第12次 光纤传播
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2 2 2 r 1 2
⇒z=∫
n(0) cos ϕ0 [n 2 (r ) − n 2 (0) cos 2 ϕ0 ]
1 2
0
dr
渐变折射率中子午线的轨迹方程
四、抛物线型折射率分布（α =2）的轨迹方程 抛物线型的折射率分布为： 1 2 2 n(r ) = n(0)(1 − A r ) 2 1 4 4 在A r 很小时，即∆很小，略去高次项( A r ) 4 r n(0) cos ϕ0 z=∫ dr 1 0 [n 2 (0) sin 2 ϕ0 − n 2 (0) A2 r 2 ] 2
一、波动方程（标量形式） 波动方程（标量形式） 拉普拉斯算符、分离变量、 拉普拉斯算符、分离变量、贝塞尔方程 二、场方程 三、特征方程 四、传播特性 模式、导波、截止、 模式、导波、截止、传播常数 五、功率分配（能流） 功率分配（能流） 六、单模光纤传播特性（应用） 单模光纤传播特性（应用）
§4-7 光纤的损耗与色散
传播距离z，用时分别为： tmax = z vz min zn = , cn2
2 1
tmin =
z vz max
zn1 = c
传播单位长度的最大时延差为： tmax − tmin n1 n1 n1 n1 − n2 τ max = = ( − 1) = z c n2 c n2 n1 n1 − n2 n1 ≈ = ∆ c n1 c 当n1 ≈ n2时，
入射光线在ϕ = ϕc时，端面入射角θ 0最大 全反射临界角 sin ϕc = n2 = cos θ1 n1
根据折射定律： n0 sin θ 0 = n1 sin θ1 n1 n1 ∴ sin θ 0 = sin θ1 = 1 − cos 2 θ1 n0 n0 n1 2 = 1 − sin ϕc n0
§4-5 光纤中的射线分析
一、概述 纤芯 由同一种材料制成（石英或塑料） 裸光纤 包层 折射率不同，通过掺杂来控制 涂敷层（保护作用）
实际应用中，光纤通讯铺设的为光缆。 塑料缓冲管 光纤 光缆 加固件 外套
光纤的分类： 按折射率区分 a.阶跃型光纤 n1 − n2 ∆= 相对折射率差 n1
4、子午线的时延差 由于光线入射角的不同，具有不同的轴向 传播速度，产生时延差现象，称为色散。
θ1
θi
θi = 0时，传播速度最大 vz max
c = n1
c θi ≠ 0时，vz = v cos θ = v sin ϕ = sin ϕ n1
ϕ = ϕc时，传播速度最小
vz min c c n2 cn2 = sin ϕc = = 2 n1 n1 n1 n1
（2）材料色散 材料的折射率为波长的函数： n = n(λ ), c v= n(λ )
单一模式中的不同波长具有不同的传播速度 ⇒ 材料色散
λ >1.27µ m,Dm > 0 λ = 1.27 µ m,Dm = 0 λ < 1.27 µ m,Dm < 0
（3）波导色散（略） 由于纤芯和包层折射率略有差别，光波在包层和 纤芯的传播速度不同，从而引起脉冲展宽，产生 色散。 这种由光纤结构引起的色散，称为波导色散。 Dw < 0。当λ = 1.30 µ m时，色度色散为零 Dw + Dm = 0 色度色散在波长1.3µ m处为0 所以光纤通信选用λ = 1.30 µ m光波作为工作波长。
b、梯度型光纤（渐变型光纤）
c、环形光纤
d、W型光纤
a.按折射率区分：阶跃、渐变 b.按模式区分：单模，多模 c.按材料来分：石英，塑料 d.按损耗来分：低、中、高
二、阶跃型光纤的射线分析 1、子午线与子午面 子午线：光线在光纤中传播时，始终在 光线 包含光轴的同一个平面内传播。 斜光线
（3）光纤弯曲 弯曲过大 ⇒ 入射角变小 ⇒ 辐射模
三、渐变型光纤的射线分析 1、折射率分布 dn （a） dr < 0 r增n减), （ (b) dn dr > 0 （r增n增)
