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行列式的的解法技巧
目录
1行列式的基本理论 (3)
1.1行列式定义 (3)
1.2行列式的性质 (3)
1.3基本理论 (4)
1.4几种特殊行列式的结果 (4)
2行列式的计算技 (5)
2.1定义法 (5)
2.2化成三角形行列式法 (5)
2.3两条线型行列式的计算 (6)
2.4箭型行列式的计算 (7)
2.5三对角行列式的计算 (7)
2.6利用范德蒙行列式 (8)
2.7H ESSENBERG 型行列式的计算 (9)
2.8降阶法 (9)
2.9加边法（升阶法） (10)
2.10计算行（列）和相等的行列式 (10)
2.11相邻行（列）元素差1的行列式计算 (11)
2.12线性因子法 (12)
2.13辅助行列式法 (13)
2.14n阶循环行列式算法 (14)
2.15有关矩阵的行列式计算 (14)
2.16用构造法解行列式 (15)
2.17利用拉普拉斯展开 (15)
3 用多种方法解题 (16)
参考文献： (18)
【内容摘要】行列式是高等代数课程里基本而重要的内容之一，在数
学中有着广泛的应用，懂得如何计算行列式显得尤为重要。

本文先阐述
行列式的基本理论，然后介绍各种具体的方法，最后由行列式与其它知
识的联系介绍其它几种方法。

通过这一系列的方法进一步提高我们对行
列式的认识，对我们以后的学习带来十分有益的帮助。

【关键词】行列式；矩阵；范德蒙行列式；递推法
Abstract: Determinant is an basic and important subject in advanced algebra ,it is very useful in mathematic.
It is very important to know how to calculate determinant. The paper first introduced the basic nature of determinant,then introduced some methods, Finally,with the other determinant of knowledge on the links in several other ways.,through this series of methods will futher enhance our understanding of the determinant,on our learning will bring very useful help.
Keywords: Determinant；matrix；Vandermonde Determinant；
recurrence method
引言
行列式在高等代数课程中的重要性以及在考研中的重要地位使我们有必要对行列式进行较深入的认识，本文对行列式的解题技巧进行总结归纳。

作为行列式本身而言，我们除了利用行列式的性质化三角行列式
和按行或列展开公式使行列式降阶这些常用的手法外，要根据行列式不同的特点采用特殊的方法，如递推法，数学归纳法，加边法（ 升阶法），以及利用范德蒙行列式的结论等等。

1行列式的基本理论
1.1行列式定义
定义 行列式与矩阵不同，行列式是一个值，它是所有不同行不同列的数的积的和，那些数的乘积符号由他们的逆序数之和有关，逆序数之和为偶数符号为正，逆序数之和为奇数符号为负。

这一定义可以写成
()
()
1212121112
12122212121n n
n
n j j j n
j j nj j j j n n nn
a a a a a a a a a a a a τ=-∑
L L K
L L M M M L
,这里
12n
j j j ∑
L 表示对所有n 级排列求和.
1.2行列式的性质
1、行列式的行列互换，行列式不变；
2、互换行列式中的两行或者两列，行列式反号；
3、行列式中某行乘以一个数等于行列式乘以这个数；
4、行列式的某两行或者某两列成比例，行列式为零；
5、行列式的某一列或者某一行可以看成两列或两行的和
时，行列式可拆另两个行列式的和。

nn
n n n n nn
n n n n n nn
n n n n n
a a a c c c a a a a a a
b b b a a a a a a
c b c b c b a a a Λ
M ΛM M M
M M Λ
ΛM ΛM
M M M M Λ
Λ
M M M ΛM M
M Λ21
2111211212111221221111211+=+++ 6、把一行的倍数加到另一行，行列式不变。

7、行列式有两行（列）相同，则行列式为零。

1.3 基本理论
1．⎩⎨⎧=≠=+++j
i j
i D A a A a A a jn in j i j i ,0,2211Λ其中ij A 为元素ij a 代数余子式。

2．降阶定理B CA D A D
C
B A 1--=
3．
C A C
O B A =
4．B A AB =
5．非零矩阵k 左乘行列式的某一行加到另一行上，则新的分块行列式与原来相等。

