郑州市第七中学初一数学上册期末压轴题汇编

郑州市第七中学初一数学上册期末压轴题汇编
一、七年级上册数学压轴题
1．如图1，平面内一定点A在直线EF的上方，点O为直线EF上一动点，作射线OA、OP、OA'，当点O在直线EF上运动时，始终保持∠EOP＝90°、∠AOP＝∠A'OP，将射线OA 绕点O顺时针旋转60°得到射线OB．
（1）如图1，当点O运动到使点A在射线OP的左侧，若OA'平分∠POB，求∠BOF的度数；
（2）当点O运动到使点A在射线OP的左侧，且∠AOE＝3∠A'OB时，求
AOF
AOP
∠
∠
的值；
（3）当点O运动到某一时刻时，∠A'OB＝130°，请直接写出∠BOP＝_______度．
答案：（1）50°；（2）或6；（3）95或145．
【分析】
（1）根据OA′平分∠POB, 设∠POA′＝∠A′OB＝x，根据题意列方程即可求解；（2）分射线OB在∠POA′内部和射线OB在∠POA
解析：（1）50°；（2）10
3
或6；（3）95或145．
【分析】
（1）根据OA′平分∠POB, 设∠POA′＝∠A′OB＝x，根据题意列方程即可求解；
（2）分射线OB在∠POA′内部和射线OB在∠POA′外部两种情况分类讨论，分别设∠A′OB ＝x，∠AOE＝3x，分别求出x的值，即可求值；
（3）根据题意分类讨论，根据周角定义分别求出∠A'OA，再根据∠AOP＝∠A'OP，结合已知即可求解．
【详解】
解：(1)∵OA′平分∠POB，
∴设∠POA′＝∠A′OB＝x，
∵∠AOP ＝∠A ′OP = x ，
∵∠AOB ＝60°，
∴x ＋2x ＝60°，
∴x ＝20°，
∴∠BOF ＝90°－2x ＝50°；
(2)①当点O 运动到使点A 在射线OP 的左侧，射线OB 在∠POA ′内部时，
∵∠AOE ＝3∠A ′OB ，
∴设∠A ′OB ＝x ，∠AOE ＝3x ，
∵OP ⊥EF ，
∴∠AOF ＝180°－3x ，∠AOP ＝90°－3x ， ∴1803903AOF x AOP x ∠︒-=∠︒-， ∵∠AOP ＝∠A ′OP ，
∴∠AOP ＝∠A ′OP ＝
602x ︒+， ∴OP ⊥EF ，
∴602
x ︒+＋3x ＝90°， ∴x ＝1207
︒， ∴12090018039001077120270270390377
AOF AOP ︒︒
︒-⨯∠︒====︒
︒∠︒︒-⨯；
②当点O 运动到使A 在射线OP 的左侧，但是射线OB 在∠POA ′外部时，
∵∠AOE ＝3∠A ′OB ，
设∠A ′OB ＝x ，∠AOE ＝3x ，
∴∠AOP ＝∠A ′OP ＝602x ︒-， ∴OP ⊥EF ， ∴3x ＋602
x ︒-＝90°， ∴x ＝24°，
∴1803180324690390324AOF x AOP x ∠︒-︒-⨯︒===∠︒-︒-⨯︒
；
综上所述：AOF AOP ∠∠的值是103
或6； (3)∠BOP ＝95°或145°；
①如图3，当∠A 'OB ＝130°时，
由图可得：∠A 'OA ＝∠A 'OB －∠AOB ＝130°－60°＝70°，
又∵∠AOP ＝∠A 'OP ，
∴∠AOP ＝35°，
∴∠BOP ＝60°＋35°＝95°；
②如图4，当∠A 'OB ＝130°时，
由图可得∠A 'OA ＝360°－130°－60°＝170°，
又∵∠AOP ＝∠A 'OP ，∴∠AOP ＝85°，
∴∠BOP ＝60°＋85°＝145°；
综上所述：∠BOP 的度数为95°或145°．
【点睛】
本题考查了角平分线的的定义和角的和差计算，根据题意正确画出图形进行分类讨论是解题关键．
2．数轴上点A 对应的数为a ，点B 对应的数为b ，且多项式261224x y xy -+的二次项系数为a ，常数项为b ．
（1）线段AB 的长= ；
（2）如图，点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发沿数轴向右运动，点P 的速度是每秒2个单位长度，点Q 的速度是每秒4个单位长度，当BQ ＝2BP 时，点P 对应的数是多少？ （3）在（2）的条件下，点M 从原点与点P ，Q 同时出发沿数轴向右运动，速度是每秒x
个单位长度（24x <<），若在运动过程中，2MP －MQ 的值与运动的时间t 无关，求x 的值．
答案：（1）36；（2）6；（3）
【分析】
（1）根据多项式求出a ，b 的值，然后计算即可；
（2）设运动时间为ts ，根据题意列出方程，解方程即可，然后即可求出点P 所对应的数；
（3）首先根据题意得出2M
解析：（1）36；（2）6；（3）83
【分析】
（1）根据多项式求出a ，b 的值，然后计算即可；
（2）设运动时间为ts ，根据题意列出方程，解方程即可，然后即可求出点P 所对应的数； （3）首先根据题意得出2MP−MQ ，然后根据2MP －MQ 的值与运动的时间t 无关求解即可．
【详解】
（1）∵多项式261224x y xy -+的二次项系数为a ，常数项为b ，
12,24a b ∴=-=，
()2412241236AB ∴=--=+=；
