【苏教版】【步步高】2014届高三数学(理)大一轮复习练习：4.6二

【苏教版】【步步高】2014届高三数学(理)大一轮
复习练习：4.6二
【苏教版】【步步高】2014届高三数学(理)大一轮复习练习：4.6 二倍角的三角函数]
4.6 二倍角的三角函数
一、填空题
5 π
1．已知α∈ ，π ，sin α＝，则tan 2α＝____.
5 2
5251 π
解析由α∈ ，π ，sin α＝，得cos α＝－，tan α＝－，
552 2 所以tan 2α＝4
答案－3
2．计算1－2sin222.5°的值为________．2
解析原式＝cos 45°＝2答案
22
2tan α4
2
1－tanα3
π
sin α＋4 5
3．已知α是第一象限的角，且cos α＝，则________．
13cos(2α＋4π)解析∵α是第一象限的角，cos α＝
512，∴sin α＝. 1313
π 22
α＋cos α)(sin α＋cos α)sin α＋4 22
∴ cos(2α＋4π)cos 2αcos2α－sin2α22
2213 2
＝cos α－sin α*****
1313答案－
13 2
14
4．函数f(x)＝cos 2x＋2sin x的最大值与最小值的和为________．
1 231
解析f(x)＝1－2sinx＋2sin x＝－2 sin x－＋，所以当sin x＝时，
f(x)max
2 22
2
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33＝sin x＝－1时，f(x)min＝－3.所以f(x)max＋f(x)min＝－223答案
－25．已知sin α＝
5
，则sin4α－cos4α的值为________．5
23
解析sin4α－cos4α＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝－1＝－.
553
答案－5
6．若函数f(x)＝sin(x＋α)－2cos(x－α)是偶函数，则cos 2α＝________. 解析∵f(x)＝(cos α－2sin α)sin x＋(sin α－2cos α)cos x，故cos α－2sin α＝0，cos α＝2sin α，
13
∴cos2α＋sin2α＝5sin2α＝1，即sin2α＝，cos 2α＝1－2sin2α＝553 答案5
7．已知sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，则cos 2α＝________. 解析由sin2α＝4sin2β，tan2α＝9tan2β相除，得9cos2α＝4cos2β，所以sin2 α＋9cos2α＝4sin2β＋4cos2β＝4，31
所以cos2α＝cos 2α＝2cos2－1＝－.
841
答案－4
8．若锐角α、β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝______.
解析∵(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，∴1＋3(tan α＋tan β)＋3tan αtan β
＝4，即tan α＋tan β3(1－tan αtan β)．∴tan(α＋β)＝
tan α＋tan β3(1－tan αtan β)
3.
1－tan αtan β1－tan αtan β
π
又∵0α＋βπ，∴α＋β＝3
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答案
π3
π
9．函数y＝sin x3cos x，x∈ ，π 的值域是________．
6 π π
解析∵y＝sin x＋3cos x＝2sin x＋.又∵x≤π，
3 6
π ππ4π3
∴x＋结合正弦函数的图象与性质得：－x＋≤1.
3 2332 π
∴－3≤2sin x＋≤2.
3 答案[－3，2]
10．函数y3sin xcos x－sin2x的最小正周期为________，最大值为________．π 131－cos 2x311
解析y＝x－sin 2x＋cos 2x－＝sin 2x＋－.
6 ***** 11
所以T＝π，f(x)max＝1－221
答案π 2
11．函数f(x)＝1－4sin xcos x＋4cos2x－4cos4x的值域为
________．解析f(x)＝1－2sin 2x＋4cos2x(1－cos2x) ＝1－2sin 2x＋
4cos2xsin2x＝1－2sin 2x＋sin22x
＝(1－sin 2x)2因为sin 2x∈[－1,1]，所以f(x)∈[0,4]．答案[0,4] 1－cos 2α1
12．已知1，tan(β－α)＝－tan(β－2α)等于________．
sin αcos α31－cos 2α2sin2α
解析由1得＝1，
sin αcos αsin αcos α1
∴tan α＝tan(β－2α)＝tan(β－α－α)
2
11－－32β－α－tan α
1.
β－αα 1 1
1＋－× 3 2
＝
1＋
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答案－1
13．在平面直角坐标系xOy中，已知A(0，－1)，B(－3，－4)两点，若点C在∠
AOB的平分线上，且|→OC|10，则点C的坐标是________．解析如图，α＋2β＝90°，43sin α＝cos α＝
554
所以sin(90°－2β)＝.
