．7028 D．7539
9．曲线y=和x2+y2=2及x轴所围成的封闭图形的面积是（）
A．B．C．D．
10．用1、2、3、4、5、6组成一个无重复数字的六位数，要求三个奇数1、3、5有且只有两个相邻,则不同的排法种数为(）
A．18 B．108 C．216 D．432
11．已知点F1、F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0)的左、右焦点,O为坐标原点，点P
在双曲线C的右支上，且满足|F1F2|=2|OP｜,|PF1|≥3｜PF2|,则双曲线C的离心率的取值范围为(）
A．（1，+∞) B．［,+∞）C．(1，]D．（1，]
12．定义在R上的函数f（x）满足:f(x)+f′(x）＞1，f（0）=4,则不等式e x f(x）＞e x+3（其中e 为自然对数的底数）的解集为（）
A．（0，+∞）B．（﹣∞,0）∪(3,+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞) D．(3,+∞)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.请把答案填在答题纸的相应位置13．已知Z是纯虚数，是实数，（i是虚数单位），那么z=．
14．甲、乙、丙三人将独立参加某项体育达标活动，根据平时训练的经验，甲、乙、丙三人能达标的概率分别为、、，则三人中有人达标但没有完全达标的概率为．15．数式1+中省略号“…”代表无限重复，但原式是一个固定值，可以用如下方法求得：令原式=t，则1+=t，则t2﹣t﹣1=0，取正值得t=，用类似方法可得
=．
16．已知f（x)=（2x﹣1)10=a10x10+a9x9+a8x8+…+a1x+a0,则
C a2+C a3+C a4+…+C a10=．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．二手车经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数x（0＜x≤10)与销售价格y （单位:万元/辆）进行整理,得到如表的对应数据：
使用年数 2 4 6 8 10
售价16 13 9。

5 7 4。

5
（1)试求y关于x的回归直线方程；（参考公式：=，=y﹣）
（2）已知每辆该型号汽车的收购价格为w=0。

01x3﹣0。

09x2﹣1。

45x+17。

2万元，根据（1）中所求的回归方程，预测x为何值时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润L（x)最大?(利润=售价﹣收购价）
18．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD,AB⊥AD，△PAB和△PAD是两个边长为2的正三角形，DC=4．
（I）求证：平面PBD⊥平面ABCD;
（II）求直线CB与平面PDC所成角的正弦值．
19．现有甲、乙两个投资项目，对甲项目投资十万元，据对市场120份样本数据统计，年利润分布如表：
年利润1。

2万元 1.0万元0.9万元
频数20 60 40
对乙项目投资十万元，年利润与产品质量抽查的合格次数有关,在每次抽查中,产品合格的概率
均为，在一年之内要进行2次独立的抽查，在这2次抽查中产品合格的次数与对应的利润
如表：
合格次数2次1次0次
年利润1。

3万元1。

1万元0。

6万元
记随机变量X，Y分别表示对甲、乙两个项目各投资十万元的年利润，
（1）求X＞Y的概率；
（2）某商人打算对甲或乙项目投资十万元，判断那个项目更具有投资价值,并说明理由．20．已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，过点M（1，0）的直线1交椭圆
C于A，B两点,｜MA|=λ｜MB｜，且当直线l垂直于x轴时,|AB｜=．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若λ∈[，2],求弦长｜AB|的取值范围．
21．已知函数f（x）=•e﹣ax(a＞0）．
（1)当a=2时,求曲线y=f（x）在x=处的切线方程;
（2）讨论方程f（x)﹣1=0根的个数．
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．［选修4-1:几何证明选讲］
22．如图所示，AC为⊙O的直径，D为的中点，E为BC的中点．
（Ⅰ)求证：DE∥AB；
（Ⅱ）求证：AC•BC=2AD•CD．
[选修4—4：坐标系与参数方程］
23．已知直线（t为参数）经过椭圆（φ为参数）的左
焦点F．
（Ⅰ）求m的值;
（Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点，求|FA｜•|FB｜的最大值和最小值．
[选修4—5：不等式选讲]
24．已知f（x)=|ax﹣4|﹣|ax+8|，a∈R
（Ⅰ）当a=2时，解不等式f（x）＜2；（Ⅱ)若f（x）≤k恒成立，求k的取值范围．
2015—2016学年福建省泉州市养正中学、惠安一中、安溪一中联考高二(下)期末数学试卷（理科)
参考答案与试题解析
一、选择题：（本小题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案涂在答题卡的相应位置。