（2）设运动的时间为ts ，由BQ=2BP 得：
4t=2(36−2t)，
解得：t=9，
因此，点P 所表示的数为：2×9−12=6，
答：点P 所对应的数是6．
（3）由题意得：点P 所表示的数为(−12+2t)，点M 所表示的数为xt ，点Q 所表示的数为(24+4t)，
∴2MP−MQ=2[xt−(−12+2t)]−(24+4t−xt)=3xt−8t=(3x−8)t ，
∵结果与t 无关，
∴3x−8=0，
解得：x=83
． 【点睛】
本题主要考查数轴与一元一次方程的结合，数形结合是解题的关键．
3．阅读下面的材料并解答问题：
A 点表示数a ，
B 点表示数b ，
C 点表示数c ，且点A 到点B 的距离记为线段AB 的长，线段AB 的长可以用右边的数减去左边的数表示，即AB b a =-．
若b 是最小的正整数，且a b 、满足()2
50c a b -++=．
（1）b =_________，c =__________．
（2）若将数轴折叠，使得A 与C 点重合：
①点B 与数_________表示的点重合；
②若数轴上P Q 、两点之间的距离为2018（P 在Q 的左侧），且P Q 、两点经折叠后重合，则P Q 、两点表示的数是_______、__________．
（3）点、、A B C 开始在数轴上运动，若点A 以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时点B 和点C 分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t 秒，试探索：35AC AB -的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出其值．
答案：（1）1，5；（2）①3；②-1007，1011；（3）不变，值为8
【分析】
（1）利用非负性可求解；
（2）①由中点坐标公式可求AC 的中点表示的数是2，由折叠的性质可求解； ②由折叠的性质可求解
解析：（1）1，5；（2）①3；②-1007，1011；（3）不变，值为8
【分析】
（1）利用非负性可求解；
（2）①由中点坐标公式可求AC 的中点表示的数是2，由折叠的性质可求解；
②由折叠的性质可求解；
（3）利用两点距离公式分别求出AC ，AB ，表示出3AC-5AB ，再化简即可求解．
【详解】
解：（1）∵b 是最小的正整数，
∴b=1，
∵（c-5）2+|a+b|=0．
∴c=5，a=-b=-1，
故答案为：1，5；
（2）①∵将数轴折叠，使得A 与C 点重合：
∴AC 的中点表示的数是（-1+5）÷2=2，
∴与点B 重合的数=2-1+2=3；
②点P 表示的数为2-2018÷2=-1007，
点Q 表示的数为2+2018÷2=1011，
故答案为：-1007，1011；
（3）3AC-5AB 的值不变．
理由是：
点A 表示的数为：-1-2t ，
点B表示的数为：1+t，
点C表示的数为：5+3t，
∴AC=5+3t-（-1-2t）=6+5t，AB=1+t-（-1-2t）=2+3t，
3AC-5AB=3（6+5t）-5（2+3t）=8，
所以3AC-5AB的值不变，为8．
【点睛】
本题考查了数轴，非负性，折叠的性质，两点距离公式，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
4．在数轴上，点A代表的数是-12，点B代表的数是2，AB表示点A与点B之间的距离．（1）①若点P为数轴上点A与点B之间的一个点，且AP=6，则BP=_____；
②若点P为数轴上一点，且BP=2，则AP=_____；
（2）若C点为数轴上一点，且点C到点A点的距离与点C到点B的距离的和是20，求C 点表示的数；
（3）若点M从点A出发，点N从点B出发，且M、N同时向数轴负方向运动，M点的运动速度是每秒6个单位长度，N点的运动速度是每秒8个单位长度，当MN=2时求运动时间t的值．
答案：（1）①8；②16；（2）-15或5；（3）6或8
【分析】
（1）①根据题目要求，P在数轴上点A与B之间，所以根据BP=AB-AP进行求解
②需要考虑两种情况，即P在数轴上点A与B之间时和当P不在
解析：（1）①8；②16；（2）-15或5；（3）6或8
【分析】
（1）①根据题目要求，P在数轴上点A与B之间，所以根据BP=AB-AP进行求解
②需要考虑两种情况，即P在数轴上点A与B之间时和当P不在数轴上点A与B之间时．当P在数轴上点A与B之间时，AP=AB-BP．当P不在数轴上点A与B之间时，此时有两种情况，一种是超越A点，在A点左侧，此时BP＞14，不符合题目要求．另一种情况是P在B点右侧，此时根据AP=AB+BP作答．
（2）根据前面分析，C不可能在AB之间，所以，C要么在A左侧，要么在B右侧．根据这两种情况分别进行讨论计算．
（3）分点M在点N的左侧和点M在点N的右侧，两种情况分别列出方程求解．
【详解】
解：（1）①∵AB总距离是2-（-12）=14，P在数轴上点A与B之间，
∴BP=AB-AP=14-6=8，
故答案为：8．
②P在数轴上点A与B之间时，AP=AB-BP=14-2=12；
