福建省宁德市霞浦第一中学平面向量及其应用练习题(有答案)doc

一、多选题
1．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S .下列
ABC 有关的结论，正确的是（ ） A ．cos cos 0A B +>
B ．若a b >，则cos2cos2A B <
C ．24sin sin sin S R A B C =，其中R 为ABC 外接圆的半径
D ．若ABC 为非直角三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=
2．已知ABC 的面积为3，在ABC 所在的平面内有两点P ，Q ，满足20PA PC +=，
2QA QB =，记APQ 的面积为S ，则下列说法正确的是（ ）
A ．//P
B CQ B ．2133
BP BA BC =
+ C ．0PA PC ⋅<
D ．2S =
3．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，下列说法正确的有（ ）
A ．::sin :sin :sin a b c A
B
C = B ．若sin 2sin 2A B =，则a b = C ．若sin sin A B >，则A B >
D ．
sin sin sin +=+a b c A B C
4．已知点()4,6A ，33,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，与向量AB 平行的向量的坐标可以是（ ）
A ．14,33⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．97,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．14,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭
D ．(7，9)
5．ABC 中，2AB =，30ACB ∠=︒，则下列叙述正确的是（ ） A ．ABC 的外接圆的直径为4.
B ．若4A
C =，则满足条件的ABC 有且只有1个 C ．若满足条件的ABC 有且只有1个，则4AC =
D ．若满足条件的ABC 有两个，则24AC <<
6．在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，不解三角形，确定下列判断错误的是（ ）
A ．
B ＝60°，c ＝4，b ＝5，有两解 B ．B ＝60°，c ＝4，b ＝3.9，有一解
C ．B ＝60°，c ＝4，b ＝3，有一解
D ．B ＝60°，c ＝4，b ＝2，无解
7．在RtABC 中，BD 为斜边AC 上的高，下列结论中正确的是（ ）
A ．2
AB AB AC B ．2
BC CB AC C ．2AC
AB BD
D ．2
BD
BA BD
BC BD
8．在ABC 中，若30B =︒，23AB =2AC =，则C 的值可以是（ ） A ．30° B ．60°
C ．120°
D ．150°
9．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列结论中正确的是
（ ）
A ．若a b >，则sin sin A
B >
B ．若sin 2sin 2A B =，则AB
C 是等腰三角形 C ．若cos cos a B b A c -=，则ABC 是直角三角形
D ．若2220a b c +->，则ABC 是锐角三角形
10．设向量a ，b 满足1a b ==，且25b a -=，则以下结论正确的是（ ） A ．a b ⊥
B ．2a b +=
C ．2a b -=
D ．,60a b =︒
11．给出下列命题正确的是（ ） A ．一个向量在另一个向量上的投影是向量 B ．a b a b a +=+⇔与b 方向相同 C ．两个有共同起点的相等向量，其终点必定相同
D ．若向量AB 与向量CD 是共线向量，则点,,,A B C D 必在同一直线上
12．在ABCD 中，设AB a =，AD b =，AC c =，BD d =，则下列等式中成立的是（ ） A ．a b c +=
B ．a d b +=
C ．b d a +=
D ．a b c +=
13．给出下面四个命题，其中是真命题的是（ ） A ．0AB
BA B ．AB BC AC C ．AB AC BC += D ．00AB +=
14．下列命题中正确的是( ) A ．单位向量的模都相等
B ．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量
C ．若a 与b 满足a b >，且a 与b 同向,则a b >
D ．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同
15．下列命题中正确的是( )
A ．对于实数m 和向量,a b ,恒有()m a b ma mb -=-
B ．对于实数,m n 和向量a ,恒有()m n a ma na -=-
C ．若()ma mb m =∈R ,则有a b =
D ．若(,,0)ma na m n a =∈≠R ,则m n =
二、平面向量及其应用选择题
16．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若222sin sin sin 0A B C +-=，
2220a c b ac +--=，2c =，则a =（ ）
A 3
B ．1
C ．
12
D 317．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设S 为ABC ∆的面积，满足cos cos b A a B =，且角B 是角A 和角C 的等差中项，则ABC ∆的形状为（ ） A ．不确定 B ．直角三角形 C ．钝角三角形
D ．等边三角形
18．ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a b c ，
，.①若A B >，则sin sin A B >；②若sin 2sin 2A B =，则ABC 一定为等腰三角形；③若cos cos a B b A c -=，则
ABC 一定为直角三角形；④若3
B π
=
，2a =，且该三角形有两解，则b 的范围是
)
3+∞.以上结论中正确的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
19．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a B b A c +=.若
2a =，ABC 的面积为3(21)，则b c +=（ ）
A ．5
B ．2
C ．4
D ．16
20．已知非零向量AB ，AC 满足0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭
，且1
