河北省邯郸市魏徵中学2020年高三数学文联考试卷含解析

河北省邯郸市魏徵中学2020年高三数学文联考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 如图，格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积为
A．B．6π
C．D．12π
参考答案：
C
2. 已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，双曲线C2的方程为﹣=1，C1与C2的离心率之积
为，则C2的渐近线方程为（）
A．x±y=0 B．x±y=0C．x±2y=0D．2x±y=0
参考答案：
A
【考点】KC：双曲线的简单性质．
【分析】求出椭圆与双曲线的离心率，然后推出ab关系，即可求解双曲线的渐近线方程．
【解答】解：a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，C1的离心率为：，
双曲线C2的方程为﹣=1，C2的离心率为：，
∵C1与C2的离心率之积为，∴，
∴=， =，
C2的渐近线方程为：y=，即x±y=0．
故选：A．
3. 函数的图像与直线相切，则等于（）
A． B. C. D.
参考答案：
D
4. 宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n=（）
A．2 B．3 C．4 D．5
参考答案：
C
【考点】EF：程序框图．
【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】解：当n=1时，a=，b=4，满足进行循环的条件，
当n=2时，a=，b=8满足进行循环的条件，
当n=3时，a=，b=16满足进行循环的条件，
当n=4时，a=，b=32不满足进行循环的条件，
故输出的n值为4，
故选C．
5. “”是“直线和直线互相垂直”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
参考答案：
6. 对于函数①，②，
③.判断如下两个命题的真假：
命题甲：在区间上是增函数；
命题乙：在区间上恰有两个零点，且。

能使命题甲、乙均为真的函数的序号是（）
A．① B．② C．①③ D．①②
参考答案：
D
略
7. 当时，执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A. 6 B. 8 C. 14 D. 30
参考答案：
D
逐步执行框图中的循环体，直到跳出循环体，可以得到.
解答：第一次循环，，第二次循环，，第三次循环，，第四次循环，，结束循环，输出，故选D．
说明：本题考查程序框图.
8. 已知成等差数列，成等比数列，且，则的取值范围是
（）
（A）（B）（C）（D）或
参考答案：
B
9. 存在直线与双曲线相交于A、B、C、D四点，若四边形ABCD为正方形，则双曲线离心率的取值范围为.
A． B． C． D．
参考答案：
A
10. 已知数列{a n}中，，且对任意的，，都有
，则
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
参考答案：
D
取m ＝1得，
，即
，从而
即
，求得
，
故选D. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数则
=
参考答案：
12.
已知集合
，
，则A ∩B =____.
参考答案：
【分析】
利用交集定义直接求解． 【详解】
集合
，
，
．
故答案为：
．
【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函
数与方程思想，是基础题．
13. 在
中，已知=1，则面积的最大值是 。

参考答案：
14. 设
，
，记函数
，
的最大值为函数
，则函数
的最小
值为 ．
参考答案：
15. 已知数列{a n }的前n 项的和S n 满足log 2（S n +1）=n ，则a n = ．
参考答案：
2n ﹣1
【考点】数列的求和；数列递推式．
【专题】计算题．
【分析】根据log 2（S n +1）=n ，可得S n 的公式，进而代入a n =S n ﹣S n ﹣1中即可求得a n 【解答】解：由log 2（S n +1）=n 得S n +1=2n ，∴S n =2n ﹣1， ∴a 1=S 1=2﹣1=1，a n =S n ﹣S n ﹣1=（2n
﹣1）﹣（2
n ﹣1
﹣1）=2n ﹣2n ﹣1=2n ﹣1
；
∴a n =2n ﹣1． 2
n ﹣1
；
【点评】本题主要考查数列的求和问题．属基础题．
16. 设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式<0的解集为________． 参考答案： (－1,0)∪(0,1)
17. 如右图,该程序运行后输出的结果为__________.
参考答案：
16
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且=．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）点D满足=2，且线段AD=3，求2a+c的最大值．
参考答案：
【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．
【分析】（Ⅰ）由正弦定理和余弦定理，即可求出cosB以及B的值；
（Ⅱ）结合题意画出图形，根据图形利用余弦定理和基本不等式，即可求出2a+c的值．
【解答】解：（Ⅰ）△ABC中， =，
∴=，
∴ac﹣c2=a2﹣b2，
∴ac=a2+c2﹣b2，
∴cosB===；
又B∈（0，π），
∴B=；
（Ⅱ）如图所示，点D满足=2，∴BC=CD；
又线段AD=3，
∴AD2=c2+4a2﹣2?c?2acos=c2+4a2﹣2ac=9，
∴c2+4a2=9+2ac；
又c2+4a2≥2c?2a，
∴4ac≤9+2ac，
∴2ac≤9；
∴（2a+c）2=4a2+4ac+c2=9+6ac≤9+3×9=36，
∴2a+c≤6，
即2a+c的最大值为6．
【点评】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用问题，也考查了基本不等式的应用问题，是综合题．19. 已知关于的不等式（）.
（1）当时，求此不等式的解集；
（2）若此不等式的解集为，求实数的取值范围．
参考答案：
（1）当时,得, 即, 解得,
∴不等式的解集为．………………………………………………5分
（2）∵∴原不等式解集为R等价于∴
∵，∴∴实数的取值范围为．………………………10分
20. 某商场共五层，从五层下到四层有3个出口，从三层下到二层有4个出口，从二层下到一层有4个出口，从一层走出商场有6个出口。

安全部门在每层安排了一名警员值班，负责该层的安保工作。

假设每名警员到该层各出口处的时间相等，某罪犯在五楼犯案后，欲逃出商场，各警员同时接到指
令，选择一个出口进行围堵。

逃犯在每层选择出口是等可能的。

已知他被三楼警员抓获的概率为．（Ⅰ）问四层下到三层有几个出口？
（Ⅱ）天网恢恢，疏而不漏，犯罪嫌疑人最终落入法网。

设抓到逃犯时，他已下了层楼，写出
的
分布列，并求
．
参考答案：
解：（1）设四层下到三层有个出口，恰好被三楼的警员抓获，说明五层及四层的警员均没有与他相遇。

，解得
（2）可能取值为0,1,2,3,4,5
略
21. （本题满分12分） 已知函数
，在点(1,f(1))处的切线方程为y+2=0.
(1)求函数f(x)解析式；
（2）若对于区间[-2,2]上的任意两个自变量都有
，求实数c 的最小值；
（3）若过点M （2，m ）(m
2)可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m 的取值范围；
参考答案：
（1）由已知得
，根据题意，得
即
解得
（2）由（1）知则
令
又f(-1)=2,f(1)=-2,f(-2)=-
2,f(2)=2,
(3)设切点为（
，则
切线的斜率为
则有
，即
过点M(2,m)可作曲线y=f(x)的三条切线，方程
有三个不同的实数解，
有三个不同的零点，
令解得x=0,x=2,
22. （本小题满分12分）
某校举行环保知识竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从得分不低于50分的试卷中随机抽取100名学生的成绩（得分均为正数，满分100分），进行统计，请根据频率分布表中所提供的数据，解答下列问题： (Ⅰ)求、的值；
(Ⅱ)若从成绩较好的第3、4、5组中，按分层抽样的方法抽取6人参加社区志愿者活动，并从中选出2人做负责人，求2人中至少有1人是第四组的概率.
参考答案：
略。