1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(共56张)

路径的程序模块。问：这个
程序模块有多少条执行路径？ 另外为了减少测试时间，程 序员需要设法减少测试次数，
子模块4 38条执行路径
子模块5 43条执行路径
你能帮助程序员设计一个测
试方式，
以减少测试次数吗？
结束
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分析：整个模块的任意
开始
一条路径都分两步完成：
第1步是从开始执行到
A点；第2步是从A点执 子模块1 行到结束。而第步可由 18条执行路径
1.1分类计数原理
与分步计数原理
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请思考:
问题1：用一个大写的英文字母
或一个(yī ɡè)阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能 够编出多少种不同的号码？
问题剖析
要完成什么事情
完成这个事情有几 类方案 每类方案能否独立 完成这件事情 每类方案中分别有 几种不同的方法 完成这件事情共有 多少种不同的方法
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例4 要从甲、乙、丙、3幅不同的画中选出2幅，分别
(fēnbié)挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种 不同的挂法？
解：从3幅画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上， 可以分两个步骤完成：
第一步，从3幅画中选1幅挂在左边墙上，有3种选法；
甲
乙
丙
第二步，从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上，
第100位
……
4种
4种
4种
4种
解：100个碱基组成的长链共有100个位置，在每个位置中，从A、C、G、U中任
选一个来填入，每个位置有4种填充方法。根据分步计数原理，共有
444 4＝4100 种不同的RNA分子.
100个4
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例8.电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与底等两种状态 (zhuàngtài)，而这也是最容易控制的两种状态(zhuàngtài)。因此计算机内部就 采用了每一位只有0或1两种数字的计数法，即二进制，为了使计算机能够 识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来表示， 其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由８个二进制位 构成，问
问题1
用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字 给教室里的座位编号
两类
能
26种 10种
26+10=36种
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假如(jiǎrú)你从平川到兰州，
可以坐直达客车或直达火车，
客车每天有3个班次，火车每天有2个班次，
请问你共有多少种不同的走法？
客车1
平川
客车2
兰州
客从平川到兰州这件事有2类方案，
示，在一个RNA分子中，各种碱基能够以任意次序出现，所以在任意一个位
置上的碱基与其他位置上的碱基无关。假设有一类RNA分子由100个碱基组 成，那么能有多少种不同的RNA分子？
No
Image 分析:用100个位置表示由100个碱基组成的长链，每个位置都可以从A、C、G、U中任
选一个来占据。
第1位 第2位 第3位
在第2类方案中有n种不同的方法，
那么完成这件事共有
N= m+ n
种不同的方法。
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例1.在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解到A,B 两所大学各有一些(yīxiē)自己感兴趣的强项专业,具体情 况如下:
A大学
B大学
生物学
数学
化学
会计学
医学
信息技术学
物理学
法学
工程学
如果这名同学只能选一个专业,那么他共有多少种选 择呢?
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得到 的号码 (dé dào)
FABCDE1111 FABCDE2222 FABCDE3333 FABCDE4444 FFAAABBCCDDEE566575656 FABCDE7877 FABCDE8988 FBCDE999
变换：用前6个大写英文字母和1～9九个阿拉
伯数字，以A1，A2，···，B1，B2，···的方式给教 室里的座位编号，总共能编出多少种不同的号码？
完成一件事有 n 类不同的方案， 在第1类方案中有 m1 种不同的方法， 在第2类方案中有 m2 种不同的方法，
……
在第n类方案中有mn种不同的方法，
那么完成这件事共有
种不同的方法。
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引例1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯
数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少 种不同的号码？
变换：用前6个大写英文字母和1～9九个阿拉伯
例3、长征的部分电话号码是0943665××××,后面每个数字
来自0～9这10个数,问可以产生多少个不同的电话号码?
分析:
0943665
10×10× 10× 10=104
分析: 10× 9 × 8 × 7=5040
变式: 若要求最后4个数字不重复,则又有多少种不同的
电话号码?
