平湖市高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

平湖市高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知复数z 满足（3+4i ）z=25，则=（ ） A ．3﹣4i
B ．3+4i
C ．﹣3﹣4i
D ．﹣3+4i
2． 设全集U=M ∪N=﹛1，2，3，4，5﹜，M ∩∁U N=﹛2，4﹜，则N=（ ） A ．{1，2，3}
B ．{1，3，5}
C ．{1，4，5}
D ．{2，3，4}
3． 一个几何体的三视图如图所示，如果该几何体的侧面面积为12π，则该几何体的体积是（ ）
A ．4π
B ．12π
C ．16π
D ．48π 4． 已知函数f （x+1）=3x+2，则f （x ）的解析式是（ ）
A ．3x ﹣1
B ．3x+1
C ．3x+2
D ．3x+4
5． 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3=a 2+10a 1，a 5=9，则a 1=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6． 已知双曲线
的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支
有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）
A ．（1，2]
B ．（1，2）
C ．[2，+∞）
D ．（2，+∞）
7． 下列正方体或四面体中，P 、Q 、R 、S 分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图形是 （ ）
8． 已知向量(,2)a m =，(1,)b n =-（0n >），且0a b ⋅=，点(,)P m n 在圆2
2
5x y +=上，则
|2|a b +=（ ）
A B ． C ． D ．
9． 若圆心坐标为()2,1-的圆在直线10x y --=上截得的弦长为 ） A ．()()2
2
210x y -++= B ．()()2
2
214x y -++= C ．()()2
2
218x y -++= D ．()()2
2
2116x y -++= 10．“a ＞b ，c ＞0”是“ac ＞bc ”的（ ） A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
11．设集合 A={ x|﹣3≤2x ﹣1≤3}，集合 B 为函数 y=lg （ x ﹣1）的定义域，则 A ∩B=（ ） A ．（1，2） B ．[1，2]
C ．[1，2）
D ．（1，2]
12．ABC ∆中，“A B >”是“cos 2cos 2B A >”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【命题意图】本题考查三角函数的性质与充分必要条件等基础知识，意在考查构造函数的思想与运算求解能力.
二、填空题
13．如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB=2，AD=1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成的角的余弦值是 ．
14．图中的三个直角三角形是一个体积为20的几何体的三视图，则h =__________.
15．8
1()x x
-的展开式中，常数项为___________．（用数字作答）
【命题意图】本题考查用二项式定理求指定项，基础题.
16．已知sin α+cos α=，且
＜α＜
，则sin α﹣cos α的值为 ．
17．已知直线：043=++m y x （0>m ）被圆C ：062222=--++y x y x 所截的弦长是圆心C 到直线的距离的2倍，则=m .
18．在ABC ∆中，已知sin :sin :sin 3:5:7A B C =，则此三角形的最大内角的度数等 于__________.
三、解答题
19．如图所示，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点． （Ⅰ）求直线BE 与平面ABB 1A 1所成的角的正弦值；
（Ⅱ）在棱C 1D 1上是否存在一点F ，使B 1F ∥平面A 1BE ？证明你的结论．
20．如图，已知几何体的底面ABCD 为正方形，AC ∩BD=N ，PD ⊥平面ABCD ， PD=AD=2EC ，EC ∥PD ．
（Ⅰ）求异面直线BD 与AE 所成角： （Ⅱ）求证：BE ∥平面PAD ；
（Ⅲ）判断平面PAD 与平面PAE 是否垂直？若垂直，请加以证明；若不垂直，请说明理由．
21．已知函数f（x）=|x﹣2|．
（1）解不等式f（x）+f（x+1）≤2
（2）若a＜0，求证：f（ax）﹣af（x）≥f（2a）
22．已知在等比数列{a n}中，a1=1，且a2是a1和a3﹣1的等差中项．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）若数列{b n}满足b1+2b2+3b3+…+nb n=a n（n∈N*），求{b n}的通项公式b n．
23．已知定义域为R的函数是奇函数．
（1）求f（x）；
（2）判断函数f（x）的单调性（不必证明）；
（3）解不等式f（|x|+1）+f（x）＜0．
24．已知命题p：方程表示焦点在x轴上的双曲线．命题q：曲线y=x2+（2m﹣3）x+1与x轴交于不同的两点，若p∧q为假命题，p∨q为真命题，求实数m的取值范围．