1.4几种特殊行列式的结果
1． 三角行列式
nn nn n
n
a a a a a a a a a ΛΛM M M ΛΛ
2211222112
11
000=(上三角行列式) nn nn
n n a a a a a a a a a ΛΛ
M M M ΛΛ
221121222111
=(下三角行列式) 2． 对角行列式
3．对称与反对称行列式
nn
n n n
n
a a a a a a a a a D Λ
M M M ΛΛ
21
22221112
11
=
满足)2,1,2,1(n j n i a a ji ij ΛΛ===，D 称为对称行列式
003
2133231223
2111312Λ
M M M M ΛΛΛn n n n n
n a a a a a a a a a a a a D =满足)2,1,(n j i a a ji ij Λ=-=，D 称为反对称行列式。

若阶数n 为奇数时，则D=0
4．)(11111113
12
1
12
23222
1321
j n
i j i n n
n n n n
n n a a a a a a a a a a a a a a D -==∏≤≤≤----Λ
M M M M ΛΛΛ 2行列式的计算技巧
2.1定义法
例1：计算行列式0
00000053
52
43423534333231
2524232221
1312a a a a a a a a a a a a a a a a D = 解：由行列式定义知∑-=
n
n n j j nj j j j j j a a a D ΛΛΛ1212121)
,,,()1(τ
，
且0151411=a a a ， 所以D 的非零项j ，只能取2或3，同理由0551*******=====a a a a a ，因而54j j 只能取2或3，又因51j j Λ要求各不相同，故521j j j a a a Λ项中至少有一个必须取零，所以D=0。

2.2化成三角形行列式法
将行列式化为上三角形行列式计算步骤，如果第一行第一个元素为零，首先将第一行(或第一列)与其它任一行(或列)交换，使第一行第一个元素不为零，然后把第一行分别乘以适当数加到其它各行，使第一列除第一个元素外其余元素全为零，再用同样的方法处理除去第一行加第一列余下的低阶行列式依次做下去，直至是它成为上三角形行列式，这时主对角线上元素的乘积就是行列式的值。

例2 计算行列式a
b b b b a b b b b a b b b b a D n Λ
M M M M Λ
ΛΛ
= 解：各行加到第一行中去 例3 计算行列式
解：从倒数第二行(-1)倍加到第n 行
2.3两条线型行列式的计算
除了较简单的行列式（如上、下三角行列式等）可以用定义直接计算，少数几类行列式可利用行列式性质直接计算外，一般行列式计算的主要方法是利用行列式的性质做恒等变形化简，使行列式中出现较多的零元素，然后直接用特殊的行列式的值来计算（如上（下）三角行列式等）或利用按行（列）展开定理降低行列式的阶数。

例4 n
n
n n a b b a a b a D n 00
00000
0011211
Λ
ΛM M
M M
ΛΛ--=阶行列式　计算.
解： 按第1列展开得
2.4箭型行列式的计算
对于形如
O M
O
M O M ΛΛΛ
Λ
M N M N
M N
ΛΛΛK
O Λ
ΛΛ
M O M O
M O ΛΛ
Λ
Λ
N M N
M N
M 的所谓箭型（或爪形）行列式，可以直接利用行列式性质化为三角或次三角形行列式来计算，即利用对角元素或次对角元素将一条边消为零。

例5 计算行列式 1
0010101
200
111
1
Λ
ΛM M M
M
ΛΛ
n n D n -=. 解
：
())1
211(!10
0000100200121111
1
121
2)1(1
1
n
n n n n c n
c c c n n n n n n
D ----=--
---=--ΛΛ
ΛM M M M Λ
ΛΛ
ΛM M Λ 2.5三对角行列式的计算
对于形如
O
O
O O O
O O O
O O
的所谓三对角行列式，可直接展开得到两
项递推关系21--+=n n n D D D βα，然后采用如下的一些方法求解。

方法1 如果n 比较小，则直接递推计算
方法2 用第二数学归纳法证明：即验证n=1时结论成立，设k n ≤ 时结论也成立，若证明n=k+1时结论也成立，则对任意自然数相应的结论成立
方法 3 将21--+=n n n D D D βα变形为)(211----=-n n n n pD D q pD D ，其中α=+q p ,β=-pq 由韦达定理知p 和q 是一元二次方程
02=--βαx x 的两个根。

确定p 和q 后，令()1--=n n pD D x f ，则利用
()()1-=n qf n f 递推求出()n f ，再由()n f pD D n n +=-1递推求出n D 。

方法4 设n n x D =，代入021=----n n n D D D βα得0=--βαx x n （称之为特征方程），求出其根1x 和2x （假设21x x ≠），则n n n x k x k D 2211+=，这里1k ，2k 可通过n=1和n=2来确定。