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分类加法(jiāfǎ)计数原理：
所以，从平川到兰州共有3+ 2= 5种方法. 第3页，共56页。
问题(wèntí)1:你能否发现这两个问题有什么共同特征？ 1、都是要完成一件事 2、用任何一类方法都能直接完成这件事 3、都是采用加法运算
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你能总结出这类问题的一般解决规律吗？
完成一件事有两类不同(bù tónɡ)的方案， 在第1类方案中有m种不同的方法，
不同点 每类方案中的每一 种方法都能__独__立__
完成这件事
每步__依__次__完__成_才算
完成这件事情 （每步中的每一种方
法不能独立完成这
件事）
注意点 类类独立 不重不漏 步步相依 步骤完整
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例3 书架上的第1层放着4本不同的计算机书，第2层放着3
本不同的文艺书，第3层放着2本不同的体育书。
呢?
N=5+4+5=14(种)
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探究1
如果完成一件事情有3类不同(bù tónɡ)方案，在第1类方
案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种 不同的方法，在第3类方案中有m3种不同的方法， 那么完成这件事情有
N=m1+m2+m3 种不同的方法
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如果完成一件事情有n类不同方案，在每一类 中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？
解：（1）5名学生中任一名均可报其中的任一项，因此每 个学生都有4种报名方法，5名学生都报了项目才能算完成 这一事件故报名方法种数为4×4×4×4×4= 种 .
（2）每个项目只有一个冠军，每一名学生都可能获得 其中的一项获军，因此每个项目获冠军的可能性有5种
故有n=5×５×５×５= 种 .
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分步乘法计数原理：
完成一件事有 两类不同方案,在第 1类方案中有m种不 同的方法,在第2类 方案中有n种不同的 方法.那么完成这件 事共有
N=m+n 种不同的方法.
完成一件事需要两 个步骤,做第1步有m
种不同的方法,做第2 步有n种不同的方法. 那么完成这件事共有
N=m×n
种不同的方法.
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第一步，从5幅画中选1幅挂在左边墙上，有5种选法；
甲
乙
丙
第二步，从剩下的4幅画中选1幅挂在右边墙上，有4
种选法。
根据分步计数原理，不同挂法的种数是：N=5×4=20.
丁
戊
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例5. 五名学生报名(bào míng)参加四项体育比赛，每 人限报一项，报名(bào míng)方法的种数为多少？又 他们争夺这四项比赛的冠军，获得冠军的可能性 有多少种？
有2种选法。
根据分步计数原理，不同挂法的种数是：N=3×2=6.
思考：还有其他解答本题的方法吗？
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例4 要从甲、乙、丙、3幅不同的画中选出2幅，分
别(fēnbié)挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多 少种不同的挂法？ 解：从3幅画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上，可 以分两个步骤完成： 第一步，从3幅画中选出2幅，有3种选法；
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例3 书架上的第1层放着4本不同的计算机书，第2层放着3 本不同的文艺书，第3层放着2本不同的体育书。 （1）从书架上任取1本书，有几种不同的取法？ （2）从书架上的第1、2、3层各取1本书，有几种不同(bù tónɡ) 的取法？
解：从书架的第1，2，3层各取1本书，
可以分成三个步骤完成： 第1步：从第1层取1本计算机书，有4种方法；
例6.给程序模块命名，需要用3个字符，其中首个字 符要求用字母A~G或U~Z，后两个要求用数字 (shùzì)1～9，问最多可以给多少个程序命名？
分析：要给一个程序模块命名，可以分三个步骤：第一步，选首字符；
第二步，先中间字符；第三步，选末位字符。
解：首字符共有7+6＝13种不同的选法， 中间字符和末位字符各有9种不同的选法