当P不在数轴上点A与B之间时，因为AB=14，所以P只能在B右侧，此时BP=2，
AP=AB+BP=14+2=16，
故答案为：16．
（2）假设C 为x ，
当C 在A 左侧时，AC=-12-x ，BC=2-x ，AC+BC=20，
则-12-x+2-x=20，解得x=-15，
当C 在B 右侧时，AC=x-（-12），BC=x-2，AC+BC=20，
则x-（-12）+x-2=20，解得x=5，
∴点C 表示的数为-15或5；
（3）当M 在点N 左侧时，
2-8t-（-12-6t ）=2，
解得：t=6；
当M 在点N 右侧时，
-12-6t-（2-8t ）=2，
解得：t=8，
∴MN=2时，t 的值为6或8．
【点睛】
本题考查了动点问题，一元一次方程的应用．在充分理解题目要求的基础上，可借助数轴用数形结合的方法求解．在解答过程中，注意动点问题的多解可能，并针对每一种可能进行讨论分析．
5．阅读绝对值拓展材料：a 表示数a 在数轴上的对应点与原点的距离如：5表示5在数轴上的对应点到原点的距离而550=-，即50-表示5、0在数轴上对应的两点之间的距离，类似的，有：()5353+=--表示5、3-在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，点A 、B 在数轴上分别表示有理数a 、b ，那么A 、B 之间的距离可表示为a b -． 回答下列问题：
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和3-的两点之间的距离是 ；
（2）数轴上表示x 和1-的两点A 和B 之间的距离是 ，如果A 、B 两点之间的距离为2，那么x = ．
（3）2x +可以理解为数轴上表示x 和 的两点之间的距离．
（4）23x x -+-可以理解为数轴上表示x 的点到表示 和 这两点的距离之和．21x x ++-可以理解为数轴上表示x 的点到表示 和 这两点的距离之和． （5）23x x -+-最小值是 ，21x x ++-的最小值是 ．
答案：（1）3，4；（2）|x+1|，x=1或-3；（3）-2；（4）2，3，-2，1；（5）1，3
【分析】
（1）根据两点之间的距离公式计算即可；
（2）根据两点之间的距离公式计算即可；
（3）根据绝
解析：（1）3，4；（2）|x+1|，x=1或-3；（3）-2；（4）2，3，-2，1；（5）1，3
【分析】
（1）根据两点之间的距离公式计算即可；
（2）根据两点之间的距离公式计算即可；
（3）根据绝对值的意义可得；
（4）根据绝对值的意义可得；
（5）分别得出23x x -+-和21x x ++-的意义，再根据数轴的性质可得．
【详解】
解：（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是3，
数轴上表示1和-3的两点之间的距离是4；
（2）数轴上表示x 和-1的两点A 和B 之间的距离是|x+1|，
如果|AB|=2，即|x+1|=2，
∴x=1或-3；
（3）|x+2|可以理解为数轴上表示x 和-2的两点之间的距离；
（4）|x-2|+|x-3|可以理解为数轴上表示x 的点到表示2和3这两点的距离之和， |x+2|+|x-1|可以理解为数轴上表示x 的点到表示-2和1这两点的距离之和；
（5）由（4）可知：
当x 在2和3之间时，|x-2|+|x-3|最小值是1，
当x 在-2和1之间时，|x+2|+|x-1|的最小值是3．
【点睛】
本题考查的是绝对值的问题，涉及到数轴应用问题，只要理解绝对值含义和数轴上表示数值的关系（如：|x+2|表示x 与-2的距离），即可求解．
6．如图，在数轴上A 点表示数a ，B 点表示数b ，a ，b 满足()2
260a b ++-=． （1）求a ，b 的值；
（2）若点A 与点C 之间的距离表示为AC ，点B 与点C 之间的距离表示为BC ，请在数轴上找一点C ，使2AC BC =，求C 点表示的数；
（3）如图，一小球甲从点A 处以2个单位/秒的速度向左运动；同时另一个小球乙从点B 处以3个单位/秒的速度也向左运动，设运动的时间为t （秒）．
①分别表示出t （秒）时甲、乙两小球在数轴上所表示的数（用含t 的代数式表示）； ②求甲、乙两小球相距两个单位时所经历的时间．
答案：（1）a=-2，b=6；（2）或14；（3）①甲：-2-2t ，乙：6-3t ；②6秒或10秒
【分析】
（1）根据非负数的性质求得a=-2，b=6；
（2）分C 点在线段AB 上和线段AB 的延长线上两种情
解析：（1）a=-2，b=6；（2）
103
或14；（3）①甲：-2-2t ，乙：6-3t ；②6秒或10秒 【分析】 （1）根据非负数的性质求得a=-2，b=6；
（2）分C 点在线段AB 上和线段AB 的延长线上两种情况讨论即可求解；
（3）①根据两个小球的运动情况直接列式即可；
②根据甲、乙两小球在数轴上表示的数列出关于t 的方程，解方程即可．
【详解】
解：（1）∵()2
260a b ++-=，
∴a+2=0，b-6=0，
解得，a=-2，b=6，
