1-1期末考试题

2009--20010学年度上学期高二年级
数学选修1-1测试题
第Ⅰ卷 选择题 （共60分）
一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分，每小题给出的4个选项中，只有一选项是符合题目要求的)
1.已知P ：2＋2＝5，Q:3>2,则下列判断错误的是 （ ） A.“P 或Q ”为真，“非Q ”为假； B.“P 且Q ”为假，“非P ”为真 ； C.“P 且Q ”为假，“非P ”为假 ； D.“P 且Q ”为假，“P 或Q ”为真 2．已知点P 在抛物线2
4y x =上，那么点P 到点(21)Q -，的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ ）
A ．（
41，－1） B ．（41
，1） C ．（1，2） D ．（1，－2） 3.f(x)=ax 3+3x 2+2,若f /
(-1)=4,则a 的值为 ( ) A.319 B.316 C.313 D.3
10 4．方程3)1(2)3(222+-=-++y x y x 表示的曲线是 ( )
A ．圆
B ．椭圆
C ．双曲线
D ．抛物线
5．过点(0, 3)且与双曲线13
42
2=-y x 只有一个公共点的直线有 ( ) A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
6.、椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A 、
B 、34
C 、2
D 、1
2
7．若F 是122
22=+b
y a x (a>b>0)的一个焦点，MN 是过中心的一条弦，则∆FMN 面积的最大值是
A. ab
B. ac
C.bc
D.
2
ab
8．方程mx +ny 2=0与mx 2+ny 2=1(mn ≠0)在同一坐标系中的图象大致是 ( )
（A ） （B ） （C ） （D ）
9．过抛物线2
(0)y ax a =>的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则
q
p 1
1+等于（ ） A ．2a B ．
a
21
C ．4a
D ．
a
4 10．已知函数()y f x =的导函数的图象如图甲所示， 则()y f x =的图象可能是（ ）
B C D
11.函数y=xcosx －sinx 在下面哪个区间内是增函数 （ ）
A.()23,2ππ；
B.)2,(ππ；
C.)2
5,23(π
π； D.)3,2(ππ
12．椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭
圆的方程为（ ）
A ．
22
18172x y += B ．
22
1819x y += C ．
22
18145
x y += D ．
22
18136
x y +=
第Ⅱ卷 非选择题 （共90分）
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的横线上）
13．用符号“∀”与“∃”表示含有量词的命题：
（1）存在一对实数，使2x ＋3y ＋3>0成立.______________________.
14. 已知抛物线型拱桥的顶点距水面2米,测凉水面宽度为8米.当水面上升1米后,水面宽度为 米
15．过点P(－1,2 ) 且与曲线y=3x 2
—4x+ 2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是 ______
16. 过双曲线82
2=-y x 的右焦点2F 有一条弦PQ ，7PQ =,1F 是左焦点，那么1F PQ ∆的
周长为___ _______.
三、解答题：（本大题共 6 小题，共70分。

）
17．求以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过点(24)P --，的抛物线的标准方程．
18.（本小题满分12分）求与双曲线22193
x y -=有共同的渐近线，并且经过点4)-的双
曲线方程．
19（本小题满分12分）函数f （x ）= 4x 3+ax 2+bx+5的图在x=1处的切线方程为y=－12x ；
（1）求函数f （x ）的解析式；
（2）求函数f （x ）在 [—3，1]上的最值。

20 （本小题满分12分）已知动点P 与平面上两定点(A B 连线的斜率的积为
定值12
-
. （Ⅰ）试求动点P 的轨迹方程C.
（Ⅱ）设直线1:+=kx y l 与曲线C 交于M 、N 两点，当|MN |=
3
2
4时，求直线l 的方程. 21 已知函数32()f x x ax bx c =+++在2
3
x =-与1x =时都取得极值
(1)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间
(2)若对[1,2]x ∈-，不等式2
()f x c <恒成立，求c 的取值范围
22. （本小题满分14分）已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦
点为(F ,右顶点为(2,0)D ,设点11,
2A ⎛⎫
⎪⎝⎭
.
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程；
面积的最大值。