平湖市高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题
1．【答案】B
解析：∵（3+4i）z=25，z===3﹣4i．
∴=3+4i．
故选：B．
2．【答案】B
【解析】解：∵全集U=M∪N=﹛1，2，3，4，5﹜，M∩C u N=﹛2，4﹜，
∴集合M，N对应的韦恩图为
所以N={1，3，5}
故选B
3．【答案】B
【解析】解：由三视图可知几何体是底面半径为2的圆柱，
∴几何体的侧面积为2π×2×h=12π，解得h=3，
∴几何体的体积V=π×22×3=12π．
故选B．
【点评】本题考查了圆柱的三视图，结构特征，体积，表面积计算，属于基础题．
4．【答案】A
【解析】∵f（x+1）=3x+2=3（x+1）﹣1
∴f（x）=3x﹣1
故答案是：A
【点评】考察复合函数的转化，属于基础题．
5．【答案】C
【解析】解：设等比数列{a n}的公比为q，
∵S3=a2+10a1，a5=9，
∴，解得．
∴．
故选C．
【点评】熟练掌握等比数列的通项公式是解题的关键．
6．【答案】C
【解析】解：已知双曲线的右焦点为F，
若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，
则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，
∴≥，离心率e2=，
∴e≥2，故选C
【点评】本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件．
7．【答案】D
【解析】
考点：平面的基本公理与推论．
8．【答案】A
【解析】
考点：1、向量的模及平面向量数量积的运算；2、点和圆的位置关系. 9． 【答案】B 【解析】
考
点：圆的方程.1111] 10．【答案】A
【解析】解：由“a ＞b ，c ＞0”能推出“ac ＞bc ”，是充分条件，
由“ac ＞bc ”推不出“a ＞b ，c ＞0”不是必要条件，例如a=﹣1，c=﹣1，b=1，显然ac ＞bc ，但是a ＜b ，c ＜0， 故选：A ．
【点评】本题考查了充分必要条件，考查了不等式的性质，是一道基础题
11．【答案】D
【解析】解：由A 中不等式变形得：﹣2≤2x ≤4，即﹣1≤x ≤2， ∴A=[﹣1，2]，
由B 中y=lg （x ﹣1），得到x ﹣1＞0，即x ＞1， ∴B=（1，+∞）， 则A ∩B=（1，2]， 故选：D ．
12．【答案】A.
【解析】在ABC ∆中2
2
2
2
cos 2cos 212sin 12sin sin sin sin sin B A B A A B A B >⇒->-⇔>⇔>
A B ⇔>，故是充分必要条件，故选A.
二、填空题
13．【答案】0
【解析】
【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A1E与GF所成的角的余弦值．
【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
∵AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，
∴A1（1，0，2），E（0，0，1），G（0，2，1），F（1，1，0），
=（﹣1，0，﹣1），=（1，﹣1，﹣1），
=﹣1+0+1=0，
∴A1E⊥GF，
∴异面直线A1E与GF所成的角的余弦值为0．
故答案为：0．
14．【答案】
【解析】
试题分析：由三视图可知该几何体为三棱锥，其中侧棱VA⊥底面ABC，且ABC
∆为直角三角形，且
5,,6
AB VA h AC
===，所以三棱锥的体积为
11
56520
32
V h h
=⨯⨯⨯==，解得4
h=.
考点：几何体的三视图与体积. 15．【答案】70
【解析】81
()x x -的展开式通项为8821881()(1)r r r r r r
r T C x C x x
--+=-=-，所以当4r =时，常数项为
448(1)70C -=.
16．【答案】 ．
【解析】解：∵sin α+cos α=
，＜α＜
，
∴sin 2α+2sin αcos α+cos 2
α=
，
∴2sin αcos α=﹣1=
，
且sin α＞cos α，
∴sin α﹣cos α=
=
=
．
故答案为：
．
17．【答案】9 【解析】
考点：直线与圆的位置关系
【方法点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，属于基础题型，涉及一些最值问题，当点在圆的外部时，圆上的点到定点距离的最小值是圆心到直线的距离减半径，当点在圆外，可做两条直线与圆相切，当点在圆上，可做一条直线与圆相切，当点在圆内，过定点做圆的弦时，过圆心即直径最长，当定点是弦的中点时，弦最短，并且弦长公式是222d R l -=，R 是圆的半径，d 是圆心到直线的距离. 18．【答案】120 【解析】
考点：解三角形．
【方法点晴】本题主要考查了解三角形问题，其中解答中涉及到三角形的正弦定理、余弦定理的综合应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于基础题，本题的解答中根据
A B C=，根据正弦定理，可设3,5,7
sin:sin:sin3:5:7
===，即可利用余弦定理求解最大角的余弦，
a b
熟记正弦、余弦定理的公式是解答的关键．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（I）如图（a），取AA1的中点M，连接EM，BM，因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EM∥AD．