故答案为：a=-2，b=6；
（2）设数轴上点C 表示的数为c ．
∵AC=2BC ，
∴|c-a|=2|c-b|，即|c+2|=2|c-6|．
∵AC=2BC ＞BC ，
∴点C 不可能在BA 的延长线上，则C 点可能在线段AB 上和线段AB 的延长线上． ①当C 点在线段AB 上时，则有-2≤c≤6，
得c+2=2（6-c ），解得103c =； ②当C 点在线段AB 的延长线上时，则有c ＞6，
得c+2=2（c-6），解得c=14．
故当AC=2BC 时，c=103
或c=14； （3）①∵甲球运动的路程为：2•t=2t ，OA=2，
∴甲球在数轴上表示的数为-2t-2；
乙球运动的路程为：3•t=3t ，OB=6，
∴乙球在数轴上表示的数为：6-3t ；
②由题意得：22(63)2t t ----=，
解得：t=10或t=6，
∴甲、乙两小球相距两个单位时所经历的时间为6秒或10秒．
【点睛】
本题考查了非负数的性质，一元一次方程，数轴，两点间的距离，有一定难度，运用分类讨论思想、方程思想及数形结合思想是解题的关键．
7．点A ，B 为数轴上的两点，点A 对应的数为a ，点B 对应的数为3，a 3＝﹣8． （1）求A ，B 两点之间的距离；
（2）若点C 为数轴上的一个动点，其对应的数记为x ，试猜想当x 满足什么条件时，点C 到A 点的距离与点C 到B 点的距离之和最小．请写出你的猜想，并说明理由；
（3）若P ，Q 为数轴上的两个动点（Q 点在P 点右侧），P ，Q 两点之间的距离为m ，当
点P到A点的距离与点Q到B点的距离之和有最小值4时，m的值为．
答案：（1）5；（2）当﹣2＜x＜3时，点C到A点的距离与点C到B点的距离之和最小，最小值为5，见详解；（3）1或9
【分析】
（1）先根据立方根的定义求出a，再根据两点之间的距离公式即可求解；（2）当
解析：（1）5；（2）当﹣2＜x＜3时，点C到A点的距离与点C到B点的距离之和最小，最小值为5，见详解；（3）1或9
【分析】
（1）先根据立方根的定义求出a，再根据两点之间的距离公式即可求解；
（2）当点C在数轴上A、B两点之间时，点C到A点的距离与点C到B点的距离之和最小，依此即可求解；
（3）分两种情况：点P在点A的左边，点P在点B的右边，进行讨论即可求解．
【详解】
解：（1）∵a3＝﹣8．
∴a＝﹣2，
∴AB＝|3﹣（﹣2）|＝5；
（2）点C到A的距离为|x+2|，点C到B的距离为|x﹣3|，
∴点C到A点的距离与点C到B点的距离之和为|x+2|+|x﹣3|，
当距离之和|x+2|+|x﹣3|的值最小，﹣2＜x＜3，
此时的最小值为3﹣（﹣2）＝5，
∴当﹣2＜x＜3时，点C到A点的距离与点C到B点的距离之和最小，最小值为5；
（3）设点P所表示的数为x，
∵PQ＝m，Q点在P点右侧，
∴点Q所表示的数为x+m，
∴PA＝|x+2|，QB＝|x+m﹣3|
∴点P到A点的距离与点Q到B点的距离之和为：PA+QB＝|x+2|+|x+m﹣3|
当x在﹣2与3﹣m之间时，|x+2|+|x+m﹣3|最小，最小值为|﹣2﹣（3﹣m）|＝4，
①﹣2﹣（3﹣m）＝4，解得，m＝9，
②（3﹣m）﹣（﹣2）＝4时，解得，m＝1，
故答案为：1或9．
【点睛】
本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键．
8．如图，两条直线AB、CD相交于点O，且∠AOC=∠AOD，射线OM（与射线OB重合）绕O点逆时针方向旋转，速度为15°/s，射线ON（与射线OD重合）绕O点顺时值方向旋转，速度为12°/s，两射线，同时运动，运动时间为t秒（本题出现的角均指小于平角的角）
（1）图中一定有______个直角；当t=2时，∠MON 的度数为_____，∠BON 的度数为_____，∠MOC 的度数为_____；
（2）当0＜t ＜12时，若∠AOM=3∠AON －60°，试求出t 的值． （3）当0＜t ＜6时，探究72COM BON
MON
∠+∠∠的值，在t 满足怎样的条件是定值，在t 满
足怎样的条件不是定值．
答案：（1）4；144°，114°，60°；（2）s 或10s ；（3），当0＜t ＜时，的值不是定值，当＜t ＜6时，的值是3 【分析】
（1）根据两条直线AB ，CD 相交于点O ，∠AOC=∠AOD ，可得图中一定
解析：（1）4；144°，114°，60°；（2）
107s 或10s ；（3），当0＜t ＜10
3
时，72COM BON MON ∠+∠∠的值不是定值，当103
＜t ＜6时，72COM BON
MON ∠+∠∠的值是3
【分析】
（1）根据两条直线AB ，CD 相交于点O ，∠AOC=∠AOD ，可得图中一定有4个直角；当t=2时，根据射线OM ，ON 的位置，可得∠MON 的度数，∠BON 的度数以及∠MOC 的度数；
（2）分两种情况进行讨论：当0＜t≤7.5时，当7.5＜t ＜12时，分别根据∠AOM=3∠AON-60°，列出方程式进行求解，即可得到t 的值；
（3）先判断当∠MON 为平角时t 的值，再以此分两种情况讨论：当0＜t ＜103时，当103