||||2AB AC AB AC =，则ABC ∆的形状是( ) A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰（非等边）三角形
D ．等边三角形
21．在三角形ABC 中，若三个内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，1a =，42c =45B =︒，则sin C 的值等于（ ）
A ．
4
41
B ．
45
C ．
425
D ．
41
41
22．在ABC ∆中，D 为BC 中点，且1
2
AE ED =，若BE AB AC λμ=+，则λμ+=（ ）
A ．1
B ．23
-
C ．13
-
D ．34
-
23．在ABC 中，AD 、BE 、CF 分别是BC 、CA 、AB 上的中线，它们交于点G ，则下列各等式中不正确．．．的是（ ） A ．2
3BG BE = B ．2CG GF = C ．1
2
DG AG =
D ．0GA GB GC ++=
24．若O 为ABC 所在平面内任意一点，且满足()
20BC OB OC OA ⋅+-=，则
ABC 一定为（ ）
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．钝角三角形
25．ABC 中，5AB AC ==，6BC =，则此三角形的外接圆半径是（ ） A ．4
B ．
72
C ．
258
D ．
259
26．已知ABC
中，1,30a b A ︒===，则B 等于（ ）
A ．60°
B ．120°
C ．30°或150°
D ．60°或120°
27．已知M (3，－2)，N (－5，－1)，且1
2
MP MN =，则P 点的坐标为( ) A ．(－8,1) B ．31,2⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭
C ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．(8，－1)
28．在ABC 中，若 cos a b C =，则ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形
D ．等腰或直角三角形
29．设(),1A a ，()2,1B -，()4,5C 为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若OA 与OB 在
OC 方向上的投影相同，则a =（ ）
A ．1
2
-
B ．
12
C ．-2
D ．2
30．ABC ∆中，22:tan :tan a b A B =，则ABC ∆一定是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形
D ．等腰或直角三角形
31．已知点O 是ABC ∆内一点，满足2OA OB mOC +=，4
7
AOB ABC S S ∆∆=，则实数m 为（ ） A ．2
B ．-2
C ．4
D ．-4
32．在ABC ∆中，8AB =，6AC =，60A ∠=，M 为ABC ∆的外心，若
AM AB AC λμ=+，λ、R μ∈，则43λμ+=（ ）
A ．
34
B ．
53
C ．
73
D ．
83
33．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos 2c A a C c +=且
a b =，则cos B 等于（ ）
A ．
4
B ．
14
C ．
4
D ．
2
34．在ABC 中，AB AC BA BC CA CB →
→
→
→
→
→
⋅=⋅=⋅，则ABC 的形状为（ ）． A ．钝角三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形
D ．不确定
35．在△ABC 中，M 是BC 的中点．若AB ＝a ，BC ＝b ，则AM ＝( ) A ．
1
()2
a b + B ．
1
()2
a b - C ．
1
2
a b + D ．12
a b +
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一、多选题 1．ABD 【分析】
对于A ，利用及余弦函数单调性，即可判断；对于B ，由，可得，根据二倍角的余弦公式，即可判断；对于C ，利用和正弦定理化简，即可判断；对于D ，利用两角和的正切公式进行运算，即可判断. 【 解析：ABD 【分析】
对于A ，利用A B π+<及余弦函数单调性，即可判断；对于B ，由a b >，可得
sin sin A B >，根据二倍角的余弦公式，即可判断；对于C ，利用in 1
2
s S ab C =和正弦定
理化简，即可判断；对于D ，利用两角和的正切公式进行运算，即可判断. 【详解】
对于A ，∵A B π+<，∴0A B ππ<<-<，根据余弦函数单调性，可得
()cos cos cos A B B π>-=-，∴cos cos 0A B +>，故A 正确；
对于B ，若sin sin a b A B >⇔>，则22sin sin A B >，则2212sin 12sin A B -<-，即
cos2cos2A B <，故B 正确；
对于C ，211
sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22
S ab C R A R B C R A B C ==⋅⋅⋅=，故C 错误；
对于D ，在ABC 为非直角三角形，()tan tan tan tan 1tan tan B C
A B C B C
+=-+=-
-⋅，则
tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，故D 正确. 故选：ABD. 【点睛】
本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，三角函数基本性质．考查了推理和归纳的能力．
2．BCD 【分析】
本题先确定B 是的中点，P 是的一个三等分点，判断选项A 错误，选项C 正确；
再通过向量的线性运算判断选项B 正确；最后求出，故选项D 正确. 【详解】 解：因为，，
所以B 是的中点，P 是的
解析：BCD 【分析】
本题先确定B 是AQ 的中点，P 是AC 的一个三等分点，判断选项A 错误，选项C 正确； 再通过向量的线性运算判断选项B 正确；最后求出2APQ S =△，故选项D 正确. 【详解】
解：因为20PA PC +=，2QA QB =，
所以B 是AQ 的中点，P 是AC 的一个三等分点，如图：故选项A 错误，选项C 正确；
因为()
121
333
BP BA AP BA BC BA BA BC =+=+
-=+，故选项B 正确；
因为
112223132
APQ ABC
AB h
S S AB h ⨯⨯==⋅△△，所以，2APQ S =△，故选项D 正确. 故选：BCD 【点睛】
本题考查平面向量的线性运算、向量的数量积、三角形的面积公式，是基础题.