（3）过原点O的直线交椭圆于点,B C，求ABC
选修1-1测试题（答题纸）
一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分，每小题给出的4个选项中，
第Ⅱ卷非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的横线上）
13.（1）________________________；14._______________________
15._______________________ 16._______________________
三、解答题：（本大题共 6 小题，共74分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）
选修1-1测试题（答案）
第Ⅰ卷 选择题 （共60分）
一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分，每小题给出的4个选项中，
第Ⅱ卷 非选择题 （共90分）
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的横线上）
13.（1）2
,0x R x ∀∈≥ （2）,,2330x y R x y ∃∈++> 14.24
15. y ＝ 2x ＋4 16.2814+
三、解答题：（本大题共 6 小题，共 74分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）
17.（本小题满分12分）
解:由题意可设所求双曲线方程为：()22
093
x y λλ-=≠ -----------------------------------3分
双曲线经过点4)-
∴2
(4)53
λ-==- -----------------------------------9分
∴所求双曲线方程为：22
11545
y x -= -----------------------------------12分
18. （本小题满分12分） 解：（1）f 1（x ）＝ 12x 2＋2ax ＋b -----------------------------------2 分 ∵y ＝f （x ）在x ＝1处的切线方程为 y ＝－12x
∴⎩
⎨⎧-==-=12)1()1(121f f k 即⎩⎨⎧-=+++-=++125412212b a b a
解得：a ＝－3 b ＝－18
∴f （x ）＝4x 3―3x 2―18x ＋5 ------------------------------------------------6分
（2）∵f 1（x ）＝ 12x 2－6x －18＝6（x ＋1）（2x －3） 令f 1（x ）＝0 解得：x ＝－1或x ＝2
3
--------------------------------------8分 ∴ 当x ＜－1或x ＞2
3
时，f 1（x ）＞0 当－1＜ x ＜
2
3
时， f 1（x ）＜0 ----------------------------------------10分 ∵ x ∈[－3，1]
∴ 在[－3，1]上无极小值，有极大值f （－1）＝16 又∵f （－3）＝－76 f （1）＝12
∴f （x ）在[－3，1]上的最小值为－76，最大值为16。

-------------------------------12分
19.（本题满分12分）
解：依题意，当每批购入x 台时，全年需用保管费S=2 000x·k.
∴全年需用去运输和保管总费用为y=x 3600
·400+2 000x·k. ------------------------4分 ∵x=400时，y=43 600，代入上式得k=20
1
，
∴y=
x
1440000
+100x≥x x 10014400002∙=24 000. ------------------------------8分
当且仅当
x
1440000
=100x ，即x=120台时，y 取最小值24 000元. -----------------12分 ∴只要安排每批进货120台，便可使资金够用.
20. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设点(,)P x y
，则依题意有
1
2=-，-----------------2分
整理得.122
2=+y x
由于x ≠所以求得的曲线C
的方程为221(2
x y x +=≠-4分 （Ⅱ）由.04)21(:.1,12222
2=++⎪⎩
⎪⎨⎧+==+kx x k y kx y y x 得消去-----------------6分 解得x 1=0, x 2=
212
,(214x x k
k
+-分别为M ，N 的横坐标）. -----------------8分
由,234
|214|
1||1||2
2212=++=-+=k
k k x x k MN -----------------10分 .1:±=k 解得
所以直线l 的方程x －y +1=0或x +y －1=0. -----------------12分
21． 解：（1）3
2
'
2
(),()32f x x ax bx c f x x ax b =+++=++
由'2124()0393f a b -=
-+=，'(1)320f a b =++=得1
,22
a b =-=-
'2
f ，函数的单调区间如下表： 所以函数()f x 的递增区间是(,)3
-∞-与(1,)+∞,递减区间是2
(,1)3-；
（2）3
21()2,[1,2]2f x x x x c x =--+∈-，当23x =-时，222()327
f c -=+
为极大值，而(2)2f c =+，则(2)2f c =+为最大值，要使2
(),
[1,2]f x c x <∈- 恒成立，则只需要2
(2)2c f c >=+，得1,2c c <->或
22．（本小题满分14分）
解：(1)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=3,则半短轴b=1. --------------1分
又椭圆的焦点在x 轴上, ∴椭圆的标准方程为14
22
=+y x --------------3分 (2)设线段PA 的中点为M(x,y) ,点P 的坐标是(x 0,y 0),
由
x=2
1
0+x
得
x 0=2x －1 y=
2
21
0+
y y 0=2y －
2
1 由点P 在椭圆上,得
1)2
1
2(4)12(22=-+-y x , --------------6分
∴线段PA 中点M 的轨迹方程是1)4
1(4)21(22=-+-y x .--------------8分
(3)当直线BC 垂直于x 轴时,BC=2,因此△ABC 的面积S △ABC =1.
当直线BC 不垂直于x 轴时,说该直线方程为y=kx,代入14
22
=+y x ,
解得B(
1
422
+k ,
1
422
+k k ),C (－
1
422
+k ,－
1
422
+k k ),--------------10分
则2
24114
k
k BC ++=,又点A 到直线BC 的距离d=
2
12
1k
k +-
,
∴△ABC 的面积S △ABC =2411221
k k d AB +-=⋅
于是S △ABC =1
441141442
22+-=++-k k
k k k --------------12分 由
1
442
+k k ≥－1,得S △ABC ≤2,其中,当k=－21
时,等号成立. ∴S △ABC 的最大值是2. --------------14分。