数学视野：指数分布

数学视野：指数分布
指数函数的一个重要特征是无记忆性（Memoryless property 又称遗失记忆性）．这表示若一个随机变量呈指数分布，当0,>t s 时有
)()|(s T P t T s t T P >=>+>，即如果T 是某一元件的寿命，已知元件使用了t 小
时，它总共使用至少t s +小时的条件概率，与从开始使用时算起它使用至少s 小时的概率相等．
概率密度函数：⎩⎨⎧≤>=-0
,00
,)(x x e x f x λλ
其中0>λ是分布的一个参数，常被称为率参数（rate parameter ），即每单位时间内发生某事件的次数.指数分布的区间是[)+∞,0．如果一个随机变量X 呈指数分布，则可以写作：X ~ )(λE ．
在不同的教材有不同的写法，λ
θ1
=，因此概率密度函数，分布函数和期望
方差有两种写法．
0,1
)(>=
-x e x f x
θθ
其中0>θ为常数，则称X 服从参数θ的指数分布．
分布函数：⎩⎨⎧<≥-=-0
,00,1);(x x e x F x λλ；{}0,1)(>-==≤-x e x F x X P x θ
数学期望 期望值：λ
1
)(=
X E
比方说：如果你平均每个小时接到2次电话，那么你预期等待每一次电话的时间是半个小时．
θθθ
θθ
θθ
θ
=-=+-==⋅==∞
-
∞-
∞
-
∞-
-
∞∞
-∞
⎰⎰⎰⎰0
1
)()(x
x
x
x
x
e
dx e xe
xde
dx e x dx x xf X E
方差：
2
1
)()(λ=
=X Var X D
20
2
02
-2
2
221
)()(θθ
θ
θθ
=+-===-
∞∞
-
-
∞
∞
∞
⎰⎰⎰dx e x e
x dx e x
dx x f x X E x
x
x
[]2222
22)()()(θθθ=-=-=X E X E X D
记号：若随机变量X 服从参数为λ的指数分布，则记为X ~ )(λE ． 特性：无记忆性
指数函数的一个重要特征是无记忆性（Memoryless property ，又称遗失记忆性）．这表示如果一个随机变量呈指数分布
当0,>t s 时有)()|(s T P t T s t T P >=>+>，即如果T 是某一元件的寿命，已知元件使用了t 小时，它总共使用至少t s +小时的条件概率，与从开始使用时算起它使用至少s 小时的概率相等．
分位数率参数λ的四分位数函数（Quartile function ）是： F^-1（P ；λ）λ\)1(P LN --=
第一四分位数：λ\)3
4
ln(
中位数：λ\)2
ln(
第三四分位数：λ\)4
ln(
分布
distrbutio）是一种连续概率在概率论和统计学中，指数分布（l
Exponentia n
分布．指数分布可以用来表示独立随机事件发生的时间间隔，比如旅客进机场的时间间隔、中文维基百科新条目出现的时间间隔等等．
许多电子产品的寿命分布一般服从指数分布。

有的系统的寿命分布也可用指数分布来近似。

它在可靠性研究中是最常用的一种分布形式。

指数分布是伽玛分布和威布尔分布的特殊情况，产品的失效是偶然失效时，其寿命服从指数分布。

指数分布可以看作当威布尔分布中的形状系数等于1的特殊分布，指数分布的失效率是与时间t无关的常数，所以分布函数简单．
应用
在电子元器件的可靠性研究中，通常用于描述对发生的缺陷数或系统故障数的测量结果．这种分布表现为均值越小，分布偏斜的越厉害．
指数分布应用广泛，在日本的工业标准和美国军用标准中，半导体器件的抽验方案都是采用指数分布。

此外，指数分布还用来描述大型复杂系统（如计算机）的平均故障间隔时间MTBF的失效分布．但是，由于指数分布具有缺乏“记忆”的特性．因而限制了它在机械可靠性研究中的应用，所谓缺乏“记忆”，是指某
t的工作后，仍然如同新的产品一样，不影响以后的种产品或零件经过一段时间
t的工作之后，该产品的寿命分布与原来还工作寿命值，或者说，经过一段时间
未工作时的寿命分布相同；显然，指数分布的这种特性，与机械零件的疲劳、磨损、腐蚀、蠕变等损伤过程的实际情况是完全矛盾的，它违背了产品损伤累积和老化这一过程。

所以，指数分布不能作为机械零件功能参数的分布形式．指数分布虽然不能作为机械零件功能参数的分布规律，但是，它可以近似地作为高可靠性的复杂部件、机器或系统的失效分布模型，特别是在部件或机器的整机试验中得到广泛的应用．
指数分布的图形表面上看与幂律分布很相似，实际两者有极大不同，指数分布的收敛速度远快过幂律分布．
指数分布的参数为λ，则指数分布的期望为
λ
1
，方差为
λ
1
的平方．。