《离散傅里叶变换》PPT课件
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➢ n为时域变量，k为频域变量。 ➢ DFT的物理意义：序列x(n)的Z变换在单位圆上的等角距取
样。序列傅里叶变换在区间[0,2π]上的等间隔取样。 ➢ 离散傅里叶变换(DFT)具有唯一性。 ➢ 离散傅里叶变换与离散傅里叶级数没有本质区别，DFT实
际上是离散傅里叶级数的主值，DFT也隐含有周期性。
.
离散傅里叶变换
Discrete Fourier Transform
.
内容提要
离散傅里叶变换 (Discrete Fourier Transform，DFT)是时间 函数是离散的，而且频谱函数也是离散的变换。
➢ 离散傅里叶变换定义 ➢ DFT物理意义 ➢ DFT基本性质 ➢ 讨论频率取样理论。 ➢ DFT的应用
Matlab实现 fft1.m
X(4)=0.46235 X(5)= 0.47017+j0.16987 X(6)= 0.50746+j0.40597 X(7)= 0.71063+j0.92558
.
关于离散傅里叶变换(DFT)：
➢ 序列x(n)在时域是有限长的(长度为N)，它的离散傅里叶变 换X(k)也是离散、有限长的(长度也为N)。
例如，N=7,
=x((n))7，则有
x7 x7 x0 7
x8 x8 x1 7
由此对长度为N的序列x(n)，且xnxn ，则 N
的DFS为
N1
N1
N1
XkxnWN knxnNWN kn xnWN kn
n0
n0
n0
xn N 1N n01XkWN knN 1N n01XkWN kn
3
x(n)W8kn
j 2 kn
e8
n0
N 0
e
j 3k 8
sin(
2
sin(
百度文库
k) k)
,k
0,1, , 7
8
.
3.1.2 DFT与FT、Z变换的关系
对长度为M的序列x(n)，其Z变换
N点DFT
进行对比，可以看出
X k X e j 2 k, k 0 ,1 , ,N 1 N
式中，
表示z平面单位圆上辐角
证明：
N 1
N 1
Y k D F T y n x n m N R N n W N k n x n m N W N k n
这个过程如下图所示。 .
从图中两虚线之 间的主值序列的 移位情况可以看 出，当主值序列 左移m个样本时， 从右边会同时移 进m个样本，而 且好像是刚向左 边移出的那些样 本又从右边循环 移了进来。因此 取名“循环移 位”。 显然，循环移位 不同于线性移位
.
.
.
b) 时域循环移位定理 对长度为N的有限长序列x(n)，其循环移位后序列y(n)的DFT为
XkXkRNk
结论：与DFT定义比较，可见有限长序列x(n)的DFT即X(k)是x(n)的
周期延拓序列
xn N
的离散傅里叶. 级数系数
X
K
的主值序列。
例3. 1 求有限长序列 的DFT，其中a=0.8，N=8。 解：
因此得
X(0)=4.16114 X(1)=0.71063-j0.92558 X(2)=0.50746-j0.40597 X(3)=0.47017-j0.16987
3.2 离散傅里叶变换的性质
DFT隐含着周期性，因此在讨论DFT的性质时，常与DFS的概念 联系起来，并把有限长序列看作周期序列的一个周期来处理。 设x1(n)和x2(n)的长度都为N，且它们对应的DFT分别为X1(k)和X2(k)。 1．线性 设x3(n)=ax1(n)+bx2(n)，a和b都为常数，则
.
3.1 离散傅里叶变换(DFT)
设x(n)是一个长度为M的有限长序列， 则定义x(n)的N点离散
傅里叶变换为
N1
X(k)DFT[x(n)] x(n)WNkn, k=0,1,&,N-1(3.1.1)
n0
X(k)的离散傅里叶逆变换为
X ( k ) D F T [ x ( n ) ] N 1 N n 0 1X ( n ) W N k n ,k = 0 ,1 ,& ,N - 1 ( 3 .1 .2 )
所以式(3.1.1) 中， X(k)满足
N1
X(k mN) x(n)WN(kmN)n
n0 N1
x(n)WNkn X(k)
n0
同理可证明式(3.1.2) 中
x(n+mN)=x(n)
.