例6 计算行列式 β
ααββ
αβααββ
ααβ
β
α+++++=
10
0000
010001
000Λ
ΛM
M
M M M Λ
ΛΛn D . 解：将行列式按第展开，有n
得 n n n n n n D D D D D D βαβαβα=-==-=-----)()(1223221Λ 同理，得 n n n D D αβ=--1,
所以 ⎪⎩
⎪⎨⎧≠--=+=++.,;,)1(11
βαβ
αβαβααn n n n n D
2.6利用范德蒙行列式
范德蒙行列式具有逐行元素递增的特点。

因此遇到具有逐行（或
列）元素方幂递增或递减的所谓范德蒙型的行列式时，可以考虑将其转化为范德蒙行列式并利用相应的结果求值
例7 计算行列式 21-n 22
1-n 221
1-n 12
2
2
21
2121111
111---+++++++++=n n
n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x D Λ
M M M ΛΛΛ. 解：把第1行的－1倍加到第2行，把新的第2行的－1倍加到第3行，以此推直到把新的第1-n 行的-1倍加到第n 行，便得范德蒙行列式
2.7 Hessenberg 型行列式的计算
对于形如
O O
O O
O O
Λ
Λ
ΛΛ
，
O Λ
Λ
Λ
O O O O O O
N N
N
N N N ΛΛΛ
Λ
ΛΛ
Λ
Λ
N N N
N N
N 的所谓Hessenberg 型行列式，可直接展开得到递推公式，也可利用行列式的性质化简并降阶。

例8 计算行列式 )
1(1
)
2(222
1
11
321
---------=
n n n n n
n D n O
O
Λ
解： 将第1，2··n-1 列加到第n 列，得 2.8降阶法
将行列式的展开定理与行列式性质结合使用，即先利用性质将行列式的某一行(或某一列)化成仅含一个非零元素，然后按此行(列)展
开，化成低一阶的行列式，如此继续下去，直到化为三阶或二阶行列式直接计算出结果。

左边
例9 计算行列式
00
21
21
212
1Λ
M M
M Λ
Λa a a a a a a a a a a a D n n n
n
n ++++++=
，其中2≥n ，01
≠∏=i i a 解：
2.9加边法（升阶法）
行列式计算的一般方法是降阶，但对于某些特殊的n 阶行列式，如除对角元（或次对角元）外，其余元素相同或成比例的行列式，有时加上一行一列变成n+1阶的行列式，特别是第1列为()T
0,...0,1并
适当选择第1行的元素，就可以使消零化简单方便，且化简后常变成箭型行列式，这一方法称为升阶法或加边法
例10 计算n 阶行列式n
n n
n n a x a a a a a x a a a a a x a a a a a x D ++++=Λ
M M M M ΛΛΛ3
21
3
21
321
321. 解：0
011
1n
n
n D a a D M Λ=
+x
x
x a a a n i r r n i Λ
M M M M Λ
ΛΛΛ00100
1
001
1
)1,,2(211---+=- 2.10计算行（列）和相等的行列式
对于各行（或各列）之和相等的行列式，将其各列（或各行）加到第1列（或行）或第n 列（或行），然后再化简。

例11 计算n 阶行列式1
110110*********ΛΛM M M
M Λ
Λ
=n D 解： 1
110110*********)12,1(-----=+n n n n n i c c i n n D Λ
ΛM M M
M Λ
Λ
Λ 以下不作要求
2.11 相邻行（列）元素差1的行列式计算
以数字1，2，··n 为（大部分）元素，且相邻两行（列）元素
差1的n 阶行列式可以如下计算：自第1行（列）开始，前行（列）减去后行（列）；或自第n 行（列）开始，后行（列）减去前行（列），即可出现大量元素为1或—1的行列式，再进一步化简即出现大量的零元素。

对于相邻行（列）元素相差倍数k 的行列式，采用前行（列）减去后行（列）的—k 倍，或后行（列）减去前行（列）的—k 倍的步骤，即可使行列式中出现大量的零元素。

例12 计算n 阶行列式1
11111
32
4323
412
231
122----------=
n n n n n n n n n n n a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a D Λ
ΛM M M M M
ΛΛΛ 解
11
3
2
1)1(1
010000
01000
00
10000
01)
12,1(--+-=-----=-n n n n n n
n i i
n a a a a a
a a a a n i ar r D
Λ
ΛM M M M M ΛΛ
ΛΛ 2.12线性因子法
例13 计算行列式(1)
000
x
y
z
x z y y z x z y x (2)z
z x x
-+-+11
1
1
111111111111
解：(1)由各列加上第一列可见，行列式D 可被z y x ++整除。

