人教版2019-2020学年福建省莆田市九年级(上)第二次月考数学模拟试卷解析版

2019-2020学年福建省莆田市九年级（上）第二次月考数学模拟试卷
一、选择题
1．（3分）下列关系式中，属于二次函数的是（ ）
A ．y ＝
B ．y ＝
C ．y ＝
D ．y ＝x 3﹣2x
2．（3分）如果两个相似多边形的面积比为16：9，那么这两个相似多边形的相似比为（ ） A ．256：81
B ．16：9
C ．4：3
D ．2：3
3．（3分）若A （﹣5，y 1）、B （﹣3，y 2）、C （5，y 3）为二次函数y ＝﹣（x ﹣2）2+9的图象上的三点，则y 1、y 2、y 3的大小关系是（ ） A ．y 1＜y 2＜y 3
B ．y 3＜y 2＜y 1
C ．y 3＜y 1＜y 2
D ．y 2＜y 1＜y 3
4．（3分）已知二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象如图所示，若y ＞0，则x 的取值范围是（ ）
A ．﹣1＜x ＜3
B ．﹣1＜x ＜4
C ．x ＜﹣1或x ＞3
D ．x ＜﹣1或x ＞4
5．（3分）函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，那么关于一元二次方程ax 2+bx +c ﹣2＝0的根的情况是（ ）
A ．有两个不相等的实数根
B ．有两个异号的实数根
C ．有两个相等的实数根
D ．没有实数根
6．（3分）如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，DE ∥AC ，若S △BDE ：S △CDE ＝1：3，则S △BDE ：S △BAC 的值为（ ）
A．B．C．D．
7．（3分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABO与△A′B′O′是以点P为位似中心的位似图形，它们的顶点均在格点（网格线的交点）上，则点P的坐标为（）
A．（0，0）B．（0，1）C．（﹣3，2）D．（3，﹣2）
8．（3分）在同一直角坐标系中，函数y＝ax2+c与y＝ax+c（ac≠0）的图象大致如图（）
A．B．
C．D．
9．（3分）二次函数y＝x2﹣（12﹣k）x﹣12，当x＞1时，y随着x的增大而增大；当x＜1时，y 随着x的增大而减小，则k的值应取（）
A．12B．11C．10D．9
10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：
①b2﹣4ac＞0；②abc＞0；③8a+c＞0；④9a+3b+c＜0
其中，正确结论的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题
11．（3分）将抛物线y＝x2+1向下平移2个单位，则此时抛物线的解析式是．
12．（3分）若抛物线y＝x2﹣bx+9的顶点在x轴上，则b的值为．
13．（3分）若二次函数y＝x2﹣3x+2的图象关于x轴对称的图象的解析式为．
14．（3分）如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是：①y＝a1x2；②y＝a2x2；③y＝a3x2；
则a1、a2、a3的大小关系是．
15．（3分）如图，在△ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD与CE相交于点O，则＝．
16．（3分）如图，有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为10m．把它的截面边缘的图形放在如图所示的直角坐标系中．在对称轴右边1m处，桥洞离水面的高是．
三.解答题（共9小题
17．已知抛物线y＝﹣x2+2x+2．
（1）该抛物线的对称轴是，顶点坐标；
（2）选取适当的数据填入下表，并在如图的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象：
18．已知函数y＝x2﹣mx+m﹣2．
（1）求证：不论m为何实数，此二次函数的图象与x轴都有两个不同交点；
（2）若函数y有最小值﹣，求函数表达式．
19．某商人如果将进货价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件．现采取提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨价1元，每天的销售量就要减少10件，设该商人将每件售价定为x元，每天获得的总利润为y元，回答下列问题：