3．ACD 【分析】
根据正弦定理的性质即可判断. 【详解】
对于A ，在，由正弦定理得，则，故A 正确； 对于B ，若，则或，所以和不一定相等，故B 错误； 对于C ，若，由正弦定理知，由于三角形中，大边对大角
解析：ACD 【分析】
根据正弦定理的性质即可判断. 【详解】
对于A ，在ABC ，由正弦定理得
2sin sin sin a b c
R A B C
===，则::2sin :2sin :2sin sin :sin :sin a b c R A R B R C A B C ==，故A 正确；
对于B ，若sin 2sin 2A B =，则A B =或2
A B π
+=，所以a 和b 不一定相等，故B 错
误；
对于C ，若sin sin A B >，由正弦定理知a b >，由于三角形中，大边对大角，所以
A B >，故C 正确；
对于D ，由正弦定理得
2sin sin sin a b c
R A B C
===，则2sin 2sin 2sin sin sin sin b c R B R C
R B C B C ++==++，故D 正确.
故选：ACD. 【点睛】
本题考查正弦定理的应用，属于基础题. 4．ABC
【分析】
先求出向量的坐标，然后由向量平行的条件对选项进行逐一判断即可. 【详解】 由点，，则
选项A . ,所以A 选项正确. 选项B. ,所以B 选项正确. 选项C . ,所以C 选
解析：ABC 【分析】
先求出向量AB 的坐标，然后由向量平行的条件对选项进行逐一判断即可. 【详解】
由点()4,6A ，33,2B ⎛
⎫- ⎪⎝⎭，则972，
AB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
选项A . 914
73023
⎛⎫-⨯--⨯= ⎪⎝⎭,所以A 选项正确. 选项B. 9977022⎛⎫
-⨯
--⨯= ⎪⎝⎭
,所以B 选项正确. 选项C .
()91473023⎛⎫⎛⎫
-⨯---⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,所以C 选项正确. 选项D. 979702⎛⎫
-⨯--⨯≠ ⎪⎝⎭
,所以选项D 不正确 故选：ABC 【点睛】
本题考查根据点的坐标求向量的坐标，根据向量的坐标判断向量是否平行，属于基础题.