＜t ＜6时，分别计算72COM BON
MON
∠+∠∠的值，根据结果作出判断即可．
【详解】
解：（1）如图所示，∵两条直线AB ，CD 相交于点O ，∠AOC=∠AOD ，
∴∠AOC=∠AOD=90°，
∴∠BOC=∠BOD=90°，
∴图中一定有4个直角；
当t=2时，∠BOM=30°，∠NON=24°，
∴∠MON=30°+90°+24°=144°，∠BON=90°+24°=114°，∠MOC=90°-30°=60°；故答案为：4；144°，114°，60°；
（2）当ON与OA重合时，t=90÷12=7.5（s），
当OM与OA重合时，t=180°÷15=12（s），
如图所示，当0＜t≤7.5时，∠AON=90°-12t°，∠AOM=180°-15t°，
由∠AOM=3∠AON-60°，可得
180°-15t°=3(90°-12t°)-60°，
解得t=10
7
；
如图所示，当7.5＜t＜12时，∠AON=12t°-90°，∠AOM=180°-15t°，
由∠AOM=3∠AON-60°，可得
180°-15t°=3(12t°-90°)-60°，
解得t=10；
综上所述，当∠AOM=3∠AON-60°时，t的值为10
7
s或10s；
（3）当∠MON=180°时，∠BOM+∠BOD+∠DON=180°，∴15t°+90°+12t°=180°，
解得t=10
3
，
①如图所示，当0＜t＜10
3
时，
∠COM=90°-15t°，∠BON=90°+12t°，
∠MON=∠BOM+∠BOD+∠DON=15t°+90°+12t°， ∴72COM BON MON ∠+∠∠=()()
7901529012159012t t t t
︒︒︒︒︒︒︒-++++ =810812790t t ︒︒︒-+（不是定值）， ②如图所示，当
10
3
＜t ＜6时，
∠COM=90°-15t°，∠BON=90°+12t°，
∠MON=360°-(∠BOM+∠BOD+∠DON)=360°-(15t°+90°+12t°)=270°-27t°， ∴72COM BON MON ∠+∠∠=()()
790152901227027t t t
︒︒︒︒︒︒-++- =8108127027t t ︒︒︒︒--=3（定值）， 综上所述，当0＜t ＜
103时，72COM BON MON ∠+∠∠的值不是定值，当103
＜t ＜6时，
72COM BON
MON
∠+∠∠的值是3．
【点睛】
本题属于角的计算综合题，主要考查了角的和差关系的运用，解决问题的关键是将相关的角用含t 的代数式表示出来，并根据题意列出方程进行求解，以及进行分类讨论，解题时注意方程思想和分类思想的灵活运用．
9．已知：b 是最小的正整数，且a 、b 、c 满足()2
50c a b -++=，请回答问题． (1)请直接写出a 、b 、c 的值． a = b = c =
(2)
a 、
b 、
c 所对应的点分别为A 、B 、C ，点P 为一动点，其对应的数为x ，点P 在0到2
x x x (请写出化简过程)．
之间运动时(即0≤x≤2时)，请化简式子：1125
(3)在(1)(2)的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC-AB的值是否随着时间t的变化而改变?若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
答案：（1）-1；1；5；（2）4x+10或2x+12；（3）不变，理由见解析
【分析】
（1）根据b是最小的正整数，即可确定b的值，然后根据非负数的性质，几个非负数的和是0，则每个数是0，即可求得a，b
解析：（1）-1；1；5；（2）4x+10或2x+12；（3）不变，理由见解析
【分析】
（1）根据b是最小的正整数，即可确定b的值，然后根据非负数的性质，几个非负数的和是0，则每个数是0，即可求得a，b，c的值；
（2）根据x的范围，确定x+1，x-3，5-x的符号，然后根据绝对值的意义即可化简；（3）先求出BC=3t+4，AB=3t+2，从而得出BC-AB=2．
【详解】
解：（1）∵b是最小的正整数，∴b=1．
根据题意得：c-5=0且a+b=0，
∴a=-1，b=1，c=5．
故答案是：-1；1；5；
（2）当0≤x≤1时，x+1＞0，x-1≤0，x+5＞0，
则：|x+1|-|x-1|+2|x+5|
=x+1-（1-x）+2（x+5）
=x+1-1+x+2x+10
=4x+10；
当1＜x≤2时，x+1＞0，x-1＞0，x+5＞0．
∴|x+1|-|x-1|+2|x+5|=x+1-（x-1）+2（x+5）
=x+1-x+1+2x+10
=2x+12；
（3）不变．理由如下：
t秒时，点A对应的数为-1-t，点B对应的数为2t+1，点C对应的数为5t+5．
∴BC=（5t+5）-（2t+1）=3t+4，AB=（2t+1）-（-1-t）=3t+2，
∴BC-AB=（3t+4）-（3t+2）=2，
即BC-AB值的不随着时间t的变化而改变．
【点睛】