（1）提价后，销售每件商品可获利元，每天少销售件商品；
（2）当每件售价x定为多少元时可使每天所获利润最大？并求出每天的最大利润．
20．如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，若点M为抛物线的顶点，连接BC、CM、BM．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）求△BCM的面积．
21．如图，等边三角形ABC的边长为5，点P在边AC上，且AP＝2，点D在直线BC上，且PD
＝PB，作AE∥BC，交BP于点E．请你求出的值．
22．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．
（1）求b、c的值；
＝8，求P点的坐标；
（2）P为抛物线上的点，且满足S
△PAB
（3）设抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？
若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
23．已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两不相等的实数根x1、x2
（1）求k的取值范围；
（2）试说明x1＜0，x2＜0；
（3）若抛物线y＝x2+（2k+1）x+k2+1与x轴交于A、B两点，点A、点B到原点的距离分别为OA、OB，且OA+OB＝OA•OB，求k的值．
24．如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连结DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF分别交AC于H，交CD于G．
（1）求证：BG＝DE；
（2）若点G为CD的中点，求的值．
25．如图，已知二次函数的图象过点O（0，0）．A（8，4），与x轴交于另一点B，且对称轴是直线x＝3．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若M是OB上的一点，作MN∥AB交OA于N，当△ANM面积最大时，求M的坐标；
（3）P是x轴上的点，过P作PQ⊥x轴与抛物线交于Q．过A作AC⊥x轴于C，当以O，P，Q 为顶点的三角形与以O，A，C为顶点的三角形相似时，求P点的坐标．
参考答案与试题解析
一、选择题
1．解：A、是二次函数，故本选项符合题意；
B、等式的右边不是整式，不是二次函数，故本选项不符合题意；
C、等式的右边分母中含有x，是分式，不是整式，不是二次函数，故本选项不符合题意；
D、是三次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
故选：A．
2．解：根据题意得：＝．即这两个相似多边形的相似比为4：3．故选：C．
3．解：二次函数的对称轴为直线x＝2，
∵2﹣（﹣5）＝2+5＝7，
2﹣（﹣3）＝﹣2+3＝5，
5﹣2＝3，
∴y1＜y2＜y3．
故选：A．
4．解：根据图象可得x的范围是x＜﹣1或x＞3．
故选：C．
5．解：∵函数的顶点的纵坐标为3，
∴直线y＝3与函数图象只有一个交点，
∴y＝ax2+bx+c﹣2，相当于函数y＝ax2+bx+c的图象向下平移2个单位，
∴方程ax2+bx+c﹣2＝0的根为两个不相等的实数根．
故选：A．
6．解：∵S
△BDE ：S
△CDE
＝1：3，
∴＝，
∴＝，
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△ABC，
∴＝＝，
∴S △BDE ：S △BAC ＝（）2＝．
故选：D ．
7．解：如图所示：P 点即为所求， 故P 点坐标为：（﹣3，2）． 故选：C ．
8．解：A 、由一次函数y ＝ax +c 的图象可得：a ＜0，c ＞0，此时二次函数y ＝ax 2+c 的图象应该开口向下，故A 错误；
B 、由一次函数y ＝ax +c 的图象可得：a ＞0，
C ＜0，此时二次函数y ＝ax 2+c 的图象应该开口向上，故B 错误；
C 、由一次函数y ＝ax +c 的图象可得：a ＞0，c ＞0，此时二次函数y ＝ax 2+c 的图象应该开口向上，顶点在x 轴的上方，故C 错误；
D 、由一次函数y ＝ax +c 的图象可得：a ＜0，c ＜0，此时二次函数y ＝ax 2+c 的图象应该开口向下，顶点在x 轴的上方，故D 正确； 故选：D ．