由第二列加到第一列，并减去第三、四列可见，D 可被x z y -+整除，由第三列加于第一列，并减去第二、四列可见，D 被z y x +-整除。

最后由第四列加于第一列，并减去第二、三列可见，D 可被z y x -+整除。

我们把z y x ,,视为独立未知量，于是上述四个线性因子式是两两互素的，因此，D 可被它们的乘积))()()((z y x z y x x z y z y x -++--+++整除。

此乘积中含有一项：4z -，而D 中含有一项：442
4
)1(z z c =- 所以))()()((z y x z y x x z y z y x D -++--+++-= (2)将行列式D 的前两行和两列分别对换，得
如果以x -代替x ，又得原来形式的行列式。

因此，如果D 含有因
式x ，必含有因式x -，由于当0=x 时，D 有两列相同，故D 确有因式
x ，从而D 含有因式2x 。

同理D 又含有因式2z ，而D 的展开式中有一
项：22z x ，从而22z x D =
例14 计算行列式：x
n x Dn ---=)1(1
1111111Λ
M ΛM M Λ
解：由n 阶行列式定义知，n D 的展开式是关于x 的首项系数为
1)1(--n 的)1(-n 次多项式),(x D n 当)22,1,0(-==n k k x Λ时，,0)(=k D n 因此)(x D n 有1-n 个互异根0，1、2…2-n 由因式定理得∏-=-2
0)(|)(n k n x D k x
故 )(0
2
)1(1k x k n D n n -=--=∏-
2.13辅助行列式法
例15 计算行列式 )
()()()(1111n n n n n a f a f a f a f D Λ
M Λ
M
= 其中),1)((n i x f i Λα=为次数≤2-n 的数域F 上多项式n a a Λ1为F 中任意n 个数。

解：若n a a Λ1中有两个数相等，则0=n D
若n a a Λ1互异，则每个n 阶行列式
)
()()()
()()()(21211n n n n n a f a f x f a f f x f x G Λ
M ΛM
M α= 是)()(),(21x f x f x f n Λ的线性组合，据题)(x f i 的次数≤)1(2n i n Λ=-因而)(x G 的次数≤,2-n 但,0)()(2===n a G a G Λ
这说明)(x G 至少有)1(-n 个不同的根，故,0)(=x G 所以0)(1=a G 即
0)(=x D n
2.14 n 阶循环行列式算法
例16 计算行列式a
c c c b a c c b
b a
c b
b b a D n Λ
M M M M Λ
Λ
Λ
=其中c b abc ≠≠.0 解：设)()(12-++++=n x x x b a x f Λ且令0=-b
c x n 的n 个根为
),1(n i x i Λ=则∏==n
i i n x f D 1)(
由]1
1[)1()(--+--
+=--+=x x
b c
x b c x b a x x x b a x f n n
有 利用关系式∑∑∑====-01,21n i i i j i i x x x x x x ΛΛ
得∏∏∏
===--+-=
--+-=n
i i
n
i i
i i n
i n x
a c x
b a x a
c x b a D 1
1
1
)
1()]
()[(1
)
()(
例17 设),,2,1,(),(n j i x f ij Λ=都是x 的可微函数
证明：
∑
==n
i nn n in i n nn n n n n x f x f x f dx
d
x f dx
d
x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f dx d 111111212222111211)
()
()()()()
()
()()()()()()()()(Λ
M M ΛM M
Λ
Λ
M Λ
M M
Λ 证明：
2.15有关矩阵的行列式计算
例18 设A 与B 为同阶方阵： 证明：
B A B A A
B
B A -⋅+=
证明：
B A B A B
A B
B A A
B
A B B A A
B
B A -+=-+=
++=
例19设A 为n 阶可逆方阵，α、β为两个n 维列向量，则
A a A A )1(1-'+='+ββα
证明：
)1(10111
)
1)(1(αβα
βα
βα
--++'+='+=
'-A A A A
A n n 例20 若n 阶方阵A 与
B 且第j 列不同。