）
1．设命题p:∀x＞0，x＞lnx．则￢p为（)
A．∀x＞0，x≤lnx B．∀x＞0，x＜lnx
C．∃x0＞0，x0＞lnx0D．∃x0＞0,x0≤lnx0
【考点】命题的否定．
【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断．
【解答】解；∵命题是全称命题的否定，是特称命题,只否定结论．
∴￢p：x0≤lnx0
故选:D．
2．已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0。

5，两个路口连续遇到红灯的概率为0。

4，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下,第二个路口遇到红灯的概率为(）
A．0。

6 B．0。

7 C．0.8 D．0.9
【考点】条件概率与独立事件．
【分析】由题意可知P（A）=0.5，P（AB）=0。

4，利用条件概率公式可求得P（B丨A)的值．【解答】解：设第一个路口遇到红灯概率为A，第二个路口遇到红灯的事件为B，
则P（A)=0.5，P（AB）=0。

4，
则P（B丨A）==0.8,
故答案选：C．
3．“4＜k＜10”是“方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆”的（)
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据椭圆的定义以及集合的包含关系判断即可．
【解答】解:∵方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，
∴，解得：7＜k＜10，
故“4＜k＜10”是“方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆"的必要不充分条件，
故选：B．
4．袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于（)
A．B．C．D．
【考点】等可能事件的概率；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】首先由组合数公式，计算从袋中的6个球中任取2个的情况数目，再由分步计数原理计算取出的两球为一白一黑的情况数目，进而由等可能事件的概率公式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，袋中共有6个球，从中任取2个，有C62=15种不同的取法，
6个球中，有2个白球和3个黑球，则取出的两球为一白一黑的情况有2×3=6种；
则两球颜色为一白一黑的概率P==；
故选B．
5．在西非肆虐的“埃博拉病毒"的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁．为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小鼠进行试验，得到如表列联表：
感染未感染总计
服用10 40 50
未服用20 30 50
总计30 70 100
附表：
P（K2＞k）0。

10 0。

05 0.025
k 2.706 3.841 5.024
参考公式：K2=（n=a+b+c+d为样本容量）
参照附表,下列结论正确的是（）
A．在犯错误的概率不超5%过的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”B．在犯错误的概率不超5%过的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗无关”C．有97.5%的把握认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”
D．有97。

5％的把握认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗无关”
【考点】独立性检验的应用．
【分析】计算观测值，与题目中的观测值表进行比较，即可得出预测结论．
【解答】解：由题意算得，k2=≈4。

762＞3.841,
参照附表，可得：
在犯错误的概率不超过5％的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”．
故选：A．
6．已知f(n）=+++…+，则(）
A．当n=2时，f（2)=+；f（k+1)比f(k)多了1项
B．当n=2时，f(2）=++；f(k+1）比f（k）多了2k+1项
C．当n=2时，f（2)=+；f（k+1）比f（k)多了k项
D．当n=2时,f（2）=++；f（k+1）比f(k）多了2k项
【考点】归纳推理．
【分析】当n=2时，f（2）=++；f（k+1)﹣f（k）=+…+，由此可得结论．【解答】解:当n=2时，f（2)=++；f（k+1）﹣f（k）=+…+,
多了（k+1)2﹣k2﹣1=2k，
故选：D．
7．设a∈Z,且0＜a＜13，若532016+a能被13整除，则a=（）
A．0 B．1 C．11 D．12
【考点】整除的基本性质．
【分析】把532016=（52+1)2016按照二项式定理展开，再根据（52+1）2016+a能被13整除,求得a的值．
【解答】解：∵a∈Z,且0＜a＜13，∵532016+a=（52+1）2016+a
=•522016+•522015+…+•52+1+a 能被13整除,
∴最后2项的和能被13整除，即1+a能被13整除，故a=12，
故选：D．
8．设X～N（1，δ2），其正态分布密度曲线如图所示，且P（X≥3)=0。