9．解：∵当x ＞1时，y 随着x 的增大而增大，当x ＜1时，y 随着x 的增大而减小， ∴函数的对称轴为x ＝1，
根据对称轴公式x ＝﹣，即
＝1，
解得：k ＝10． 故选：C ．
10．解：①由图知：抛物线与x 轴有两个不同的交点，则△＝b 2﹣4ac ＞0，故①正确； ②抛物线开口向上，得：a ＞0；
抛物线的对称轴为x ＝﹣
＝1，b ＝﹣2a ，故b ＜0； 抛物线交y 轴于负半轴，得：c ＜0； 所以abc ＞0；
故②正确；
③根据②可将抛物线的解析式化为：y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）；
由函数的图象知：当x＝﹣2时，y＞0；即4a﹣（﹣4a）+c＝8a+c＞0，故③正确；
④根据抛物线的对称轴方程可知：（﹣1，0）关于对称轴的对称点是（3，0）；
当x＝﹣1时，y＜0，所以当x＝3时，也有y＜0，即9a+3b+c＜0；故④正确；
所以这四个结论都正确．
故选：D．
二、填空题
11．解：∵抛物线y＝x2+1向下平移2个单位，
则根据函数图象的平移规律新抛物线的解析式是为y＝x2﹣1．
12．解：∵抛物线y＝x2﹣bx+9的顶点在x轴上，
∴顶点的纵坐标为零，即y＝＝＝0，
解得b＝±6．
13．解：根据题意，所求的抛物线是﹣y＝x2﹣3x+2，化简得：y＝﹣x2+3x﹣2，即二次函数y＝x2﹣3x+2的图象关于x轴对称的图象的解析式为是y＝﹣x2+3x﹣2．
故答案为y＝﹣x2+3x﹣2．
14．解：如图所示：①y＝a1x2的开口小于②y＝a2x2的开口，则a1＞a2＞0，
③y＝a3x2，开口向下，则a3＜0，
故a1＞a2＞a3．
故答案为a1＞a2＞a3．
15．证明：∵△ABC的中线BD、CE相交于点O，
∴点O是△ABC的重心，
∴＝2．
故答案为：2．
16．解：依题意得，该函数的顶点坐标是（0，4）．故设该函数解析式为：y＝ax2+4（a≠0）．把点（5，0）代入，得
a×52+4＝0，
解得a＝﹣，
所以该函数解析式为：y＝﹣x2+4．
把x＝1代入得到：y＝﹣×12+4＝．
即桥洞离水面的高是m．
故答案是：m．
三.解答题（共9小题
17．解：（1）抛物线y＝﹣x2+2x+2，
x＝﹣＝1；
＝3，
故该抛物线的对称轴是：x＝1，顶点坐标为：（1，3）；
（2）
如图所示：
．
18．（1）证明：令y＝0，可得x2﹣mx+m﹣2＝0，∵△＝m2﹣4（m﹣2）＝m2﹣4m+8＝（m﹣2）2+4，
∵（m﹣2）2≥0，
∴△＞0，
∴方程x2﹣mx+m﹣2＝0有两个不同的实数根，
∴此二次函数的图象与x轴都有两个不同交点；
（2）解：由题意：＝﹣，
∴4m﹣8﹣m2＝﹣5，
∴m2﹣4m+3＝0，
∴m＝1或3，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣1或y＝x2﹣3x+1
19．解：（1）由题意知提价后，销售每件商品可获利（x﹣8）元，每天少销售10（x﹣10）＝10x ﹣100件商品，
故答案为：x﹣8、10x﹣100；
（2）y＝（x﹣8）[100﹣10（x﹣10）]＝﹣10（x﹣14）2+360（10≤a＜20），
∵a＝﹣10＜0
∴当x＝14时，y有最大值360
答：他将售出价（x）定为14元时，才能使每天所赚的利润（y）最大，最大利润是360元．20．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+2x+3交x轴于A、B两点，
∴令y＝0，则0＝﹣x2+2x+3，
∴（x﹣3）（x+1）＝0，
∴x1＝3，x2＝﹣1，
∴点A（﹣1，0），B（3，0），
又∵抛物线y＝﹣x2+2x+3交y轴于点C，
∴点C（0，3）；
（2）把y＝﹣x2+2x+3配方得y＝﹣（x﹣1）2+4，
∵抛物线y＝﹣x2+2x+3的顶点为M，
∴M（1，4）．
如图，过点M作ME⊥AB于E，则ME＝4，OE＝1，
∴BE＝OB﹣OE＝3﹣1＝2，OC＝3，
∴S
△BCM ＝S
梯形COEM
+S
△BEM
﹣S
△BOC
＝×（3+4）×1+×2×4﹣×3×3
＝3.5+4﹣4.5
＝3．
21．解：∵等边三角形ABC，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°．
∵AE∥BC，
∴∠BAE＝120°，
∵∠ACB＝60°，
∴∠PCD＝120°．
∴∠PCD＝∠BAE．
∵PB＝PD，