证明：B A B A n +=+-12
证明：*2*22211n
n b a b a b a B A +++=+Λ *2*
2*2*
22121bn
b b an
a a M M +=
2.16用构造法解行列式
例21 设b a x a x a x a x f ≠---=),)()(()(321
证明：b
a a bf
b f a a b
b
a a
b a a a D --⋅==)
()(3
2
1
证明：构造出多项式： 2.17利用拉普拉斯展开
例22 证明：n 级行列式x
a a a a a x x x D n n n +---=--122
11000001
00001Λ
ΛM M M
M M ΛΛ 证明：利用拉普拉斯展开定理，按第n 行展开有：
n
n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x x a x a x a x a a x x a x a x a a x
x x x x a x x x a x x a x x a D ++++++=+-+--++--+--=---+-+----++----+-----=------+--+--+-+-+-+-++112222111)1(22)2(212111)1(2)2(121)()1()1()1()1()1()1()1(00
10000
10000
1
)()1(1
000
000000
100001
)1(100
01000000100000)1(1000
01000000100001)1(ΛΛΛ
ΛM M M M M ΛΛ
Λ
ΛM M M M
M Λ
ΛΛΛΛM M M
M M ΛΛΛ
ΛM M M M M
Λ
Λ 以上等式右端的1-n 级行列式均为“三角形行列式”。

计算行列式的方法很多，也比较灵活，上面介绍了计算行列式的几种方法，计算行列式时，我们应当针对具体问题，把握行列式的特点，灵活选用方法。

3 用多种方法解题
下面我们运用上面的介绍的各种方法，选用多种方法解题。

例23 计算：x
a a a a x a a a a x a a a a x D n Λ
M M M M Λ
Λ
Λ
= 法1：将第2,3,…，n 行都加到第1行上去，得 再将第一行通乘a -，然后分别加到第2,3,…,n 行上，得 法2：将2,3,…,n 行分别减去第1行得 再将第2,3,…,n 列都加到第1列上去，
便有1)]()1([0
000000)1(---+=----+=
n n a x a n x a
x a x a x a a a a n x D Λ
M M M M ΛΛΛ
法3：将n D 添加一行及一列，构成)1(+n 阶行列式 再将第2,3,…,n +1行分别减去第1行，于是有
令a
x a x a
x a a
a
D n ------=Λ
M M M M ΛΛΛ
1
00
10011
在a x =时，显然0=n D ，在a x ≠时，
则
1
)]()1([1
01000
0101)
(1001
0101
0011
1
)(---+=----+
-=-------=n n
n
n a x a n x a x a a x a a x a a x na a x a x a a x a a x a a x D Λ
M M M M ΛΛΛΛM M M M ΛΛΛ
法4：令
将右式中第二个行列式的第2,3,…,n 列全加到第1列上去，再利用Laplace 展开，所以得11)]()1([)()(----+=-+-=n n n n a x a n x a x na a x D
例24 求证∑=+-=n i i i n n
n b a b b b a a a 1
1
21
21)1(1
010
001
0Λ
M M M M ΛΛΛ
证：若记),,,(21n a a a A Λ=，),,(21n b b b B Λ=时，上述等式可简记为 证法一：把第2行乘以)(1a -，第3行乘以)(2a -，…，第1+n 行乘以)(n a -，全部加到第一行，再对第1行利用拉普拉斯定理展开，注意各项的符号应为1111)1()1(++++-=-n n ，得证。

证法二：对n 用归纳法
当1=n 时，
11111
1)1(0
0b a b a +-=，命题成立。

假设对于n 时命题成立，那么，当左下角单位矩阵为1+n 阶(即n z )时，对最后一行展开，
211
1
1211
2121
2
21
0010
1)
1(01
000001)1(0D D b b a a a a a a a b B z A n n n n n n n n
+=⋅
⋅-+-=--+-+Λ
M M M
M ΛΛΛ
M M M
M ΛΛ
其中n n n n n n n b a b a D 11221)1()1(++++-=-=， 而按归纳法假设
∑∑-=+-=+-+-=-⋅-=1
1
1
1
1
1
11
22)
1()
1()
1(n j j
j n n j j
j n n b
a b
a D 证毕。

证法三：利用分块矩阵的乘法
两边取行列式，得
AB z A AB z AB A B z A
n n
n n
n
11
)1(0)1(010++-=-=-=⋅ 在演算一个问题时，需要仔细分析已给的条件，灵活运用已经知道的性质和已经掌握的技巧，不要死套公式，这样就能很快求出答案。

参考文献：
［1］北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编.高等代数.北京:高等教育出
版社。

［2］刘学生,谭欣,王丽燕主编，高等数学学习指导与解题训练.大连:大连理工大学出版社。

[3] 徐帅，陆全，张凯院，吕全义，安晓虹主编.高等代数考研教案.西安:西北工业大学出版社。

［4］杨尚验,材家寿.高等代数重要习题详解，安徽:安徽省数学学会.1982,3:35—40。

［5］石福庆,陈凯,钱辉镜.线性代数辅导.北京:1985。