本题考查了数轴与绝对值，通过数轴把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数
形结合的数学思想．
10．已知150AOB ∠=︒，OC 为AOB ∠内部的一条射线，60BOC ∠=︒．
（1）如图1，若OE 平分AOB ∠，OD 为BOC ∠内部的一条射线，1
2
COD BOD ∠=∠，求
DOE ∠的度数；
（2）如图2，若射线OE 绕着O 点从OA 开始以15度/秒的速度顺时针旋转至OB 结束、OF 绕着O 点从OB 开始以5度/秒的速度逆时针旋转至OA 结束，运动时间t 秒，当EOC FOC ∠=∠时，求t 的值．
答案：（1）35°；（2）3s 或7.5s 或24s 【分析】
（1）根据∠EOD=∠EOB-∠DOB ，只要求出∠EOB ，∠DOB 即可； （2）分三种情形列出方程即可解决问题． 【详解】
解：（1）∵∠AOB
解析：（1）35°；（2）3s 或7.5s 或24s 【分析】
（1）根据∠EOD =∠EOB -∠DOB ，只要求出∠EOB ，∠DOB 即可； （2）分三种情形列出方程即可解决问题． 【详解】
解：（1）∵∠AOB =150°，OE 平分∠AOB ， ∴∠EOB =1
2∠AOB =75°， ∵∠BOC =60°，∠COD =1
2∠BOD ， ∴∠BOD =40°，∠COD =20°， ∴∠EOD =∠EOB -∠DOB =75°-40°=35°． （2）当OE 在∠AOC 内部时，∵∠EOC =∠FOC ， ∴90-15t =60-5t ， 解得：t =3．
当OE 与OF 重合时，15t +5t =150， 解得：t =7.5．
当OE 与OB 重合时，OF 仍在运动，此时∠EOC =60°， 此时OF 在∠AOC 内部，且∠FOC =60°， ∴t =
120
5
=24，
综上所述，当∠EOC=∠FOC时，t=3s或7.5s或24s．
【点睛】
本题考查角的计算、角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握角的和差定义，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
11．已知∠AOB，过顶点O作射线OP，若∠BOP＝1
2
∠AOP，则称射线OP为∠AOB的“好线”，因此∠AOB的“好线”有两条，如图1，射线OP1，OP2都是∠AOB的“好线”．
（1）已知射线OP是∠AOB的“好线”，且∠BOP＝30°，求∠AOB的度数．
（2）如图2，O是直线MN上的一点，OB，OA分别是∠MOP和∠PON的平分线，已知∠MOB＝30°，请通过计算说明射线OP是∠AOB的一条“好线”．
（3）如图3，已知∠MON＝120°，∠NOB＝40°．射线OP和OA分别从OM和OB同时出发，绕点O按顺时针方向旋转，OP的速度为每秒12°，OA的速度为每秒4°，当射线OP旋转到ON上时，两条射线同时停止．在旋转过程中，射线OP能否成为∠AOB的“好线”．若不能，请说明理由；若能，请求出符合条件的所有的旋转时间．
答案：（1）∠AOB =90°或30°；（2）证明见解析；（3）运动时间为5秒或秒. 【分析】
（1）根据好线的定义，可得∠AOP=60°，再分OP在∠AOB内部时，在∠AOB 外部时，两种情况分别求值即可
解析：（1）∠AOB =90°或30°；（2）证明见解析；（3）运动时间为5秒或15
2
秒.
【分析】
（1）根据好线的定义，可得∠AOP=60°，再分OP在∠AOB内部时，在∠AOB外部时，两种情况分别求值即可；
（2）根据OB，OA别是∠MOP和∠PON的平分线，可得∠AOB=90°，∠BOP=30°，进而即可得到结论；
（3）设运动时间为t，则∠MOP=12t ，∠BOA=4t，分两种情况：当OP在OB上方时，当OP在OB下方时，分别列出方程即可求解.
【详解】
解：（1）∵射线OP是∠AOB的好线，且∠BOP=30°
∴∠AOP=2∠BOP=60°
∴当OP在∠AOB内部时，∠AOB =∠BOP +∠AOP =90° ,
当OP在∠AOB外部时，∠AOB = ∠AOP-∠BOP=30°
∴∠AOB =90°或30°；
(2) ∵OB ，OA 别是∠MOP 和∠PON 的平分线
∴∠AOB =∠BOP +∠AOP =1
2 (∠MOP +∠NOP )=90︒，∠BOP =∠BOM =30°， ∴∠AOP =90°-30°=60° ∴∠BOP =1
2∠AOP
∴OP 是∠AOB 的一条“好线” ；
(3) 设运动时间为t ，则∠MOP =12t ，∠BOA =4t ，
当OP 在OB 上方时，∠BOP =80°-12t ，∠AOP =80°+4t -12t =80°-8t ， ∴()80828012t t -=- 解得：t =5；
当OP 在OB 下方时，∠BOP = 12t -80°， ∠AOP =80°+4t -12t =80°-8t ， ∴()80821280t t -=-， 解得：t =
152
综上所述：运动时间为5秒或152
秒. 【点睛】
本题主要考查了角的和差倍分运算以及一元一次方程的应用，根据题意，分类讨论是解题的关键.