常用折射率分布 → 幂函数 r α 1 n(0)[1-2∆( ) ]2，r ≤ a(纤芯)，α =1 → ∞ n(r ) = a n(a ) = n(0)(1-∆)，r ≥ a(包层) n(0)为光纤轴上折射率，∆为相对折射率差， n(a )包层折射率，纤芯折射率由n(0)逐渐 下降到n(a)，α 取值从1 → ∞。当α = 2时， 为平方律分布。 当r = a时， n(a ) = n(0)[1 − 2∆]
例1、一通信系统光纤损耗0.5dB/km，输入 功率为1mW，传播距离长15km，求输出功率。 10 pi α = lg z po ∴ 10 1mW 0.5 = lg 15 po 1mW 0.75 = lg po ⇒ po = 10
−0.75
= 0.178mW
例2、发射功率1mW，接收器的敏感度为50µW 求衰减为0.5dB / km 的光纤的最大传输距离。 10 pi α = lg z po zmax pi = lg α po 10 10 1mW = lg 0.5 0.05mW = 26km
二、 光纤的色散（略） 材料色散 模内色散 波导色散 模间色散 （1） 模间色散 由于光束在光纤内部的模式不同所造成的脉冲 变宽称为模间色散 色度色散
解决方案 a、渐变型 折射率光纤
b、单模光纤 减小纤芯直径和相对折射率差 ∆ = 0.37%，典型数值：d = 8.3µ m ∆ = 0.37%
2 2
=∫
r 2
cos ϕ0 [sin ϕ0 − A r ]
2 2
0
cos ϕ0 dr = 1 A 2
∫
r 2
Байду номын сангаас
1 sin ϕ0 [ −r ] 2 A
1 2 2
0
dr
利用公式∫
x
0
cos ϕ0 r ∴z = ⋅ arcsin sin ϕ0 A A sin ϕ0 A ∴r = ⋅ sin （ z） A cos ϕ0 sin ϕ0 振幅 Rs = , A （空间）角频率： (与入射角有关)
θ 1 + ϕ = 90 0
n2 2 2 2 取n0 = 1， θ 0 = n1 1 − ( ) = n1 − n2 sin n1
定义数值孔径
NA = sin θ 0 = n12 − n2 2 NA = n − n2
2 1 2
n − n2 = n1 2 ⋅ 2n12
2 1
2
= n1 2∆
数值孔径越大，θ 0 越大，进入光纤的光线越多。 多模光纤NA ~ 0.15左右，大的0.3 0.5。
1 2
≈ n(0)[1 − ∆] = n(a )
当α = 2时， r 1 r 2 n(r ) = n(0)[1 − 2∆( ) ] ≈ n(0)[1 − ⋅ 2∆( ) ] a 2 a r 2 = n(0)[1 − ∆( ) ] a ∆ 1 2 令 2 = A a 2 1 2 2 则 n(r ) = n(0)(1 − A r ) 2 抛物线型折射率分布
1 2
3、传播光线的轨迹方程 n(r ) sin θ = n(r ) cos ϕ = 常数 dr sin ϕ 1 P点斜率： = tan ϕ = = ( 2 − 1) dz cos ϕ cos ϕ 在拐点处:
1 2
θ = 90 , ϕ = 0
0
0
r = 0处 → r处 → 拐点处 →
n(0) cos ϕ0 = n(r ) cos ϕ = n( Rs )
τ max
n1 − n2 = c
5、特殊光纤中光线的传播（了解） （1）直径不均匀（（a）的光纤耦合效率高）
（2）光纤端面倾斜 端面倾斜角度α，入射角θ0，折射角θ1，
ϕ为界面入射角，则θ1 =
π
2
−α −ϕ
由折射定律， （ − α − ϕ） n0 sin θ 0 = n1 sin θ1 = n1 sin 2 = n1 cos(α + ϕ ) （ = n1 cos α cos ϕ − sin α sin ϕ） 当ϕ =ϕc时，θ 0为最大入射角 n2 n2 2 此时， ϕc = , cos ϕc = 1 − ( ) sin n1 n1 ∴ n0 sin θ 0 = cos α n12 − n2 2 − sin α ⋅ n2 (4 − 5 − 18)