又在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中．AD⊥平面ABB1A1，所以EM⊥面ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影，
∠EBM直线BE与平面ABB1A1所成的角．
设正方体的棱长为2，则EM=AD=2，BE=，
于是在Rt△BEM中，
即直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值为．
（Ⅱ）在棱C1D1上存在点F，使B1F平面A1BE，
事实上，如图（b）所示，分别取C1D1和CD的中点F，G，连接EG，BG，CD1，FG，
因A1D1∥B1C1∥BC，且A1D1=BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，
因此D1C∥A1B，又E，G分别为D1D，CD的中点，所以EG∥D1C，从而EG∥A1B，这说明A1，B，G，E 共面，所以BG⊂平面A1BE
因四边形C1CDD1与B1BCC1皆为正方形，F，G分别为C1D1和CD的中点，所以FG∥C1C∥B1B，且
FG=C1C=B1B，因此四边形B1BGF为平行四边形，所以B1F∥BG，而B1F⊄平面A1BE，BG⊂平面A1BE，故B1F∥平面A1BE．
【点评】本题考查直线与平面所成的角，直线与平面平行，考查考生探究能力、空间想象能力．
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）PD⊥平面ABCD，EC∥PD，
∴EC⊥平面ABCD，
又BD⊂平面ABCD，
∴EC⊥BD，
∵底面ABCD为正方形，AC∩BD=N，
∴AC⊥BD，
又∵AC∩EC=C，AC，EC⊂平面AEC，
∴BD⊥平面AEC，
∴BD⊥AE，
∴异面直线BD与AE所成角的为90°．
（Ⅱ）∵底面ABCD为正方形，
∴BC∥AD，
∵BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，
∴BC∥平面PAD，
∵EC∥PD，EC⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，
∴EC∥平面PAD，
∵EC∩BC=C，EC⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，∴
∴平面BCE∥平面PAD，
∵BE⊂平面BCE，
∴BE∥平面PAD．
（Ⅲ）假设平面PAD与平面PAE垂直，作PA中点F，连结DF，
∵PD⊥平面ABCD，AD CD⊂平面ABCD，
∴PD⊥CD，PD⊥AD，
∵PD=AD，F是PA的中点，
∴DF⊥PA，
∴∠PDF=45°，
∵平面PAD⊥平面PAE，平面PAD∩平面PAE=PA，DF⊂平面PAD，
∴DF⊥平面PAE，
∴DF⊥PE，
∵PD⊥CD，且正方形ABCD中，AD⊥CD，PD∩AD=D，
∴CD⊥平面PAD．
又DF⊂平面PAD，
∴DF⊥CD，
∵PD=2EC，EC∥PD，
∴PE与CD相交，
∴DF⊥平面PDCE，
∴DF⊥PD，
这与∠PDF=45°矛盾，
∴假设不成立即平面PAD与平面PAE不垂直．
【点评】本题主要考查了线面平行和线面垂直的判定定理的运用．考查了学生推理能力和空间思维能力．
21．【答案】
【解析】（1）解：不等式f（x）+f（x+1）≤2，即|x﹣1|+|x﹣2|≤2．
|x﹣1|+|x﹣2|表示数轴上的点x到1、2对应点的距离之和，
而2.5 和0.5对应点到1、2对应点的距离之和正好等于2，
∴不等式的解集为[0.5，2.5]．
（2）证明：∵a＜0，f（ax）﹣af（x）=|ax﹣2|﹣a|x﹣2|=|ax﹣2|+|2﹣ax|
≥|ax﹣2+2a﹣ax|=|2a﹣2|=f（2a﹣2），
∴f（ax）﹣af（x）≥f（2a）成立．
22．【答案】
【解析】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，由a2是a1和a3﹣1的等差中项得：
2a2=a1+a3﹣1，∴，
∴2q=q2，∵q≠0，∴q=2，
∴；
（2）n=1时，由b1+2b2+3b3+…+nb n=a n，得b1=a1=1．
n≥2时，由b1+2b2+3b3+…+nb n=a n ①
b1+2b2+3b3+…+（n﹣1）b n﹣1=a n﹣1②
①﹣②得：．
，
∴．
【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式，考查了数列的递推式，解答的关键是想到错位相减，是基础题．
23．【答案】
【解析】解：（1）因为f（x）是R上的奇函数，
所以f（0）=0，即=0，解得b=1；
从而有；…
经检验，符合题意；…
（2）由（1）知，f（x）==﹣+；
由y=2x的单调性可推知f（x）在R上为减函数；…
（3）因为f（x）在R上为减函数且是奇函数，从而不等式
f（1+|x|）+f（x）＜0等价于f（1+|x|）＜﹣f（x），
即f（1+|x|）＜f（﹣x）；…
又因f（x）是R上的减函数，
由上式推得1+|x|＞﹣x，…
解得x∈R．…
24．【答案】
【解析】解：∵方程表示焦点在x轴上的双曲线，
∴⇒m＞2
若p为真时：m＞2，
∵曲线y=x2+（2m﹣3）x+1与x轴交于不同的两点，
则△=（2m﹣3）2﹣4＞0⇒m＞或m，
若q真得：或，
由复合命题真值表得：若p∧q为假命题，p∨q为真命题，p，q命题一真一假
若p真q假：；
若p假q真：
∴实数m的取值范围为：或．
【点评】本题借助考查复合命题的真假判定，考查了双曲线的标准方程，关键是求得命题为真时的等价条件．。