子模块2 45条执行路径
子模块3 28条执行路径
子模块1或子模块2或
子模块3来完成；第二
A
步可由子模块4或子模
块5来完成。因此，分 析一条指令在整个模块
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变式：在填写高考志愿表时,一名高中(gāozhōng)毕业生了解 到,A,B,C三所大学各有一些自己感兴趣的强项专业,具体 情况如下:
A大学
B大学
C大学
生物学
数学
机械制造
化学
会计学
建筑学
医学
信息技术学 广告学
物理学
法学
汉语言文学
工程学
韩语
如果这名同学只能选一个专业,那么他共有多少种选择
数字，以A1，A2，···，B1，B2，···的方式给教室里 的座位编号，总共能编出多少种不同的号码？
分析：完成给教室里的座位编号编号这件事 分两 步完成：第1步：先确定(quèdìng)一个英文字母
第2步，后确定一个阿拉伯数字
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字母 FBCDEA
树形图
数字
1 2
3
4 5 6
7
8 9
完成一件事需要n个步骤，
做第1步有m1 种不同的方法， 做第2步有m2种不同的方法，
……
做第n步有mn种不同的方法，
那么完成这件事共有
种不同的方法。
第15页，共56页。
两个 计数原理 (liǎnɡ ɡè)
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
相同点
用来计算“完成一件事”的方法种数
分类完成 类类相加 分步完成 步步相乘
第2步：从第2层取1本文艺书，有3种方法； 第3步：从第3层取1本体育书，有2种方法。 根据分步计数原理，不同取法的种数是： N=4×3×2=24.
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解答(jiědá)计数问题的一般思维过程：
完成一件什么事
如何完成这件事
方法的分类
过程的分步
利用加法原理进行计数
利用乘法原理进行计数
（1）一个字节（8位）最多可以表示多少个不同的字符？ （2）计算机汉字国标码（GB码）包含了6763个汉字，一个汉字为一个字 符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？
如00000000，10000000， 11111111.
第1位
第2位
第3位
第8位
……
2种
第26页，共56页。
2种
2种
（“甲甲、乙”，“甲乙、丙”，“乙、丙”丙）
第二步，将选出的2幅画挂好，有2中挂法
根据分步计数原理，不同挂法的种数是：N=3×2=6.
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变式 要从甲、乙、丙、丁、戊5幅不同的画中选出 2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置(wèi ， zhi) 问共有多少种不同的挂法？
解：从5幅画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上， 可以分两个步骤完成：
（1）从书架上任取1本书，有几种不同的取法？
解：从书架(shū jià)上任取1本书，
有三类方法： 第1类方法是从第1层取1本计算机书，有4种方法； 第2类方法是从第2层取1本文艺书，有3种方法；
第3类方法是从第3层取1本体育书，有2种方法。
根据分类加法计数原理，不同取法的种数是： N=4+3+2=9.
2种
例9.计算机编程人员在编写好 程序以后要对程序进行测试。
开始
程序员需要知道到底有多少
条执行路（即程序从开始到
结束(jiéshù)的线），以便知道
子模块1
需要提供多少个测试数据。 18条执行路径
子模块2 45条执行路径
子模块3 28条执行路径
一般的，一个程序模块又许
多子模块组
A
成，它的一个具有许多执行
分析：完成给教室里的座位编号这件事需要(xūyào) 两个步骤， 第1步，确定一个英文字母，有6种不同方法；
第2步，确定一个阿拉伯数字，有9种不同方法；
所以，编号共有6×9=54种方法.
第12页，共56页。
例2、设某班有男生(nánshēng)30名，女生24名。现要从中 选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种 不同的选法？
根据分步计数原理，最多可以有13×9×9＝1053种不同的选法
答：最多可以给1053个程序命名。
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例7.核糖核酸（RNA）分子是在生物细胞中发现的化学成分，一个(yī ɡè)RNA分 子
是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称
为碱基的化学成分所占据，总共有４个不同的碱基，分别用A，C，G，U表