∫ n(r ) ⋅ dl = n(0) ⋅ L=极值（考虑费马原理）
轴上同一点以不同方向入射的光线，具有相同的空间周期， 形成自聚焦现象。
（近似形式）抛物线型 n(r ) = n(0)(1 − A r )
2 2
r 较小时，二者近似相等。
较难实现
光纤中的电磁波模式理论（自学） §4-6 光纤中的电磁波模式理论（自学） 单模光纤） （单模光纤）
1 2 2
2、数值孔径 由于渐变型光纤的径向折射率随x变化，因此，从端 面不同的点入射，NA也不同，引入局部数值孔径。
局部数值孔径： NA′=n(r )(2∆ r ) , n 2 (r ) − n 2 (a) 式中∆ r = 2n 2 ( r ) a、端面中心入射,r = 0 NA′ = n(0) 2∆ = n 2 (0) − n 2 (a) 与阶跃型光纤相等（是最大值） b、其他点 NA′ = n 2 (r ) − n 2 (a)
2
（4-5-34）
1 n (r ) ∴ −1 = 2 −1 2 2 cos ϕ n (0) cos ϕ0 n (r ) − n (0) cos ϕ0 dr 2 = =( ) 2 2 n (0) cos ϕ0 dz
2 2 2
dz ∴ = dr
n(0) cos ϕ0 [n (r ) − n (0) cos ϕ0 ]
远离通信的传输窗口，对光纤通讯影响不大。
杂质吸收
4、损耗的表示 单位距离光纤的损耗 pi 10 α = ⋅ lg z po （dB / km)
pi 表示从光纤端口输入功率，po 表示传输 距离z后光纤的输出功率。 1967年之前，α > 1000dB / km; 现在0.5～0.2dB / km。
2、相对折射率差∆ 光线在光纤中传播时，与相对折射率差密切相关。 n12 − n2 2 （n1 + n2）(n1 − n2） ∆= = 2 2n1 2n12 n1 ≈ n2， n1 − n2 ∆≈ n1
一般情况，∆ ≈ 0.01，称为弱波导近似。 3、数值孔径 描述光纤收集光线的能力。
θ1 +ϕ =90o
π
若光线从法线另一侧以θ 0′入射 ′ = n12 − n2 2 ⋅ cos α + sin α ⋅ n2 n0 sin θ 0 (4 − 5 − 19)
θ 0′为最大入射角
一般n0 =（空气） 1 sin θ m = NA cos α m sin α ⋅ n2 sin α = 0时， θ m = NA
制约光纤传输信号的因素 损耗 ⇒ 限制长距离传输 色散 ⇒ 脉冲展宽、传输速率下降 一、光纤的损耗 1、弯曲损耗 （1）宏弯损耗 导模 → 辐射模 预防措施： 减小弯曲
（2）微弯损耗 由于光纤局部的凸起或凹陷造成的 制造工艺 起因 机械压力 热量分布不均匀
2、散射损耗 a、线性散射——瑞利散射 由于折射率的不均匀性引起的，与λ 成正比。
x dx = arcsin a a2 − x2
1
A ωs = cos ϕ0
空间周期：
2π L= = cos ϕ0 ωs A
2π
2∆ A= ，a : 纤芯半径 2 a ϕ0小，空间周期L大，振幅Rs小；反之...。
5、自聚焦光纤 不同入射角有不同空间周期 ⇒ 模式色散（不好）。 不同入射角有相同空间周期 ⇒ 双曲正割函数折射率分布： 2 n(r ) = n(0) sec h( Ar ) = n(0) Ar e + e − Ar
-4
b、非线性散射——受激喇曼散射 受激布里渊散射
3、吸收损耗 材料固有吸收： 本征吸收 紫外吸收：光子激发电子产生跃迁 红外吸收：光子与晶格的非弹性碰撞 铁、铜 要求 过渡金属离子 镍、锰、铬 含量<10-9 − OH (氢氧根离子) 吸收峰： µ m， µ m, 0.72µ m 1.38 0.95 损耗 < 1dB / km ⇒ OH −浓度<10-6