0228，那么向正方形OABC中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（)
附：（随机变量ξ服从正态分布N（μ，δ2）,则P（μ﹣δ＜ξ＜μ+δ）=68。

26%，P（μ﹣2δ＜ξ
＜μ+2δ)=95.44%
A ．6038
B ．6587
C ．7028
D ．7539
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义． 【分析】求出P （0＜X ≤1)=1﹣×0.6826=1﹣0.3413=0。

6587，即可得出结论． 【解答】解：由题意P （0＜X ≤1）=1﹣×0.6826=1﹣0.3413=0.6587,
则落入阴影部分点的个数的估计值为10000×0.6587=6857，
故选：B ．
9．曲线y=和x 2+y 2=2及x 轴所围成的封闭图形的面积是（ )
A ．
B ．
C ．
D ．
【考点】定积分在求面积中的应用．
【分析】首先求出曲线的交点，S 阴影=S 扇形0AC ﹣S 三角形OBA +S 曲多边形OBA ，分别求出其面积,问题得以解决．
【解答】解：曲线y=和x 2+y 2=2及x 轴所围成的封闭图形的面积如图阴影部所示 由,解得x=1，y=1,即A （1，1），B （1，0），
因为S 曲多边形OBA =dx=｜=，
S 三角形OBA =×1×1=，
S 扇形0AC =π×2=,
∴S 阴影=S 扇形0AC ﹣S 三角形OBA +S 曲多边形OBA =
﹣+=+， 故选：C ．
10．用1、2、3、4、5、6组成一个无重复数字的六位数，要求三个奇数1、3、5有且只有两个相邻，则不同的排法种数为（）
A．18 B．108 C．216 D．432
【考点】排列、组合的实际应用．
【分析】根据题意，分三步进行：第一步，先将1、3、5成两组,第二步，将2、4、6排成一排，第三步:将两组奇数插三个偶数形成的四个空位，由排列组合公式，易得其情况数目，进而由分步计数原理，计算可得答案．
【解答】解:根据题意，分三步进行：第一步，先将1、3、5成两组，共C32A22种方法；
第二步，将2、4、6排成一排，共A33种方法；
第三步:将两组奇数插三个偶数形成的四个空位，共A42种方法．
综上共有C32A22A33A42=3×2×6×12=432；
故选D．
11．已知点F1、F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点,O为坐标原点，点
P在双曲线C的右支上，且满足｜F1F2｜=2｜OP｜，｜PF1｜≥3|PF2｜，则双曲线C的离心率的取值范围为（）
A．（1，+∞）B．［，+∞） C．（1，］D．(1,］
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】由直角三角形的判定定理可得△PF1F2为直角三角形，且PF1⊥PF2，运用双曲线的定义,可得|PF1|﹣｜PF2｜=2a,
又|PF1|≥3|PF2|,可得|PF2|≤a，再由勾股定理，即可得到c≤a，运用离心率公式，即
可得到所求范围．
【解答】解：由｜F1F2｜=2｜OP|，可得｜OP|=c，
即有△PF1F2为直角三角形，且PF1⊥PF2，
可得｜PF1｜2+｜PF2｜2=｜F1F2｜2，
由双曲线定义可得|PF1｜﹣|PF2｜=2a，
又|PF1|≥3|PF2|,可得｜PF2｜≤a，
即有（|PF2｜+2a）2+|PF2｜2=4c2，
化为(｜PF2｜+a）2=2c2﹣a2，
即有2c2﹣a2≤4a2,
可得c≤a，
由e=可得
1＜e≤,
故选：C．
12．定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f(x)＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（)
A．（0，+∞) B．(﹣∞，0）∪（3，+∞） C．(﹣∞，0）∪（0，+∞） D．(3，+∞） 【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算． 【分析】构造函数 g（x)=exf（x）﹣ex，（x∈R),研究 g（x）的单调性，结合原函数的性质和 函数值,即可求解 【解答】解:设 g(x)=exf（x）﹣ex，（x∈R）， 则 g′（x）=exf（x)+exf′（x）﹣ex=ex［f（x）+f′（x）﹣1］， ∵f（x）+f′（x）＞1， ∴f(x）+f′（x）﹣1＞0， ∴g′（x）＞0， ∴y=g（x）在定义域上单调递增, ∵exf（x)＞ex+3， ∴g（x）＞3， 又∵g（0）═e0f（0）﹣e0=4﹣1=3， ∴g（x）＞g（0）, ∴x＞0 故选：A．
二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分。