5
442
即cos 2β＝，从而2cosβ－1＝，
55cos β＝
31sin β＝. 1010
α＋β
α＋β
＝
cos β
＝3. sin β
所以tan(α＋β)＝
所以直线OC的方程为y＝3x，于是由＝－1，y＝－3，C(－1，－3)．答案(－1，－3) 二、解答题
x
2
＋x2＝10x2＝10，且x＜0，得x
14. 利用三角公式化简：sin50 (1 3tan10 )．
12(cos10 sin10 )
3sin10) sin50 解析原式sin50 (1 cos10cos10
sin30 cos10 cos30 sin10 2sin50 sin40
2sin50
cos10cos10
2cos40 sin40 sin80
1．
cos10cos10
12sin x
15．已知sin x＋cos x＝－x180°)．求
5cos x－sin x－cos 3x＋sin 3x
的值．
111
解析∵sin x＋cos x＝－2sin xcos x＝即1＋sin 2x＝，
*****∴sin 2x
＝－
24
25
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又∵270°2x360°，∴cos 2x＝
725
2sin x
∴原式＝cos(2x－x)－sin(2x－x)－cos(2x＋x)＋sin(2x＋x)＝
2sin x125
2sin 2xsin x＋2cos 2xsin xsin 2x＋cos 2x17
π π
16．设a∈R，f(x)＝cos x(asin x－cos x)＋cos2 －x 满足f －＝f(0)，求
2 3 π11π
上的最大值和最小值．函数f(x)在，
24 4
a π
解析f(x)＝asin xcos x－cos2x＋sin2x＝sin 2x－cos 2x，由f －＝
f(0)，
2 3 得－
3a1
1，解得a＝23. 222
π
因此f(x)3sin 2x－cos 2x＝2sin 2x－ .
6 π ππ ππ
当x∈ ，时，2x－∈ ，，f(x)为增函数．
3 2 6 3 4π π3π π11π
时，2x－∈ ，，f(x)为减函数．当x∈ ，
24 4 6 2 3 π π 11π
2，故f(x)max＝f ＝2，又因为f ＝3，f
3 4 24 11π
＝2. 所以f(x)min＝f
24
17．已知A，B，C是△ABC的三个内角，向量m＝(2sin B,2－cos 2B)，πB
n＝2sin2 ＋，－1 ，且m⊥n.
4
2
(1)求角B的大小；
(2)求sin A＋cos C的取值范围．
πB
解析(1)因为m⊥n，所以mn＝2sin B2sin －2＋cos 2B＝0，
42
2
1 πB
＋即2sinB1－cos 2－2＋cos 2B＝0，所以sin B＝，又0＜B＜π，
2 42
【苏教版】【步步高】2014届高三数学(理)大一轮复习练习：4.6 二
倍角的三角函数]
所以B＝
π5π或. 66
π 5π
－A ＝sin A 时，sin A＋cos C＝sin A＋cos
6 6
(2)当B＝－
π 3133
A＋A＝A－cos A3sin A－ .
6 2222
5π3
由于0＜A＜，所以sin A＋cos C∈ －3 .
6 2 当B＝
33 5π
时，同理可得sin A＋cos C∈ . 6 22
18．已知向量a＝(1－tan x,1)，b＝(1＋sin 2x＋cos 2x,0)，记函数f(x)＝ab. (1)求函数f(x)的解析式，并指出它的定义域；π π 2 α＋0，＝，且α∈ ，求f(α)．(2)若f
8 52 解析(1)f(x)＝ab＝(1－tan x)(1＋sin 2x＋cos 2x) ＝
cos x－sin x
2x＋2sin xcos x)＝2(cos2x－sin2x)＝2cos 2x.
cos x
π
＋，k∈Z . 2
定义域为x|x≠kπ
π π 2
(2)因为f α＋＝2cos 2α＋＝，
8 4 5 π 2π π5π
所以cos 2α＋＝，且2α＋，
4 104 4 4 π 2
所以sin 2α＋＝.
4 10
π π
所以f(α)＝2cos 2α＝2cos 2α＋－
4 4 π π ππ8
＝2cos 2α＋cos2sin 2α＋sin ＝.
4 4 445
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