⇒z=∫
n(0) cos ϕ0 [n 2 (r ) − n 2 (0) cos 2 ϕ0 ]
1 2
0
dr
渐变折射率中子午线的轨迹方程
四、抛物线型折射率分布（α =2）的轨迹方程 抛物线型的折射率分布为： 1 2 2 n(r ) = n(0)(1 − A r ) 2 1 4 4 在A r 很小时，即∆很小，略去高次项( A r ) 4 r n(0) cos ϕ0 z=∫ dr 1 0 [n 2 (0) sin 2 ϕ0 − n 2 (0) A2 r 2 ] 2
一、波动方程（标量形式） 波动方程（标量形式） 拉普拉斯算符、分离变量、 拉普拉斯算符、分离变量、贝塞尔方程 二、场方程 三、特征方程 四、传播特性 模式、导波、截止、 模式、导波、截止、传播常数 五、功率分配（能流） 功率分配（能流） 六、单模光纤传播特性（应用） 单模光纤传播特性（应用）
§4-7 光纤的损耗与色散
传播距离z，用时分别为： tmax = z vz min zn = , cn2
2 1
tmin =
z vz max
zn1 = c
传播单位长度的最大时延差为： tmax − tmin n1 n1 n1 n1 − n2 τ max = = ( − 1) = z c n2 c n2 n1 n1 − n2 n1 ≈ = ∆ c n1 c 当n1 ≈ n2时，
入射光线在ϕ = ϕc时，端面入射角θ 0最大 全反射临界角 sin ϕc = n2 = cos θ1 n1
根据折射定律： n0 sin θ 0 = n1 sin θ1 n1 n1 ∴ sin θ 0 = sin θ1 = 1 − cos 2 θ1 n0 n0 n1 2 = 1 − sin ϕc n0
§4-5 光纤中的射线分析
一、概述 纤芯 由同一种材料制成（石英或塑料） 裸光纤 包层 折射率不同，通过掺杂来控制 涂敷层（保护作用）
实际应用中，光纤通讯铺设的为光缆。 塑料缓冲管 光纤 光缆 加固件 外套
光纤的分类： 按折射率区分 a.阶跃型光纤 n1 − n2 ∆= 相对折射率差 n1
4、子午线的时延差 由于光线入射角的不同，具有不同的轴向 传播速度，产生时延差现象，称为色散。
θ1
θi
θi = 0时，传播速度最大 vz max
c = n1
c θi ≠ 0时，vz = v cos θ = v sin ϕ = sin ϕ n1
ϕ = ϕc时，传播速度最小
vz min c c n2 cn2 = sin ϕc = = 2 n1 n1 n1 n1
（2）材料色散 材料的折射率为波长的函数： n = n(λ ), c v= n(λ )
单一模式中的不同波长具有不同的传播速度 ⇒ 材料色散
λ >1.27µ m,Dm > 0 λ = 1.27 µ m,Dm = 0 λ < 1.27 µ m,Dm < 0
（3）波导色散（略） 由于纤芯和包层折射率略有差别，光波在包层和 纤芯的传播速度不同，从而引起脉冲展宽，产生 色散。 这种由光纤结构引起的色散，称为波导色散。 Dw < 0。当λ = 1.30 µ m时，色度色散为零 Dw + Dm = 0 色度色散在波长1.3µ m处为0 所以光纤通信选用λ = 1.30 µ m光波作为工作波长。
b、梯度型光纤（渐变型光纤）
c、环形光纤
d、W型光纤
a.按折射率区分：阶跃、渐变 b.按模式区分：单模，多模 c.按材料来分：石英，塑料 d.按损耗来分：低、中、高
二、阶跃型光纤的射线分析 1、子午线与子午面 子午线：光线在光纤中传播时，始终在 光线 包含光轴的同一个平面内传播。 斜光线
（3）光纤弯曲 弯曲过大 ⇒ 入射角变小 ⇒ 辐射模
三、渐变型光纤的射线分析 1、折射率分布 dn （a） dr < 0 r增n减), （ (b) dn dr > 0 （r增n增)