∴∠PBD＝∠D．
∵AE∥BC，
∴∠E＝∠EBD．
∴△BEA∽△PDC．
∴＝．
∵AC＝5，AP＝2，
∴CP＝3．
又∵AB＝5，
∴＝＝．
22．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（﹣1，0），B（3，0），
∴，
解之，得，
∴所求抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）设点P的坐标为（x，y），由题意，得
S
＝×4×|y|＝8，
△ABC
∴|y|＝4，
∴y＝±4，
当y＝4时，x2﹣2x﹣3＝4，
∴x1＝1+，x2＝1﹣，
当y＝﹣4时，x2﹣2x﹣3＝﹣4，
∴x＝1，
∴当P点的坐标分别为、、（1，﹣4）时，S
＝8；
△PAB
（3）在抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴上存在点Q，使得△QAC的周长最小．
∵AC长为定值，
∴要使△QAC的周长最小，只需QA+QC最小．
∵点A关于对称轴x＝1的对称点是B（3，0），
∴由几何知识可知，Q是直线BC与对称轴x＝1的交点，
抛物线y＝x2﹣2x﹣3与y轴交点C的坐标为（0，﹣3），设直线BC的解析式为y＝kx﹣3．∵直线BC过点B（3，0），
∴3k﹣3＝0，
∴k＝1．
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
∴当x＝1时，y＝﹣2．
∴点Q的坐标为（1，﹣2）．
23．解：（1）∵方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不相等实数根∴△＝（2k+1）2﹣4（k2+1）＞0，
∴k＞；
（2）∵x1、x2是方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0的两个不相等实数根，且k＞，∴x1+x2＝﹣（2k+1）＜0，
x1•x2＝k2+1＞0，
∴x1＜0，x2＜0，
（3）∵x1＜0，x2＜0
∴OA+OB＝|x1|+|x2|＝﹣x1﹣x2＝﹣（x1+x2）＝2k+1，
OA•OB＝﹣x1•（﹣x2）＝x1•x2，
∴2k+1＝k2+1，
整理得k2+2k＝0，
∴k1＝0，k2＝2，
又∵k＞，
∴k＝2．
24．解：（1）∵BF⊥DE，
∴∠GFD＝90°，
∵∠BCG＝90°，∠BGC＝∠DGF，
∴∠CBG＝∠CDE，
在△BCG与△DCE中，
∴△BCG≌△DCE（ASA），
∴BG＝DE，
（2）设CG＝1，
∵G为CD的中点，
∴GD＝CG＝1，
由（1）可知：△BCG≌△DCE（ASA），
∴CG＝CE＝1，
∴由勾股定理可知：DE＝BG＝，
∵sin∠CDE＝＝，
∴GF＝，
∵AB∥CG，
∴△ABH∽△CGH，
∴＝，
∴BH＝，GH＝，
∴＝
25．解：（1）∵抛物线过原点，对称轴是直线x＝3，∴B点坐标为（6，0），
设抛物线解析式为y＝ax（x﹣6），
把A（8，4）代入得a•8•2＝4，解得a＝，
∴抛物线解析式为y＝x（x﹣6），即y＝x2﹣x；
（2）设M（t，0），
易得直线OA的解析式为y＝x，
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
把B（6，0），A（8，4）代入得，解得，∴直线AB的解析式为y＝2x﹣12，
∵MN∥AB，
∴设直线MN的解析式为y＝2x+n，
把M（t，0）代入得2t+n＝0，解得n＝﹣2t，
∴直线MN的解析式为y＝2x﹣2t，
解方程组得，则N（t，t），
∴S
△AMN ＝S
△AOM
﹣S
△NOM
＝•4•t﹣•t•t
＝﹣t2+2t
＝﹣（t﹣3）2+3，
当t＝3时，S
△AMN
有最大值3，此时M点坐标为（3，0）；
（3）设Q（m，m2﹣m），
∵∠OPQ＝∠ACO，
∴当＝时，△PQO∽△COA，即＝，
∴PQ＝2PO，即|m2﹣m|＝2|m|，
解方程m2﹣m＝2m得m1＝0（舍去），m2＝14，此时P点坐标为（14，0）；
解方程m2﹣m＝﹣2m得m1＝0（舍去），m2＝﹣2，此时P点坐标为（﹣2，0）；
∴当＝时，△PQO∽△CAO，即＝，
∴PQ＝PO，即|m2﹣m|＝|m|，
解方程m2﹣m＝m得m1＝0（舍去），m2＝8，此时P点坐标为（8，0）；
解方程m2﹣m＝﹣m得m1＝0（舍去），m2＝4，此时P点坐标为（4，0）；
综上所述，P点坐标为（14，0）或（﹣2，0）或（4，0）或（8，0）．。