5．ABD 【分析】
根据正弦定理，可直接判断的对错，然后，，三个选项，都是已知两边及一边的对角，判断解得个数的问题，做出图象，构造不等式即可． 【详解】
解：由正弦定理得，故正确； 对于，，选项：如图
解析：ABD 【分析】
根据正弦定理，可直接判断A 的对错，然后B ，C ，D 三个选项，都是已知两边及一边的对角，判断解得个数的问题，做出图象，构造不等式即可． 【详解】
解：由正弦定理得2
24sin sin30AB R ACB =
==∠︒
，故A 正确；
对于B ，C ，D 选项：如图：以A 为圆心，2AB =为半径画圆弧，该圆弧与射线CD 的交点个数，即为解得个数． 易知当
1
22
x =，或即4AC =时，三角形ABC 为直角三角形，有唯一解；
当2AC AB ==时，三角形ABC 是等腰三角形，也是唯一解；
当AD AB AC <<，即1
22
x x <<，24x ∴<<时，满足条件的三角形有两个．
故B ，D 正确，C 错误． 故选：ABD ．
【点睛】
本题考查已知两边及一边的对角的前提下，三角形解得个数的判断问题．属于中档题．
6．ABC 【分析】
根据判断三角形解的个数的结论：若为锐角，当时，三角形有唯一解；当时，三角形有两解；当时，三角形无解：当时，三角形有唯一解.逐个判断即可得解. 【详解】
对于，因为为锐角且，所以三角
解析：ABC 【分析】
根据判断三角形解的个数的结论：若B 为锐角，当c b <时，三角形有唯一解；当
sin c B b c <<时，三角形有两解；当sin c B b >时，三角形无解：当sin c B b =时，三角形有唯一解.逐个判断即可得解. 【详解】
对于A ，因为B 为锐角且45c b =<=，所以三角形ABC 有唯一解，故A 错误；
对于B ，因为B 为锐角且3
sin 423 3.92
c B b c =⨯==<，所以三角形ABC 有两解，故B 错误；
对于C ，因为B 为锐角且 3
sin 4233c B b ==>=，所以三角形ABC 无解，故C 错误；
对于D ，因为B 为锐角且3
sin 4232c B b ==>=，所以三角形ABC 无解，故D 正确. 故选：ABC. 【点睛】
本题考查了判断三角形解的个数的方法，属于基础题.
7．AD 【分析】
根据向量的数量积关系判断各个选项的正误. 【详解】
对于A ，，故A 正确； 对于B ，，故B 错误； 对于C ，,故C 错误； 对于D ，, ,故D 正确. 故选：AD. 【点睛】 本题考查三角形
解析：AD 【分析】
根据向量的数量积关系判断各个选项的正误. 【详解】 对于A ，2
cos AB AB AC AB AC A AB AC
AB AC
，故A 正确；
对于B ，
2
cos cos CB CB AC CB AC C CB AC C CB AC
CB AC
，
故B 错误； 对于C ，
2
cos cos BD AB BD AB BD ABD AB BD ABD AB BD
BD
AB
,故C 错误； 对于D ，2
cos BD BA BD
BA BD ABD BA BD BD BA
,
2
cos BD BC BD
BC BD CBD BC BD
BD BC
,故D 正确.
故选：AD. 【点睛】
本题考查三角形中的向量的数量积问题，属于基础题.
8．BC
【分析】
由题意结合正弦定理可得，再由即可得解.
【详解】
由正弦定理可得，所以，
又，所以，
所以或.
故选：BC.
【点睛】
本题考查了正弦定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.
解析：BC
【分析】
由题意结合正弦定理可得sin 2
C =
，再由()0,150C ∈︒︒即可得解. 【详解】 由正弦定理可得sin sin AB AC C B =
，所以1sin 2sin 2AB B C AC ⋅===， 又30B =︒，所以()0,150C ∈︒︒，
所以60C =︒或120C =︒.
故选：BC.
【点睛】
本题考查了正弦定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.
9．AC
【分析】
对选项A ，利用正弦定理边化角公式即可判断A 正确；对选项B ，首先利用正弦二倍角公式得到，从而得到是等腰三角形或直角三角形，故B 错误；对选项C ，利用正弦定理边化角公式和两角和差公式即可判
解析：AC
【分析】
对选项A ，利用正弦定理边化角公式即可判断A 正确；对选项B ，首先利用正弦二倍角公式得到sin cos sin cos A A B B =，从而得到ABC 是等腰三角形或直角三角形，故B 错误；对选项C ，利用正弦定理边化角公式和两角和差公式即可判断C 正确；对D ，首先根据余弦定理得到A 为锐角，但B ，C 无法判断，故D 错误.
【详解】
对选项A ，2sin 2sin sin sin a b r A r B A B >⇒>⇒>，故A 正确；
对选项B ，因为sin 2sin 2sin cos sin cos A B A A B B =⇒=
所以A B =或2A B π
+=，则ABC 是等腰三角形或直角三角形.故B 错误；
对选项C ，因为cos cos a B b A c -=，
所以()sin cos sin cos sin sin A B B A C A C -==+，
sin cos sin cos sin cos cos sin A B B A A B A B -=+，sin cos cos sin B A A B -=，
因为sin 0B ≠，所以cos 0A =，2
A π=，ABC 是直角三角形，故③正确； 对D ，因为2220a b c +->，所以222cos 02a b c A ab
+-=>，A 为锐角. 但B ，C 无法判断，所以无法判断ABC 是锐角三角形，故D 错误.