12．我们知道，从一个角的顶点出发把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线，类似的我们给出一些新的概念：从一个角的顶点出发把这个角分成度数为1:2的两个角的射线，叫做这个角的三分线；从一个角的顶点出发把这个角分成度数为1:3的两个角的射线，叫做这个角的四分线…… 显然，一个角的三分线、四分线都有两条．
例如：如图1，若2BOC AOB ∠=∠，则OB 是AOC ∠的一条三分线；若2AOD COD ∠=∠，则OD 是AOC ∠的另一条三分线．
（1）如图2，OB 是AOC ∠的三分线，BOC AOB ∠>∠，若60AOC ∠=︒，则
AOB ∠= ；
（2）如图3，120DOF ∠=︒，OE 是DOF ∠的四分线，DOE EOF ∠>∠，过点O 作射线
OG ，当OG 刚好为DOE ∠三分线时，求GOF ∠的度数；
（3）如图4，120AOD ∠=︒射线OB 、OC 是AOD ∠的两条四分线，将BOC ∠绕点O 沿顺时针方向旋转(0180)a α︒≤≤，在旋转的过程中，若射线OB 、OC 、OD 中恰好有一条射
线是其它两条射线组成夹角的四分线，请直接写出α的值．
答案：（1）；（2）的度数为或；（3）的值为或或或 【分析】
（1）根据三分线的定义解答即可；
（2）根据题意画出图形，根据三分线的定义分类解答即可； （3）根据四分线的定义分类解答即可． 【详解】 解：
解析：（1）20︒；（2）GOF ∠的度数为60︒或90︒；（3）α的值为10︒或45︒或75︒或110︒ 【分析】
（1）根据三分线的定义解答即可；
（2）根据题意画出图形，根据三分线的定义分类解答即可； （3）根据四分线的定义分类解答即可． 【详解】
解：（1）∵OB 是AOC ∠的三分线，BOC AOB ∠>∠，60AOC ∠=︒， ∴1
203
AOB AOC ∠=∠=︒，
故答案为：20︒；
（2）120DOF ∠=︒，OE 是DOF ∠的四分线，DOE EOF ∠>∠， 3
904
DOE DOF ∴∠=∠=︒，
OG 为DOE ∠的三分线，
①当DOG GOE ∠>∠时，2
603DOG DOE ∠=∠=︒，
1206060GOF ∴∠=︒=︒-︒，
②当DOG GOE ∠<∠时，1
303DOG DOE ∠=∠=︒，
1203090GOF ∴∠=︒-︒=︒，
综上所述，GOF ∠的度数为60︒或90︒，
（3）∵120AOD ∠=︒射线OB 、OC 是AOD ∠的两条四分线， ∴∠AOB=∠COD=1
4
∠AOD=30°，∠BOC=60°，
如①图，当OC 是∠BOD 的四分线时，∠BOC=3
4
BOD ∠,
∠BOD=80°，∠COD=20°， α=30°-20°=10°；
如②图，当OD 是∠BOC 的四分线且∠BOD>∠COD 时， ∠COD=1
4
∠BOC=15°，
α=30°+15°=45°；
如③图，当OD 是∠BOC 的四分线且∠BOD<∠COD 时， ∠COD=3
4
∠BOC=45°，
α=30°+45°=75°；
如④图，当OB 是∠COD 的四分线时，∠BOC=3
4
COD ∠,
∠COD=80°， α=30°+80°=110°；
α的值为10︒或45︒或75︒或110︒
【点睛】
本题考查了角的计算，解决问题的关键是掌握角的三分线、四分线的定义，利用分类讨论思想．
13．已知将一副三角尺（直角三角尺OAB 和OCD ）的两个顶点重合于点O ，90AOB ∠=︒，30COD ∠=︒
（1）如图1，将三角尺COD 绕点O 逆时针方向转动，当OB 恰好平分COD ∠时，求AOC ∠的度数；
（2）如图2，当三角尺OCD 摆放在AOB ∠内部时，作射线OM 平分AOC ∠，射线ON 平分BOD ∠，如果三角尺OCD 在AOB ∠内绕点O 任意转动，MON ∠的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由．
答案：（1）；（2）不变．
【分析】
（1）根据平分，求出∠BOC ，再用角的和差求∠AOC 即可；
（2）根据角平分线的性质，求出∠DON 和∠COM 的和是∠BOD 和∠AOC 和的一半即可．
【详解】
解：（1
解析：（1） 75COB ∠=︒；（2）不变．60MON ∠=︒
【分析】
（1）根据OB 平分COD ∠，求出∠BOC ，再用角的和差求∠AOC 即可；
（2）根据角平分线的性质，求出∠DON 和∠COM 的和是∠BOD 和∠AOC 和的一半即可．
【详解】
解：（1）OB 平分COD ∠ 11301522
COB COD ∴∠=∠=⨯︒=︒， 901575AOC AOB COB ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒；
图1 图2
（2）不变．
OM 平分AOC ∠，ON 平分BOD ∠
12NOD BOD ∴∠=∠，12COM AOC ∠=∠ 122
MON NOD COD COM BOD AOC COD 1∴∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠ ()12
BOD AOC COD =∠+∠+∠ ()12
AOB COD COD =∠-∠+∠ ()1903030602
=⨯︒-︒+︒=︒ 【点睛】
本题考查了角平分线的性质，熟练运用角平分线的性质，结合角的和差进行计算是解题关键．
14．（学习概念） 如图1，在∠AOB 的内部引一条射线OC ，则图中共有3个角，分别是∠AOB 、∠AOC 和∠BO C ．若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC 是∠AOB 的“好好线”．
（理解运用）