常用折射率分布 → 幂函数 r α 1 n(0)[1-2∆( ) ]2，r ≤ a(纤芯)，α =1 → ∞ n(r ) = a n(a ) = n(0)(1-∆)，r ≥ a(包层) n(0)为光纤轴上折射率，∆为相对折射率差， n(a )包层折射率，纤芯折射率由n(0)逐渐 下降到n(a)，α 取值从1 → ∞。当α = 2时， 为平方律分布。 当r = a时， n(a ) = n(0)[1 − 2∆]
例1、一通信系统光纤损耗0.5dB/km，输入 功率为1mW，传播距离长15km，求输出功率。 10 pi α = lg z po ∴ 10 1mW 0.5 = lg 15 po 1mW 0.75 = lg po ⇒ po = 10
−0.75
= 0.178mW
例2、发射功率1mW，接收器的敏感度为50µW 求衰减为0.5dB / km 的光纤的最大传输距离。 10 pi α = lg z po zmax pi = lg α po 10 10 1mW = lg 0.5 0.05mW = 26km
二、 光纤的色散（略） 材料色散 模内色散 波导色散 模间色散 （1） 模间色散 由于光束在光纤内部的模式不同所造成的脉冲 变宽称为模间色散 色度色散
解决方案 a、渐变型 折射率光纤
b、单模光纤 减小纤芯直径和相对折射率差 ∆ = 0.37%，典型数值：d = 8.3µ m ∆ = 0.37%
2 2
=∫
r 2
cos ϕ0 [sin ϕ0 − A r ]
2 2
0
cos ϕ0 dr = 1 A 2
∫
r 2
Байду номын сангаас
1 sin ϕ0 [ −r ] 2 A
1 2 2
0
dr
利用公式∫
x
0
cos ϕ0 r ∴z = ⋅ arcsin sin ϕ0 A A sin ϕ0 A ∴r = ⋅ sin （ z） A cos ϕ0 sin ϕ0 振幅 Rs = , A （空间）角频率： (与入射角有关)
θ 1 + ϕ = 90 0
n2 2 2 2 取n0 = 1， θ 0 = n1 1 − ( ) = n1 − n2 sin n1
定义数值孔径
NA = sin θ 0 = n12 − n2 2 NA = n − n2
2 1 2
n − n2 = n1 2 ⋅ 2n12
2 1
2
= n1 2∆
数值孔径越大，θ 0 越大，进入光纤的光线越多。 多模光纤NA ~ 0.15左右，大的0.3 0.5。
1 2
≈ n(0)[1 − ∆] = n(a )
当α = 2时， r 1 r 2 n(r ) = n(0)[1 − 2∆( ) ] ≈ n(0)[1 − ⋅ 2∆( ) ] a 2 a r 2 = n(0)[1 − ∆( ) ] a ∆ 1 2 令 2 = A a 2 1 2 2 则 n(r ) = n(0)(1 − A r ) 2 抛物线型折射率分布
1 2
3、传播光线的轨迹方程 n(r ) sin θ = n(r ) cos ϕ = 常数 dr sin ϕ 1 P点斜率： = tan ϕ = = ( 2 − 1) dz cos ϕ cos ϕ 在拐点处:
1 2
θ = 90 , ϕ = 0
0
0
r = 0处 → r处 → 拐点处 →
n(0) cos ϕ0 = n(r ) cos ϕ = n( Rs )
τ max
n1 − n2 = c
5、特殊光纤中光线的传播（了解） （1）直径不均匀（（a）的光纤耦合效率高）
（2）光纤端面倾斜 端面倾斜角度α，入射角θ0，折射角θ1，
ϕ为界面入射角，则θ1 =
π
2
−α −ϕ
由折射定律， （ − α − ϕ） n0 sin θ 0 = n1 sin θ1 = n1 sin 2 = n1 cos(α + ϕ ) （ = n1 cos α cos ϕ − sin α sin ϕ） 当ϕ =ϕc时，θ 0为最大入射角 n2 n2 2 此时， ϕc = , cos ϕc = 1 − ( ) sin n1 n1 ∴ n0 sin θ 0 = cos α n12 − n2 2 − sin α ⋅ n2 (4 − 5 − 18)