请把答案填在答题纸的相应位置
13．已知 Z 是纯虚数，
是实数,（i 是虚数单位)，那么 z= ﹣2i ．
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】设纯虚数 z=mi（m≠0），代入
并整理，由虚部等于 0 求得 m 的值，则答案可
求． 【解答】解:设 z=mi（m≠0），
则
=
．
∵
是实数，
∴2+m=0，m=﹣2． ∴z=﹣2i． 故答案为：﹣2i．
14．甲、乙、丙三人将独立参加某项体育达标活动，根据平时训练的经验，甲、乙、丙三人
能达标的概率分别为 、 、 ，则三人中有人达标但没有完全达标的概率为
．
【考点】相互独立事件的概率乘法公式． 【分析】相互独立事件同时发生的概率 1 减三人都达标与三人都未达标之和;
【解答】解：三人中由一人或两人达标，其概率为 1﹣
﹣
=，
故答案为： ．


15．数式 1+
中省略号“…”代表无限重复，但原式是一个固定值，可以用如下方法求得：
令原式=t,则 1+ =t，则 t2﹣t﹣1=0,取正值得 t=
，用类似方法可得
=
2． 【考点】类比推理． 【分析】通过已知得到求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根）,再运用该 方法，注意两边平方，得到方程,解出方程舍去负的即可． 【解答】解：由已知代数式的求值方法： 先换元，再列方程,解方程，求解(舍去负根）， 可得要求的式子．
令
=m(m＞0)，
则两边平方得，2
=m2，
即 2+m=m2，解得，m=2（﹣1 舍去）． 故答案为:2．
16．已知 f（x)=（2x﹣1）10=a10x10+a9x9+a8x8+…+a1x+a0，则 C a2+C a3+C a4+…+C a10=
180 ． 【考点】二项式系数的性质． 【分析】根据 f（x）的展开式，求出 a2、a3、a4、…、a10 的值，再计算
C a2+C a3+C a4+…+C a10 的值． 【解答】解:f(x）=（2x﹣1）10=（1﹣2x)10
=1﹣2 x+22 x2﹣…+（﹣1）r•2r• •xr+…+210•x10
=a10x10+a9x9+a8x8+…+a1x+a0， ∴C a2+C a3+C a4+…+C
a10= •22•
﹣ •23•
+ •24•
﹣…+ •210•
=180﹣2880+20160﹣80640+201600﹣322560+322560﹣184320+46080 =180．
三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．二手车经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数 x（0＜x≤10)与销售价格
y(单位:万元/辆）进行整理,得到如表的对应数据：
使用年数
2
4
6
8
10
售价
16
13
9.5
7
4.5


（1）试求 y 关于 x 的回归直线方程；（参考公式： =
， =y﹣ ）
(2）已知每辆该型号汽车的收购价格为 w=0。

01x3﹣0。

09x2﹣1。

45x+17.2 万元，根据(1)中所
求的回归方程，预测 x 为何值时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润 L（x）最大？（利
润=售价﹣收购价）
【考点】线性回归方程．
【分析】（1)由表中数据计算 b，a，即可写出回归直线方程；
（2）写出利润函数 L（x)=y﹣w，利用导数求出 x=6 时 L(x）取得最大值．
【解答】解:（1)由已知： ，
,…
，
，
，…
所求线性回归直线方程为
…
（2)L（x）=y﹣w=﹣1.45x+18.7﹣(0。