故选：AC
【点睛】
本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，同时考查学三角函数恒等变换，属于中档题.
10．AC
【分析】
由已知条件结合向量数量积的性质对各个选项进行检验即可.
【详解】
，且,平方得，即，可得，故A 正确；
，可得，故B 错误；
，可得，故C 正确；
由可得，故D 错误;
故选：AC
【点睛】
解析：AC
【分析】
由已知条件结合向量数量积的性质对各个选项进行检验即可.
【详解】
1a b ==，且25b a -=,平方得22445b a a b +-⋅=，即0a b ⋅=，可得a b ⊥，故A 正确；
()
22222a b a b a b +=++⋅=，可得2a b +=，故B 错误； ()2
2222a b a b a b -=+-⋅=，可得2a b -=，故C 正确； 由0a b ⋅=可得,90a b =︒，故D 错误;
故选：AC
【点睛】
本题考查向量数量积的性质以及向量的模的求法，属于基础题.
11．C
【分析】
对A ，一个向量在另一个向量上的投影是数量；
对B ，两边平方化简；
对C ，根据向量相等的定义判断；
对D ，根据向量共线的定义判断.
【详解】
A 中，一个向量在另一个向量上的投影是数量，A
解析：C
【分析】
对A ，一个向量在另一个向量上的投影是数量；
对B ，两边平方化简a b a b +=+；
对C ，根据向量相等的定义判断；
对D ，根据向量共线的定义判断.
【详解】 A 中，一个向量在另一个向量上的投影是数量，A 错误；
B 中，由a b a b +=+，得2||||2a b a b ⋅=⋅，得||||(1cos )0a b θ⋅-=，
则||0a =或||0b =或cos 1θ=，当两个向量一个为零向量，一个为非零向量时，a 与b 方向不一定相同，B 错误；
C 中，根据向量相等的定义，且有共同起点可得，其终点必定相同，C 正确；
D 中，由共线向量的定义可知点,,,A B C D 不一定在同一直线上，D 错误.
故选：C
【点睛】
本题考查了对向量共线，向量相等，向量的投影等概念的理解，属于容易题.
12．ABD
【分析】
根据平行四边形及向量的加法法则即可判断.
【详解】
由向量加法的平行四边形法则，知成立，
故也成立；
由向量加法的三角形法则，知成立，不成立.
故选：ABD
【点睛】
本题主要考查
解析：ABD
【分析】
根据平行四边形及向量的加法法则即可判断.
【详解】
由向量加法的平行四边形法则，知a b c +=成立， 故a b c +=也成立；
由向量加法的三角形法则，知a d b +=成立，b d a +=不成立.
故选：ABD
【点睛】
本题主要考查了向量加法的运算，数形结合，属于容易题.
13．AB
【解析】
【分析】
根据向量加法化简即可判断真假.
【详解】
因为，正确；
，由向量加法知正确；
，不满足加法运算法则，错误；
，所以错误.
故选：A B.
【点睛】
本题主要考查了向量加法的
解析：AB
【解析】
【分析】
根据向量加法化简即可判断真假.
【详解】
因为0AB BA AB AB ，正确；
AB BC AC ，由向量加法知正确； AB AC BC +=，不满足加法运算法则，错误；
0,AB AB +=，所以00AB +=错误.
故选：A B .
【点睛】
本题主要考查了向量加法的运算，属于容易题.
14．AD
【分析】
利用向量的基本概念，判断各个选项是否正确，从而得出结论.
【详解】
单位向量的模均为1，故A 正确；
向量共线包括同向和反向，故B 不正确；
向量是矢量，不能比较大小，故C 不正确；
根据
解析：AD
【分析】
利用向量的基本概念，判断各个选项是否正确，从而得出结论.
【详解】
单位向量的模均为1，故A 正确；
向量共线包括同向和反向，故B 不正确；
向量是矢量，不能比较大小，故C 不正确；
根据相等向量的概念知，D 正确.