任何周期为N的周期序列 x n 都可以看做长度为N的有限长 序列x(n)的周期延拓序列，而x(n)是 x n 的一个周期
式中，WN
j 2
eN
，
N称为DFT变换区间长度,
N≥M，
通常称
(3.1.1)式和(3.1.2)式为离散傅里叶变换对。
Note:有限长序列x(n)的DFT即X.(k)仍是有限长序列。
例 3.1.1 x(n)=R4(n) ，求x(n)的8点和16点DFT.
解：
设变换区间N=8， 则
7
X (k)
x n x n mN m
x n x n RN n
(3.1.5) (3.1.6)
.
定义：
的主值区间：周期序列
中从n=0到N-1的范围
的主值序列：主值区间上的序列
为叙述方便，将式(3.1.5)该写成
xn N
表示x(n)以N为周期的周期延拓序列，符号((n))N表示n对模
N的余数，即
这里k是商。 .
若它们长度不等，取长度最大者，将短的序列通过补零加长，注 意此时DFT与未补零的DFT不相等。
.
2．循环移位性质 a) 序列的循环移位： 一个长度为N的序列x(n)的循环移位定义为
循环移位分3步计算：
(1)将x(n)延拓成周期为N的周期序列
；
(2)将
移位得
或 x((n+m))N；
(3)对 x((n+m))N 取主值得 x((n+m))N·RN(n)。
.
傅里叶变换的各种形式
➢ 连续时间、离散频率的傅里叶变换 对于周期为T的连续时间信号，可以采用傅里叶级数展开：
➢ 连续时间、连续频率的傅里叶变换 对于非周期的连续时间信号，可以进行傅里叶变换：
它在时域和频域都是连续的. 。
➢ 离散时间、连续频率的傅里叶变换 对于非周期的序列，其傅里叶变换在频域是以2π为周 期的连续函数。
.
(k=0,1,…N-1)的N个等间隔点。
说明：序列x(n)的N点DFT是其Z变换在单位圆上的N点等角距取 样，如图3.4(a)。序列x(n)的DFT是其FT在区间[0,2π]上的N点等 间隔取样。如图3.4(b)。
.
3.2.3 DFT的隐含周期性
DFT变换对中
W N kW N (km N), k,m ,N均为整数
样。序列傅里叶变换在区间[0,2π]上的等间隔取样。 ➢ 离散傅里叶变换(DFT)具有唯一性。 ➢ 离散傅里叶变换与离散傅里叶级数没有本质区别，DFT实
际上是离散傅里叶级数的主值，DFT也隐含有周期性。
.
离散傅里叶变换
Discrete Fourier Transform
.
内容提要
离散傅里叶变换 (Discrete Fourier Transform，DFT)是时间 函数是离散的，而且频谱函数也是离散的变换。
➢ 离散傅里叶变换定义 ➢ DFT物理意义 ➢ DFT基本性质 ➢ 讨论频率取样理论。 ➢ DFT的应用
Matlab实现 fft1.m
X(4)=0.46235 X(5)= 0.47017+j0.16987 X(6)= 0.50746+j0.40597 X(7)= 0.71063+j0.92558
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关于离散傅里叶变换(DFT)：
➢ 序列x(n)在时域是有限长的(长度为N)，它的离散傅里叶变 换X(k)也是离散、有限长的(长度也为N)。
例如，N=7,
=x((n))7，则有
x7 x7 x0 7
x8 x8 x1 7
由此对长度为N的序列x(n)，且xnxn ，则 N
的DFS为
N1
N1
N1
XkxnWN knxnNWN kn xnWN kn
n0
n0
n0
xn N 1N n01XkWN knN 1N n01XkWN kn
3
x(n)W8kn
j 2 kn
e8
n0
N 0
e
j 3k 8
sin(
2
sin(
百度文库
k) k)
,k
0,1, , 7
8
.
3.1.2 DFT与FT、Z变换的关系
对长度为M的序列x(n)，其Z变换
N点DFT
进行对比，可以看出
X k X e j 2 k, k 0 ,1 , ,N 1 N
式中，
表示z平面单位圆上辐角
证明：
N 1
N 1
Y k D F T y n x n m N R N n W N k n x n m N W N k n
这个过程如下图所示。 .