01x3﹣0。

09x2﹣1。

45x+17.2）=﹣0.01x3+0.09x2+1。

5 （0＜x≤10)… L′（x）=﹣0.03x2+0。

18x=﹣0。

03x（x﹣6)… x∈(0，6）时，L′（x）＞0，L（x）单调递增,x∈（6，10］时，L′（x)＜0,L（x）单调递减… 所以预测 x=6 时，销售一辆该型号汽车所获得的利润 L(x）最大．…
18．如图，四棱锥 P﹣ABCD 的底面是直角梯形,AB∥CD,AB⊥AD,△PAB 和△PAD 是两个边 长为 2 的正三角形，DC=4． （I）求证:平面 PBD⊥平面 ABCD； （II）求直线 CB 与平面 PDC 所成角的正弦值．
【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定． 【分析】（1)根据面面垂直的判定定理,只要证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线即 可，从图可看出,只要证 PO⊥平面 ABCD 即可．


(2）设平面 PDC 的法向量为
，直线 CB 与平面 PDC 所成角 θ,求出一个
法向量为，可得 和 夹角的余弦值，即为直线 CB 与平面 PDC 所成角的正弦值．
【解答】证明：(1）设 O 是 BD 的中点，连接 AO， ∵△PAB 和△PAD 是两个边长为 2 的正三角形，∴PB=PD=2， 又 BO=OD，∴PO⊥BD． ∵AB⊥AD,
∴在 Rt△ABD 中，由勾股定理可得，BD=
=2 ．
∴OB= ．
在 Rt△POB 中，由勾股定理可得,PO=
=，
在 Rt△ABD 中，AO= = ．
在△PAO 中，PO2+OA2=4=PA2，由勾股定理得逆定理得 PO⊥AO． 又∵BD∩AF=O， ∴PO⊥平面 ABCD． ∵PO⊂ 平面 PBD， ∴平面 PBD⊥平面 ABCD． （2）由（1）知 PO⊥平面 ABCD，又 AB⊥AD， ∴过 O 分别做 AD，AB 的平行线，以它们做 x,y 轴，以 OP 为 z 轴建立如图所示的空间直角 坐标系,如图所示: 由已知得:A（﹣1，﹣1，0），B(﹣1，1，0）,D（1,﹣1，0），C（1，3，0）,P（0，0， )
则
,
．
设平面 PDC 的法向量为
，直线 CB 与平面 PDC 所成角 θ，
则
，即
，
解得
，令 z1=1，
则平面 PDC 的一个法向量为
，又
，
则
，
∴直线 CB 与平面 PDC 所成角的正弦值为 ．


19．现有甲、乙两个投资项目，对甲项目投资十万元,据对市场 120 份样本数据统计，年利润
分布如表：
年利润
1。

2 万元
1。

0 万元
0.9 万元
频数
20
60
40
对乙项目投资十万元，年利润与产品质量抽查的合格次数有关,在每次抽查中，产品合格的概
率均为 ，在一年之内要进行 2 次独立的抽查，在这 2 次抽查中产品合格的次数与对应的利
润如表：
合格次数
2次
1次
0次
年利润
1。

3 万元
1.1 万元
0.6 万元
记随机变量 X，Y 分别表示对甲、乙两个项目各投资十万元的年利润，
（1）求 X＞Y 的概率；
（2）某商人打算对甲或乙项目投资十万元,判断那个项目更具有投资价值,并说明理由．
【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．
【分析】（1)X＞Y 的所有情况有 x=1.2，y=1.1,y=0。

6，由此能求出 X＞Y 的概率 P（X＞Y）．
（2）求出随机变量 X 的分布列和 EX 及随机变量 Y 的分布列 EY，由 EX＞EY，且 X＞Y 的
概率与 X＜Y 的概率相当，得到从长期投资来看，项目甲更具有投资价值．
【解答】解:（1）X＞Y 的所有情况有：
P(x=1.2，y=1.1)= ×
= |，
P(y=0.6）=
=，
∴X＞Y 的概率 P（X＞Y）=
= ．…
（2）随机变量 X 的分布列为：
X
1.2
1。

