隐函数连续求两次偏导

隐函数连续求两次偏导
设函数 F(x,y)=0 为一个隐函数，其中 F:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} 是一个连续可微函数。

我们希望求出该隐函数的两次偏导数。

考虑对 x 进行求导。

令 G(x)=F(x,y)，则可以将隐函数 F(x,y)=0 视为 G(x)=0。

根据链式法则，有
\frac{{dG}}{{dx}} = \frac{{dF}}{{dx}} + \frac{{dF}}{{dy}} \cdot
\frac{{dy}}{{dx}} = 0.
考虑 \frac{{dy}}{{dx}} 的情况，可以将其视为关于 x 和 y 的函数，即
\frac{{dy}}{{dx}} = \phi(x, y)。

我们可以通过求导的方法求得 \frac{{dy}}{{dx}}。

对于 G(x)=F(x,y)，可以对两边同时对 x 求导，即
\frac{{d}}{{dx}}(G(x)) = \frac{{d}}{{dx}}(F(x,y)) = \frac{{dF}}{{dx}} +
\frac{{dF}}{{dy}} \cdot \frac{{dy}}{{dx}} = 0.
由此可得
\frac{{dy}}{{dx}} = -\frac{{\frac{{dF}}{{dx}}}}{{\frac{{dF}}{{dy}}}}.
接下来，我们再对 \frac{{dy}}{{dx}} 求导。

对上述结果两边同时对 x 求导，可以得到
\frac{{d}}{{dx}}\left(\frac{{dy}}{{dx}}\right) =
\frac{{d}}{{dx}}\left(-\frac{{\frac{{dF}}{{dx}}}}{{\frac{{dF}}{{dy}}}}\right).
通过应用商法则和链式法则，我们可以简化此表达式。

我们可以求出连续可微函数 F 的二阶偏导数 \frac{{d^2 y}}{{dx^2}} 的表达式。

注意：上述推导仅为一种示例，并可能依赖于具体的函数 F。

具体情况下，可能需要更具体的方法来求解隐函数的两次偏导数。