从图中两虚线之 间的主值序列的 移位情况可以看 出，当主值序列 左移m个样本时， 从右边会同时移 进m个样本，而 且好像是刚向左 边移出的那些样 本又从右边循环 移了进来。因此 取名“循环移 位”。 显然，循环移位 不同于线性移位
.
.
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b) 时域循环移位定理 对长度为N的有限长序列x(n)，其循环移位后序列y(n)的DFT为
XkXkRNk
结论：与DFT定义比较，可见有限长序列x(n)的DFT即X(k)是x(n)的
周期延拓序列
xn N
的离散傅里叶. 级数系数
X
K
的主值序列。
例3. 1 求有限长序列 的DFT，其中a=0.8，N=8。 解：
因此得
X(0)=4.16114 X(1)=0.71063-j0.92558 X(2)=0.50746-j0.40597 X(3)=0.47017-j0.16987
3.2 离散傅里叶变换的性质
DFT隐含着周期性，因此在讨论DFT的性质时，常与DFS的概念 联系起来，并把有限长序列看作周期序列的一个周期来处理。 设x1(n)和x2(n)的长度都为N，且它们对应的DFT分别为X1(k)和X2(k)。 1．线性 设x3(n)=ax1(n)+bx2(n)，a和b都为常数，则
.
3.1 离散傅里叶变换(DFT)
设x(n)是一个长度为M的有限长序列， 则定义x(n)的N点离散
傅里叶变换为
N1
X(k)DFT[x(n)] x(n)WNkn, k=0,1,&,N-1(3.1.1)
n0
X(k)的离散傅里叶逆变换为
X ( k ) D F T [ x ( n ) ] N 1 N n 0 1X ( n ) W N k n ,k = 0 ,1 ,& ,N - 1 ( 3 .1 .2 )
所以式(3.1.1) 中， X(k)满足
N1
X(k mN) x(n)WN(kmN)n
n0 N1
x(n)WNkn X(k)
n0
同理可证明式(3.1.2) 中
x(n+mN)=x(n)
.
任何周期为N的周期序列 x n 都可以看做长度为N的有限长 序列x(n)的周期延拓序列，而x(n)是 x n 的一个周期
式中，WN
j 2
eN
，
N称为DFT变换区间长度,
N≥M，
通常称
(3.1.1)式和(3.1.2)式为离散傅里叶变换对。
Note:有限长序列x(n)的DFT即X.(k)仍是有限长序列。
例 3.1.1 x(n)=R4(n) ，求x(n)的8点和16点DFT.
解：
设变换区间N=8， 则
7
X (k)
x n x n mN m
x n x n RN n
(3.1.5) (3.1.6)
.
定义：
的主值区间：周期序列
中从n=0到N-1的范围
的主值序列：主值区间上的序列
为叙述方便，将式(3.1.5)该写成
xn N
表示x(n)以N为周期的周期延拓序列，符号((n))N表示n对模
N的余数，即
这里k是商。 .
若它们长度不等，取长度最大者，将短的序列通过补零加长，注 意此时DFT与未补零的DFT不相等。
.
2．循环移位性质 a) 序列的循环移位： 一个长度为N的序列x(n)的循环移位定义为
循环移位分3步计算：
(1)将x(n)延拓成周期为N的周期序列
；
(2)将
移位得
或 x((n+m))N；
(3)对 x((n+m))N 取主值得 x((n+m))N·RN(n)。
.
傅里叶变换的各种形式
➢ 连续时间、离散频率的傅里叶变换 对于周期为T的连续时间信号，可以采用傅里叶级数展开：
➢ 连续时间、连续频率的傅里叶变换 对于非周期的连续时间信号，可以进行傅里叶变换：
它在时域和频域都是连续的. 。
➢ 离散时间、连续频率的傅里叶变换 对于非周期的序列，其傅里叶变换在频域是以2π为周 期的连续函数。
.
(k=0,1,…N-1)的N个等间隔点。
说明：序列x(n)的N点DFT是其Z变换在单位圆上的N点等角距取 样，如图3.4(a)。序列x(n)的DFT是其FT在区间[0,2π]上的N点等 间隔取样。如图3.4(b)。
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3.2.3 DFT的隐含周期性
DFT变换对中
W N kW N (km N), k,m ,N均为整数