0
0.9
P
∴EX=
随机变量 Y 的分布列为：
Y
1.3
1。

1
P
=1 万元． 0。

6


∴EY=
=0.9 万元．…
∵EX＞EY,且 X＞Y 的概率与 X＜Y 的概率相当, ∴从长期投资来看，项目甲更具有投资价值．…
20．已知椭圆 C：
（a＞b＞0)的离心率为 ,过点 M(1,0）的直线 1 交椭圆 C 于 A，
B 两点，｜MA｜=λ|MB|，且当直线 l 垂直于 x 轴时，|AB｜= ． （1）求椭圆 C 的方程；
(2）若 λ∈［ ，2］，求弦长|AB｜的取值范围．
【考点】椭圆的简单性质． 【分析】(1）先由离心率得到 a，b 的关系,再由求出 b,再由直线 l 垂直于 x 轴时,｜AB｜= 求 得关于 a，b 的另一方程，联立求得 a，b 的值，则椭圆的标准方程可求; （2）设 AB 的方程 y=k（x﹣1），将直线的方程代入椭圆的方程,消去 x 得到关于 y 的一元二次 方程，再结合根系数的关系，利用向量坐标公式及函数的单调性即可求得直线 AB 的斜率的取 值范围，从而求得弦长|AB｜的取值范围．
【解答】解：（1）由题意可得，
，即
，
∴
，则 a2=2b2,①
把 x=1 代入
，得 y=
，
则
,②
联立①②得：a2=2，b2=1．
∴椭圆 C 的方程为
;
（2）如图,当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 方程为 y=k（x﹣1），
联立
，得（1+2k2）y2+2ky﹣k2=0．
设 A(x1，y1)，B（x2，y2), 则
，③
由|MA|=λ｜MB｜,得
，


∴（1﹣x1，﹣y1）=λ（x2﹣1，y2），则﹣y1=λy2，④
把④代入③消去 y2 得:
，
当 λ∈[ ，2］时，
解得:
．
|AB｜=
∈[0， ]． =
=
=
．
∴弦长|AB|的取值范围为
．
21．已知函数 f（x）=
•e﹣ax（a＞0）．
（1）当 a=2 时，求曲线 y=f（x）在 x= 处的切线方程；
（2）讨论方程 f（x）﹣1=0 根的个数． 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（1)当 a=2 时,求函数的导数，利用导数的几何意义进行求解即可． （2）由 f(x）﹣1=0 得 f（x）=1,求函数的导数 f′（x)，判断函数的单调性，利用函数单调性和 最值之间的关系进行判断即可．
【解答】解：（Ⅰ）当 a=2 时,f（x）=
•e﹣2x．f（ ）=3e﹣1,
又 f′（x）=
•e﹣2x，∴f′（ ）=2e﹣1,
故所求切线方程为 y﹣3e﹣1=2e﹣1（x﹣ ），即 y= x+ ． (Ⅱ）方程 f(x）﹣1=0 即 f(x）=1．


f(x）的定义域为（﹣∞，1）∪（1，+∞）， 当 x＜﹣1 或 x＞1 时，易知 f(x）＜0，故方程 f（x）=1 无解； 故只需考虑﹣1≤x≤1 的情况，
f′（x）=
•e﹣2x，
当＜a≤2 时，f′(x）≥0，所以 f（x)区间[﹣1,1）上是增函数，又易知 f（0）=1， 所以方程 f（x）=1 只有一个根 0；
当 a＞2 时，由 f′（x）=0 可得 x=±
，且 0＜
＜1，
由 f′（x）＞0 可得﹣1≤x＜﹣
或
＜x＜1，
由 f′（x)＜0 可得﹣
＜x＜
，
所以 f（x）单调增区间为［﹣1，﹣
）和(
，1)上是增函数，
f（x）单调减区间为(﹣
，
）,
由上可知 f(
）＜f（0）＜f（﹣
）,即 f（
)＜1＜f（﹣
)，
在区间(﹣
,
)上 f（x）单调递减，且 f（0）=1，
所以方程 f(x）=1 有唯一的根 x=0;
在 区间[﹣1，﹣
)上 f（x）单调递增，且 f（﹣1）=0＜1，f（﹣
所以方程 f(x）=1 存在唯一的根 0
在区间(
，1）上,由 f（
）＜1,x→1 时，f（x）→+∞，
所以方程 f（x）=1 有唯一的根； 综上所述:当 0＜a≤2 时，方程 f（x）=1 有 1 个根; 当 a＞2 时，方程 f（x）=1 有 3 个根．
）＞1,
请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做，则按所做的第一题记分．［选修 4—1： 几何证明选讲]
22．如图所示,AC 为⊙O 的直径，D 为 的中点，E 为 BC 的中点．
（Ⅰ）求证：DE∥AB； (Ⅱ）求证:AC•BC=2AD•CD．
【考点】与圆有关的比例线段．


