(山西专用)2019中考数学一轮复习 第四单元 三角形满分集训优选习题

第四单元满分集训
时间:45分钟分值:100分
一、选择题(每小题3分,共18分)
1.下列图形中,∠1与∠2是对顶角的是( )
2.如图,在△ABC中,AB=AC,过点A作AD∥BC.若∠1=70°,则∠BAC的大小为( )
A.30°
B.40°
C.50°
D.70°
3.如图,在△ABC中,边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点G、D,若△AGC的周长为
31 cm,AB=20 cm,则△ABC的周长=( )
A.31 cm
B.41 cm
C.51 cm
D.61 cm
4.如图,在网格中,小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,则∠ABC的正切值是( )
A.2
B.
C.
D.
5.平面上有△ACD与△BCE,其中AD与BE相交于P点,如图.若AC=BC,AD=BE,CD=CE,∠ACE=55°,∠BCD=155°,则∠BPD的度数是( )
A.110°
B.125°
C.130°
D.155°
6.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,分别以点A,B为圆心,大于AB的长为半径作弧,两弧交于点M,N,作直线MN分别交AB,AC于点D,E,连接CD,BE,下列结论错误的是( )
A.AD=CD
B.BE>CD
C.∠BEC=∠BDC
D.BE平分∠CBD
二、填空题(每小题3分,共12分)
7.如图,点P在△ABC的边AC上,请你添加一个条件,使得△ABP∽△ACB,这个条件可以是.
8.如图,OP平分∠AOB,∠AOP=15°,PC∥OB,PD⊥OB于点D,若PD=4,则PC等于.
9.将三个同样大小的正方形的一个顶点重合放置,如图,那么∠1=.
10.如图,在边长为2的菱形ABCD中,∠A=60°,点M是AD边的中点,连接MC,将菱形ABCD翻折,使点A落在线段CM上的点E处,折痕交AB于点N,则线段EC的长为.
三、解答题(共70分)
11.(6分)如图,AB∥CD,E、F分别为AB、CD上的点,且EC∥BF,连接AD,分别与EC、BF相交于点G、H,若AB=CD,求证:AG=DH.
12.(8分)保护视力要求人写字时眼睛和笔端的距离应超过30 cm,图1是一位同学的坐姿,把他的眼睛B,肘关节C和笔端A的位置关系抽象成图2的△ABC,已知BC=30 cm,AC=
22 c m,∠ACB=53°,他的这种坐姿符合保护视力的要求吗?请说明理由.(参考数据:sin 53°≈0.8,
cos 53°≈0.6,tan 53°≈1.3)
13.(16分)已知,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,点D为BC的中点.
(1)如图1,若点E、F分别为AB、AC上的点,且DE⊥DF,求证:BE=AF;
(2)如果点E、F分别为AB、CA延长线上的点,且DE⊥DF,那么BE=AF吗?请利用图2说明理由.
14.(16分)如图,△ABC为锐角三角形,AD是BC边上的高,正方形EFGH的一边FG在BC上,顶点E、H分别在AB、AC上,已知BC=40 cm,AD=30 cm.
(1)求证:△AEH∽△ABC;
(2)求这个正方形的边长与面积.
15.(24分)如图1,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,AD=AE,连接DC,点M,P,N分别为DE,DC,BC的中点.
(1)观察猜想
图1中,线段PM与PN的数量关系是,位置关系是;
(2)探究证明
把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置,连接MN,BD,CE,判断△PMN的形状,并说明理由;
(3)拓展延伸
把△ADE绕点A在平面内自由旋转,若AD=4,AB=10,请直接写出△PMN面积的最大值.
答案精解精析
一、选择题
1.C
2.B
3.C
4.D
5.C
6.D
二、填空题
7.∠ABP=∠C(答案不唯一)
8.8
9.15°
10.-1
三、解答题
11.证明∵AB∥CD,EC∥BF,
∴四边形BFCE是平行四边形,
∠A=∠D,
∴∠BEC=∠BFC,BE=CF,
∴∠AEG=∠DFH,
∵AB=CD,
∴AE=DF,
∴△AEG≌△DFH,
∴AG=DH.
12.解析他的这种坐姿不符合保护视力的要求.理由:如图,过点B作BD⊥AC于D,在Rt△BDC中,sin 53°==≈0.8,解得BD=24 cm,
cos 53°=≈0.6,解得DC=18 cm,
∴AD=22-18=4 cm,
在Rt△ADB中,AB===<,
∴他的这种坐姿不符合保护视力的要求.
13.解析(1)证明:连接AD,如图a,∵∠BAC=90°,AB=AC,∴△ABC为等腰直角三角形,∠EBD=45°.
∵点D为BC的中点,
∴AD=BC=BD,∠FAD=45°.
∵∠BDE+∠EDA=90°,
∠EDA+∠ADF=90°,
∴∠BDE=∠ADF,
在△BDE和△ADF中,
∴△BDE≌△ADF,∴BE=AF.
(2)BE=AF.理由:连接AD,如图b,
∵∠ABD=∠CAD=45°,
∴∠EBD=∠FAD=135°.
∵∠EDB+∠BDF=90°,
∠BDF+∠FDA=90°,
∴∠EDB=∠FDA,
在△EDB与△FDA中,
∵
∴△EDB≌△FDA,
∴BE=AF.
14.解析(1)证明:∵四边形EFGH是正方形,∴EH∥BC,
∴∠AEH=∠B,∠AHE=∠C,
∴△AEH∽△ABC.
(2)设AD与EH交于点M.
∵∠EFD=∠FEM=∠FDM=90°,
∴四边形EFDM是矩形,
∴EF=DM,
设正方形EFGH的边长为x(x>0)cm,
由(1)知△AEH∽△ABC,
∴=,
∴=,
∴x=,
∴正方形EFGH的边长为 cm,面积为 cm2.
15.解析(1)∵点P,N分别是CD,BC的中点,∴PN∥BD,PN=BD, ∵点P,M分别是CD,DE的中点,
∴PM∥CE,PM=CE,
∵AB=AC,AD=AE,
∴BD=CE,∴PM=PN,
∵PN∥BD,∴∠DPN=∠ADC,
∵PM∥CE,
∴∠DPM=∠DCA,
∵∠BAC=90°,
∴∠ADC+∠ACD=90°,
∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°,
∴PM⊥PN.
故答案为PM=PN;PM⊥PN.
(2)△PMN是等腰直角三角形.理由:由旋转知,∠BAD=∠CAE,
∵AB=AC,AD=AE,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴∠ABD=∠ACE,BD=CE,同(1)的方法,利用三角形的中位线得,PN=BD,PM=CE,
∴PM=PN,∴△PMN是等腰三角形,同(1)的方法得,PM∥CE,
∴∠DPM=∠DCE,
同(1)的方法得,PN∥BD,
∴∠PNC=∠DBC,∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC,
∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD +∠DBC=∠ACB+∠ABC,
∵∠BAC=90°,
∴∠ACB+∠ABC=90°,
∴∠MPN=90°,
∴△PMN是等腰直角三角形.
(3)如图,同(2)的方法得,△PMN是等腰直角三角形,
∴当MN最大时,△PMN的面积最大,
∴DE∥BC且DE在顶点A的上方,
∴MN的最大值为AM+AN,
连接AM,AN,在△ADE中,AD=AE=4,∠DAE=90°,∴AM=2,
在Rt△ABC中,AB=AC=10,AN=5,∴MN max=2+5=7,
∴(S△PMN)max=PM2=×MN2=×(7)2=.。