∫ n(r ) ⋅ dl = n(0) ⋅ L=极值（考虑费马原理）
轴上同一点以不同方向入射的光线，具有相同的空间周期， 形成自聚焦现象。
（近似形式）抛物线型 n(r ) = n(0)(1 − A r )
2 2
r 较小时，二者近似相等。
较难实现
光纤中的电磁波模式理论（自学） §4-6 光纤中的电磁波模式理论（自学） 单模光纤） （单模光纤）
1 2 2
2、数值孔径 由于渐变型光纤的径向折射率随x变化，因此，从端 面不同的点入射，NA也不同，引入局部数值孔径。
局部数值孔径： NA′=n(r )(2∆ r ) , n 2 (r ) − n 2 (a) 式中∆ r = 2n 2 ( r ) a、端面中心入射,r = 0 NA′ = n(0) 2∆ = n 2 (0) − n 2 (a) 与阶跃型光纤相等（是最大值） b、其他点 NA′ = n 2 (r ) − n 2 (a)
2
（4-5-34）
1 n (r ) ∴ −1 = 2 −1 2 2 cos ϕ n (0) cos ϕ0 n (r ) − n (0) cos ϕ0 dr 2 = =( ) 2 2 n (0) cos ϕ0 dz
2 2 2
dz ∴ = dr
n(0) cos ϕ0 [n (r ) − n (0) cos ϕ0 ]
远离通信的传输窗口，对光纤通讯影响不大。
杂质吸收
4、损耗的表示 单位距离光纤的损耗 pi 10 α = ⋅ lg z po （dB / km)
pi 表示从光纤端口输入功率，po 表示传输 距离z后光纤的输出功率。 1967年之前，α > 1000dB / km; 现在0.5～0.2dB / km。
2、相对折射率差∆ 光线在光纤中传播时，与相对折射率差密切相关。 n12 − n2 2 （n1 + n2）(n1 − n2） ∆= = 2 2n1 2n12 n1 ≈ n2， n1 − n2 ∆≈ n1
一般情况，∆ ≈ 0.01，称为弱波导近似。 3、数值孔径 描述光纤收集光线的能力。
θ1 +ϕ =90o
π
若光线从法线另一侧以θ 0′入射 ′ = n12 − n2 2 ⋅ cos α + sin α ⋅ n2 n0 sin θ 0 (4 − 5 − 19)
θ 0′为最大入射角
一般n0 =（空气） 1 sin θ m = NA cos α m sin α ⋅ n2 sin α = 0时， θ m = NA
制约光纤传输信号的因素 损耗 ⇒ 限制长距离传输 色散 ⇒ 脉冲展宽、传输速率下降 一、光纤的损耗 1、弯曲损耗 （1）宏弯损耗 导模 → 辐射模 预防措施： 减小弯曲
（2）微弯损耗 由于光纤局部的凸起或凹陷造成的 制造工艺 起因 机械压力 热量分布不均匀
2、散射损耗 a、线性散射——瑞利散射 由于折射率的不均匀性引起的，与λ 成正比。
x dx = arcsin a a2 − x2
1
A ωs = cos ϕ0
空间周期：
2π L= = cos ϕ0 ωs A
2π
2∆ A= ，a : 纤芯半径 2 a ϕ0小，空间周期L大，振幅Rs小；反之...。
5、自聚焦光纤 不同入射角有不同空间周期 ⇒ 模式色散（不好）。 不同入射角有相同空间周期 ⇒ 双曲正割函数折射率分布： 2 n(r ) = n(0) sec h( Ar ) = n(0) Ar e + e − Ar
-4
b、非线性散射——受激喇曼散射 受激布里渊散射
3、吸收损耗 材料固有吸收： 本征吸收 紫外吸收：光子激发电子产生跃迁 红外吸收：光子与晶格的非弹性碰撞 铁、铜 要求 过渡金属离子 镍、锰、铬 含量<10-9 − OH (氢氧根离子) 吸收峰： µ m， µ m, 0.72µ m 1.38 0.95 损耗 < 1dB / km ⇒ OH −浓度<10-6