【分析】（I）欲证 DE∥AB,连接 BD，因为 D 为 的中点及 E 为 BC 的中点，可得 DE⊥BC,
因为 AC 为圆的直径，所以∠ABC=90°,最后根据垂直于同一条直线的两直线平行即可证得结 论;
（II）欲证 AC•BC=2AD•CD,转化为 AD•CD=AC•CE，再转化成比例式 = ．最后只须证 明△DAC∽△ECD 即可．
【解答】证明:（Ⅰ)连接 BD，因为 D 为 的中点,所以 BD=DC． 因为 E 为 BC 的中点,所以 DE⊥BC． 因为 AC 为圆的直径，所以∠ABC=90°, 所以 AB∥DE．… （Ⅱ）因为 D 为 的中点，所以∠BAD=∠DAC, 又∠BAD=∠DCB，则∠DAC=∠DCB． 又因为 AD⊥DC，DE⊥CE，所以△DAC∽△ECD．
所以 = ，AD•CD=AC•CE，2AD•CD=AC•2CE， 因此 2AD•CD=AC•BC．…
[选修 4—4：坐标系与参数方程]
23．已知直线
(t 为参数）经过椭圆
（φ 为参数）的左焦
点 F． （Ⅰ)求 m 的值； （Ⅱ）设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点，求|FA｜•|FB｜的最大值和最小值． 【考点】椭圆的参数方程；直线的参数方程． 【分析】（Ⅰ）首先可以分析到题目中的直线方程是参数方程的形式，需要化简为一般方程, 第 I 问即可求得． （Ⅱ）直线与曲线交与交于 A，B 两点，可以把直线与曲线联立方程，用根与系数关系即可得 到求解．
【解答】解：（Ⅰ）将椭圆 C 的参数方程化为普通方程，得 + =1．
a=2,b= ，c=1,则点 F 坐标为(﹣1，0）． l 是经过点(m，0）的直线，故 m=﹣1．… (Ⅱ)将 l 的参数方程代入椭圆 C 的普通方程，并整理，得 （3cos2α+4sin2α）t2﹣6tcosα﹣9=0．


设点 A，B 在直线参数方程中对应的参数分别为 t1，t2，则
｜FA|•｜FB|=|t1t2｜=
=
．
当 sinα=0 时,｜FA｜•｜FB｜取最大值 3； 当 sinα=±1 时，|FA｜•|FB｜取最小值 ．…
［选修 4—5：不等式选讲］ 24．已知 f(x)=｜ax﹣4｜﹣｜ax+8｜，a∈R （Ⅰ）当 a=2 时，解不等式 f（x）＜2； （Ⅱ）若 f（x）≤k 恒成立，求 k 的取值范围． 【考点】带绝对值的函数． 【分析】（I）当 a=2 时,f(x）=2（|x﹣2|﹣｜x+4|）,再对 x 的值进行分类讨论转化成一次不等 式，由此求得不等式的解集． (II）f（x）≤k 恒成立，等价于 k≥f（x）max,由此求得实数 k 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ)当 a=2 时，
f（x）=2（|x﹣2|﹣｜x+4|）=
当 x＜﹣4 时，不等式不成立；
当﹣4≤x≤2 时,由﹣4x﹣4＜2，得﹣ ＜x≤2；
当 x＞2 时,不等式必成立．
综上，不等式 f（x）＜2 的解集为{x|x＞﹣ ｝．…
（Ⅱ）因为 f（x）=|ax﹣4｜﹣｜ax+8|≤|（ax﹣4）﹣（ax+8）｜=12， 当且仅当 ax≤﹣8 时取等号． 所以 f(x）的最大值为 12． 故 k 的取值范围是［12，+∞)．…


2016年9月1日。