上海交大附中学10-11学年度高一数学下学期期中考试(无答案)

某某交通大学附属中学2010-2011学年度第二学期高一数学期
中试卷
（满分100分，90分钟完成，允许使用计算器，答案一律写在答题纸上）
一．填空题：（共14小题，每小题3分）
1、 你答题很忙，但时针在缓慢转动，经过90分钟，时针转过的角的弧度数是______。

2、 已知角α的终边在直线y =2x 上，则cos2α的值为___________。

3、 一条长度等于半径的弦所对的圆心角等于___________弧度。

4、 已知3sin()5πα-=
，(,)2παπ∈，则tan 2α
=___________。

5、 已知11
sin sin ,cos cos ,32
αβαβ-=-+=则cos()αβ+=___________。

6、 已知α
___________。

7、 已知cos x =1
3
-，x ∈[π-,0],用反三角表示x 的结果是___________。

8、 已知tan α=2，则22
sin sin cos 2cos 1
ααα
α++的值是___________。

9、 函数2sin(2)3
y x π
=--
与y 轴距离最近的对称轴方程是___________。

10、 已知f (x )=2cos 2x
sin2x ，x ∈R ，则f (x )的单调递增区间是_________________。

11、 已知：
tan(5)cos(2)sin(3)
2tan(6)cos()7tan()sin(4)cot()
22
πθθππθπθπθππθπθθ--⋅-⋅--+-⋅-++⋅-+⋅--=2，则
sin(3)θπ+=___________。

12、 甲同学碰到一道缺失条件的问题：“在ΔABC 中，已知a =4，A =30º，试判断此三角
形解的个数。

”察看标准答案发现该三角形有一解。

若条件中缺失边c ，那么根据答案可得所有可能的c 的取值X 围是___________。

13、 如果关于x 的不等式()0f x <和()0g x <的解集分别为(a ，b )和(
1b ，1
a
)，那么称这两个不等式为对偶不等式．如果不等
式2cos220x θ-⋅+<与不等式
224sin 210x x θ+⋅+<为对偶不等式，且,2πθπ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，那么θ=_______。

14、 如图，放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动。

设顶点P (x ，
y )的纵坐标与横坐标的函数关系是()y f x =，()y f x =在其两个相邻零点间的图像与x 轴所围区域的面积为___________。

二．选择题：（共4小题，每题3分）
15、 在下列四个函数中，周期为
2
π
的偶函数为 （ ）
(A)2sin 2cos2y x x =(B)22cos 2sin 2y x x =- (C)tan 2y x x =(D)22cos sin y x x =-
16、 函数cos(2)4
y x π
=-的图象可以看作是函数y=sin 2x 的图像经过如下平移得到的，其中
正确的是 （ ）
(A)向右平移
4π
个单位 (B)向左平移4
π
个单位 (C)向右平移8
π
个单位
(D)向左平移8
π
个单位
17、 某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为
113，111，1
5
，则此人 （
）
(A)不能作出这样的三角形 (B)能作出一个锐角三角形 (C)能作出一个直角三角形 (D)能作出一个钝角三角形
18、 记实数1x ，2x ，…，n x 中的最大数为max {1x ，2x ，…，n x }，最小数为min {1x ，2x ，…，
n x }。

已知ABC ∆的三边边长为a 、b 、c （a b c ≤≤），定义它的倾斜度为
max{,,}min{,,}a b c a b c
t b c a b c a =⋅，则“t =1”是“ABC ∆为等边三解形”的（
）
(A)充分布不必要的条件(B)必要而不充分的条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要的条件
三．解答题：（10+12+12+12）
19、 已知π<α<
32π,π<β<32
π
,sin α=
,cos β=,求αβ-的值。

20、 在ΔABC 中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边，且满足(2b -c )cos A =a cos C 。

（1） 求A 的大小；
（2） 若a =2，求ΔABC 的面积的最大值，并指出此时ΔABC 的形状。

21、
已知：函数2()sin 2f x x x =-[,
]4
2
x ππ
∈．
（1）求()f x 的最大值和最小值，并写出x 为何值时取得最值； （2）若不等式()2f x a -<，对一切[,
]4
2
x ππ
∈恒成立，某某数a 的取值X 围．
22、 某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的
轮船上，轮船位于港口O 北偏西30且与该港口相距20海里的A 处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。

假设该小艇沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇。

（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度
的大小应为多少？
（2）为保证小艇在30分钟内（含30分钟）能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的
最小值，并说明理由。