故选：AD
【点睛】
本题考查单位向量的定义、考查共线向量的定义、向量是矢量不能比较大小，属于基础题．
15．ABD
【详解】
解：对于：对于实数和向量、，根据向量的数乘满足分配律，故恒有：，故正确．
对于：对于实数，和向量，根据向量的数乘运算律，恒有，故 正确． 对于：若，当 时，无法得到，故不正确．
对
解析：ABD
【详解】
解：对于A ：对于实数m 和向量a 、b ，根据向量的数乘满足分配律，故恒有：()m a b ma mb -=-，故A 正确．
对于B ：对于实数m ，n 和向量a ，根据向量的数乘运算律，恒有()m n a ma na -=-，故 B 正确．
对于C ：若()ma mb m =∈R ，当 0m =时，无法得到a b =，故C 不正确． 对于D ：若(,,0)ma na m n a =∈≠R ，则m n =成立，故D 正确．
故选：ABD ．
【点睛】
本题考查相等的向量，相反的向量的定义，向量的数乘法则以及其几何意义，注意考虑零向量的情况．
二、平面向量及其应用选择题
16．B
【分析】
先根据正弦定理化边得C 为直角，再根据余弦定理得角B ，最后根据直角三角形解得a.
【详解】
因为222sin sin sin 0A B C +-=，所以222b c 0a +-=, C 为直角，
因为222
0a c b ac +--=，所以2221cosB ,223a c b B ac π+-===, 因此13a ccos
π==选B.
【点睛】 解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.
17．D
【分析】
先根据cos cos b A a B =得到,A B 之间的关系，再根据B 是,A C 的等差中项计算出B 的大小，由此再判断ABC 的形状.
【详解】
因为cos cos b A a B =，所以sin cos sin cos =B A A B ，
所以()sin 0B A -=，所以A B =，
又因为2B A C B π=+=-，所以3B π=
， 所以3A B π==
，所以ABC 是等边三角形. 故选：D.
【点睛】
本题考查等差中项以及利用正弦定理判断三角形形状，难度一般.（1）已知b 是,a c 的等差中项，则有2b a c =+；（2）利用正弦定理进行边角互化时，注意对于“齐次”的要求. 18．B
【分析】
由大边对大角可判断①的正误，用三角函数的知识将式子进行化简变形可判断②③的正误，用正弦定理结合三角形有两解可判断④的正误.
【详解】
①由正弦定理及大边对大角可知①正确；
②可得A B =或2A B π
+=，ABC 是等腰三角形或直角三角形，所以②错误；
③由正弦定理可得sin cos sin cos sin A B B A C -=，
结合()sin sin sin cos sin cos C A B A B B A =+=+
可知cos sin 0=A B ，因为sin 0B ≠，所以cos 0A =，
因为0A π<<，所以2A π=
，因此③正确；
④由正弦定理sin sin a b A B =得sin sin sin a B b A A
==， 因为三角形有两解，所以
2,332A B A πππ>>=≠
所以sin 2A ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，即)
b ∈
，故④错误. 故选：B
【点睛】 本题考查的是正余弦定理的简单应用，要求我们要熟悉三角函数的和差公式及常见的变形技巧,属于中档题.
19．C
【分析】
根据正弦定理边化角以及三角函数公式可得4A π=
,再根据面积公式可求得6(2bc =,
再代入余弦定理求解即可.
【详解】 ABC 中,cos sin a B b A c +=,由正弦定理得sin cos sin sin sin A B B A C +=, 又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+,
∴sin sin cos sin B A A B =,又sin 0B ≠,∴sin A cos A =,∴tan 1A =,又(0,)A π∈,
∴4A π
=.∵1sin 1)24
ABC S bc A ===-,
∴bc =6(2,∵2a =,∴由余弦定理可得22()22cos a b c bc bc A =+--,
∴2()4(2b c bc +=++
4(26(216=++⨯-=,可得4b c +=.
故选：C
【点睛】
本题主要考查了解三角形中正余弦定理与面积公式的运用,属于中档题.
20．D
【分析】 先根据0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，判断出A ∠的角平分线与BC 垂直，进而推断三角形为等腰三角形进而根据向量的数量积公式求得C ，判断出三角形的形状．
【详解】 解：0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭
，||AB AB ，||AC AC 分别为单位向量， A ∴∠的角平分线与BC 垂直，
AB AC ∴=， 1cos ||||2
AB AC A AB AC ==， 3
A π∴∠=， 3
B
C A π
∴∠=∠=∠=
， ∴三角形为等边三角形．
故选：D ．
【点睛】
本题主要考查了平面向量的数量积的运算，三角形形状的判断．考查了学生综合分析能力，属于中档题．
21．B
【分析】
在三角形ABC 中，根据1a =，c =45B =︒，利用余弦定理求得边b ,再利用正弦
定理
sin sin b c B C
=求解. 【详解】 在三角形ABC 中， 1a =，c =45B =︒，
由余弦定理得：2
222cos b
a c ac B =+-，
13221252=+-⨯⨯=， 所以5b =，
由正弦定理得：sin sin b c B C
=， 所以2sin 42sin 55
c B C b ===，
故选：B
【点睛】 本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，所以考查了运算求解的能力，属于中档题. 22．B
【分析】
选取向量AB ，AC 为基底，由向量线性运算，求出BE ，即可求得结果.