（1）①如图2，若∠MPQ ＝∠NPQ ，则射线PQ ∠MPN 的“好好线”（填“是”或“不是”）；
②若∠MPQ ≠∠NPQ ，∠MPQ ＝α，且射线PQ 是∠MPN 的“好好线”，请用含α的代数式表示∠MPN ；
（拓展提升）
（2）如图3，若∠MPN ＝120°，射线PQ 绕点P 从PN 位置开始，以每秒12°的速度逆时针旋转，旋转的时间为t 秒．当PQ 与PN 成110°时停止旋转．同时射线PM 绕点P 以每秒6°的速度顺时针旋转，并与PQ 同时停止． 当PQ 、PM 其中一条射线是另一条射线与射线PN 的夹角的“好好线”时，则t ＝ 秒．
答案：（1）①是；②∠MPN=α，3α；（2）t=，4，5秒．
【分析】
（1）①根据新定义的理解，即可得到答案；
②根据题意，可分为两种情况：当∠MPQ=2∠QPN 时；当∠QPN=2∠MPQ
时；分别求出
解析：（1）①是；②∠MPN =32
α，3α；（2）t =207，4，5秒． 【分析】
（1）①根据新定义的理解，即可得到答案；
②根据题意，可分为两种情况：当∠MPQ=2∠QPN 时；当∠QPN=2∠MPQ 时；分别求出∠MPN 即可；
（2）根据题意，设运用的时间为t 秒，则PM 运用后有12NPQ t ∠=，1206MPN t ∠=-，然后对PM 和PQ 的运动情况进行分析，可分为四种情况进行分析，分别求出每一种情况的运动时间，即可得到答案．
【详解】
解：（1）①如图，若∠MPQ ＝∠NPQ ，
∴∠MPN=2∠NPQ=2∠MPQ ，
∴射线PQ 是∠MPN 的“好好线”；
②∵射线PQ 是∠MPN 的“好好线”
又∵ ∠MPQ≠∠NPQ
∴此题有两种情况
Ⅰ．如图1，当∠MPQ=2∠QPN 时
∵∠MPQ=α
∴∠QPN=1
2α ∴∠MPN=∠MPQ+∠QPN=32
α； Ⅱ．如图2，当∠QPN=2∠MPQ 时
∵∠MPQ=α
∴∠QPN=2α
∴∠MPN=∠MPQ+∠QPN=3α
综上所述：∠MPN=32
α或∠MPN=3α． （2）根据题意，PM 运动前∠MPN ＝120°，
设运用的时间为t 秒，则PM 运用后有
12NPQ t ∠=，1206MPN t ∠=-，
①当2MPQ NPQ ∠=∠时，如图：
∴120612212t t t --=⨯，
解得：207
t =； ②当MPQ NPQ ∠=∠，即2MPN NPQ ∠=∠时，如图：
∴1206212t t -=⨯，
解得：4t =；
③当2NPQ MPQ ∠=∠，如图：
∴122(120612)t t t =⨯--，
解得：5t =；
④当2MPN MPQ ∠=∠，如图：
∵1206MPN t ∠=-，612120MPQ t t ∠=+-，
∴1206612120t t t -=+-，
解得：10t =；
∵t 的最大值为：1101012
t =<， ∴10t =不符合题意，舍去；
综合上述，t =
207
，4，5秒． 【点睛】
本题考查了新定义的角度运算，角度的和差关系，以及一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握题意，正确掌握运动状态，运用分类讨论的思想进行分析．
15．如图1，射线OC 在AOB ∠的内部，图中共有3个角：AOB ∠、AOC ∠、BOC ∠，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC 是AOB ∠的“定分线”． （1）一个角的平分线_________这个角的“定分线”；（填“是”或“不是”）
（2）如图2，若MPN a ∠=，且射线PQ 是MPN ∠的“定分线”，则MPQ ∠=________(用含a 的代数式表示出所有可能的结果）；
（3）如图2，若MPN ∠=48°，且射线PQ 绕点P 从PN 位置开始，以每秒8°的速度逆时针旋转，当PQ 与PN 成90°时停止旋转，旋转的时间为t 秒；同时射线PM 绕点P 以每秒4°的速度逆时针旋转，并与PQ 同时停止．当PQ 是MPN ∠的“定分线”时，求t 的值．
答案：（1）是；（2）；（3）t=2.4，6，4
【分析】
（1）根据“定分线”定义即可求解；
（2）分3种情况，根据“定分线定义”即可求解；
（3）分3种情况，根据“定分线定义”列出方程求解即可．【详
解析：（1）是；（2）112
,,
233
a a a；（3）t=2.4，6，4
【分析】
（1）根据“定分线”定义即可求解；
（2）分3种情况，根据“定分线定义”即可求解；
（3）分3种情况，根据“定分线定义”列出方程求解即可．【详解】
解：（1）当OC是角∠AOB的平分线时，
∵∠AOB=2∠AOC，
∴一个角的平分线是这个角的“定分线”；
故答案为：是；
（2）∵∠MPN=α分三种情况
①∵射线PQ是MPN
∠的“定分线”，
∴MPN
∠=2MPQ
∠=α，
∴MPQ
∠=1
2α，
②∵射线PQ是MPN
∠的“定分线”，∴QPN
∠=2MPQ
∠，
∵∠QPN+∠QPM=α，
∴3MPQ
∠=α，
∴MPQ
∠=1
3α，
③∵射线PQ是MPN
∠的“定分线”，∴2QPN
∠=MPQ
∠，
∵∠QPN+∠QPM=α，
∴3∠QPN =α，
∴∠QPN =1
3
α，
∴∠QPM =2
3
α，
∴∠MPQ=1
2α或1
3
α或2
3
α；
故答案为：1
2α或1
3
α或2
3
α；
（3）依题意有三种情况：
①∠NPQ=1
3
∠NPM，
由∠NPQ=8t，∠NPM=4t+48,∴8t=1
3
（4t+48），
解得t=2.4(秒)；
②∠NPQ=1
2
∠NPM
由∠NPQ=8t，∠NPM=4t+48,
∴8t=1
2
（4t+48），
解得t=4(秒)；
③∠NPQ=2
3
∠NPM
由∠NPQ=8t，∠NPM=4t+48,∴8t=2
3
（4t+45），
解得：t=6(秒)，。