【详解】
13BE AE AB AD AB =-=-，1()2
AD AB AC =+ ， 5166
BE AB AC AB AC λμ∴=-+=+，
56λ∴=-，16μ=，23
λμ∴+=-. 故选：B.
【点睛】
本题考查了平面向量的线性运算，平面向量基本定理，属于基础题.
23．C
【分析】
由三角形的重心定理和平面向量的共线定理可得答案．
【详解】 ABC 中，AD 、BE 、CF 分别是BC 、CA 、AB 上的中线，它们交于点G ，可得G 为重心，则23BG BE =，2CG GF =，12
DG GA =且0GA GB GC ++= 故选：C
【点睛】
本题考查了三角形的重心定理和向量共线定理，属于中档题．
24．C
【分析】
由向量的线性运算可知2OB OC OA AB AC +-=+，所以()0BC AB AC ⋅+=，作出图形，结合向量加法的平行四边形法则，可得BC AD ⊥，进而可得AB AC =，即可得出答案.
【详解】
由题意，()()2OB OC OA OB OA OC OA AB AC +-=-+-=+，
所以()
0BC AB AC ⋅+=，
取BC 的中点D ，连结AD ，并延长AD 到E ，使得AD DE =，连结BE ，EC ，则四边形ABEC 为平行四边形，所以AB AC AE +=.
所以0BC AE ⋅=，即BC AD ⊥，
故AB AC =，ABC 是等腰三角形.
故选：C.
【点睛】
本题考查三角形形状的判断，考查平面向量的性质，考查学生的计算求解能力，属于基础题.
25．C
【分析】
在ABC 中，根据5AB AC ==，6BC =，由余弦定理求得7cos 25A =
，再由平方关系得到sin A ，然后由正弦定理2sin BC R A
=
求解. 【详解】
在ABC 中，5AB AC ==，6BC =， 由余弦定理得：2222225567cos 225525
AB AC BC A AB AC +-+-===⋅⨯⨯， 所以224sin 1cos 25
A A =-=， 由正弦定理得：625224sin 425
BC R A ===， 所以258
R =， 此三角形的外接圆半径是258
故选：C
【点睛】
本题主要考查余弦定理，正弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 26．D
【分析】
由正弦定理可得，sin 2B =
，根据b a >，可得B 角的大小. 【详解】
由正弦定理可得，sin sin 2
b A B a ==， 又0,,π<<>∴>B b a B A ，60︒∴=B 或120B =.
故选：D
【点睛】
本题考查了正弦定理的应用，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于基础题目. 27．B
【分析】
由向量相等的坐标表示，列方程组求解即可.
【详解】
解：设P(x ，y )，则MP ＝ (x －3，y ＋2)，而12MN ＝12(－8,1)＝14,2⎛⎫- ⎪⎝
⎭， 所以34122x y -=-⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得132x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，即31,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 故选B.
【点睛】
本题考查了平面向量的坐标运算，属基础题.
28．A
【分析】
利用正弦定理边角互化思想化简可得cos 0B =，求得角B 的值，进而可判断出ABC 的形状.
【详解】
cos a b C =，由正弦定理得sin sin cos A B C =，即
()sin cos sin sin cos cos sin B C B C B C B C =+=+，cos sin 0B C ∴=，
0C π<<，sin 0C ∴>，则cos 0B =，
0B π<<，所以，2
B π=，因此，AB
C 是直角三角形. 故选：A.
【点睛】
本题考查利用正弦定理边角互化判断三角形的形状，同时也考查了两角和的正弦公式的应用，考查计算能力，属于中等题.
29．A
【分析】
根据平面向量的投影的概念，结合向量的数量积的运算公式，列出方程，即可求解.
【详解】
由题意，点(),1A a ，()2,1B -，()4,5C ， O 为坐标原点，
根据OA 与OB 在OC 方向上的投影相同，则OA OC OB OC
OC OC ⋅⋅=,
即OA OC OB OC ⋅=⋅，可得4152415a +⨯=⨯-⨯，解得12
a =-
. 故选：A.
【点睛】 本题主要考查了平面向量的数量积的坐标运算，以及向量的投影的定义，其中解答中熟记向量投影的定义，以及向量的数量积的运算公式，列出方程是解答的关键，着重考查运算与求解能力.
30．D
【分析】
由已知22:tan :tan a b A B =，利用正弦定理及同角的三角函数的基本关系对式子进行化简，然后结合三角函数的性质再进行化简即可判断．
【详解】
∵22:tan :tan a b A B =，
由正弦定理可得，2
2sin sin tan sin cos sin sin sin tan sin cos cos A
A A A
B B B B B B A
B
===， ∵sin sin B 0A ≠， ∴sin cos sin cos A B B A
=， ∴sin cos sin cos A A B B =即sin 2sin 2A B =，∵()(),0,,0,A B A B ππ∈+∈， ∴22A B =或22A B π+=，
∴A B =或2A B π+=
，即三角形为等腰或直角三角形， 故选D ．
【点睛】 本题考查同角三角函数的基本关系及正弦定理的应用，利用正弦定理进行代数式变形是解题的关键和难点．
31．D
【分析】
将已知向量关系变为：12333m OA OB OC +=，可得到3
m OC OD =且,,A B D 共线；由
AOB ABC O
S S
D
CD ∆
∆
=和,
OC OD反向共线，可构造关于m的方程，求解得到结果.
【详解】
由2
OA OB mOC
+=得：
12
333
m
OA OB OC
+=
设
3
m
OC OD
=，则
12
33
OA OB OD
+=,,
A B D
∴三点共线
如下图所示：
OC与OD反向共线
3
OD m
m
CD
∴=
-
7
3
4
AOB
ABC
OD m
m
C
S
S D
∆
∆
∴==
-
=4
m
⇒=-
本题正确选项：D
【点睛】
本题考查向量的线性运算性质及向量的几何意义，关键是通过向量线性运算关系得到三点共线的结果，从而得到向量模长之间的关系.
32．C
【分析】
作出图形，先推导出
2
1
2
AM AB AB
⋅=，同理得出2
1
2
AM AC AC
⋅=，由此得出关于实数λ、μ的方程组，解出这两个未知数的值，即可求出43
λμ
+的值.
【详解】
如下图所示，取线段AB的中点E，连接ME，则AM AE EM
=+且EM AB
⊥，()2
1
2
AM AB AE EM AB AE AB EM AB AB
∴⋅=+⋅=⋅+⋅=，
同理可得
2
1
2
AM AC AC
⋅=，
86cos6024AB AC ⋅=⨯⨯=， 由221212AM AB AB AM AC AC ⎧⋅=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，可得()()
3218AB AC AB AB AC AC λμλμ⎧+⋅=⎪⎨+⋅=⎪⎩，即642432243618λμλμ+=⎧⎨+=⎩， 解得512
λ=，29，因此，52743431293
λμ+=⨯+⨯=. 故选：C.
【点睛】 本题考查利用三角形外心的向量数量积的性质求参数的值，解题的关键就是利用三角形外心的向量数量积的性质列方程组求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 33．B
【分析】
利用正弦定理可得sin 2sin B C =，结合a b =和余弦定理，即可得答案； 【详解】
cos cos 2sin cos sin cos 2sin c A a C c C A A C C +=⇒+=，
∴sin()2sin sin 2sin A C C B C +=⇒=，
∴2b c =，又a b =， ∴2222
2114cos 12422
b a
c b B ac b ⋅+-===⋅⋅， 故选：B.
【点睛】 本题考查正、余弦定理解三角形，考查运算求解能力，求解时注意进行等量代换求值. 34．B
【分析】
根据向量运算可知三角形中中线与垂线重合，可知三角形为等腰三角形，即可确定三角形形状.
【详解】
因为AB AC BA BC →→→→⋅=⋅，所以0AB AC BC →
→→⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭， 即0AB CA CB →
→→⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭
， 所以在ABC 中，AB 与AB 边上的中线垂直，则CA CB →→=，
同理0BC AC AB →→→⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭，AC AB →→=， 所以AC AB CB →→→==，ABC 是等边三角形．
故选：B
【点睛】
本题主要考查了向量的数量积，向量垂直，考查了运算能力，属于中档题. 35．D
【分析】
根据向量的加法的几何意义即可求得结果.
【详解】
在ABC ∆中，M 是BC 的中点，
又,AB a BC b ==， 所以1122AM AB BM AB BC a b =+=+
=+， 故选D.
【点睛】
该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的加法运算，属于简单题目.。