上海市高三学习水平测试七校联考数学(文科)试卷

第1个 第2个 第3个
上海市高三学习水平测试七校联考数学(文科)试卷09.2
考生注意：
1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码.
2.本试卷共有20道试题，满分150分.考试时间120分钟.
一. 填空题（本大题满分60分）本大题共有12题，只要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分.
1．若1>a ，则∞→n lim
=-+n
n
a a 3121___________. 2．若i x 211+=是实系数一元二次方程02
=++q px x 的一个根，则=+q p __________ . 3．函数2
1)
1(--=x y 的定义域为_____________________.
4．函数2sin 34y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭图像的两条相邻对称轴之间的距离是 .
5. 已知集合{}
062=-+=x x x P ，集合{}
01=-=ax x Q ，且Q
P ，则实数a 所能取
的一切值为____________________. 6.设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1111A ，⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=101321B , 则=AB 7．计算：22222
91073108210911010
C C C C -+-+- =__________.
8．过两点)6,4(,)1,3(B A --的直线与直线04=-+y x 交于点P ，则点P 分AB 所成的
比为__________.
9．已知数列{}n a 的前n 项和122
-+=n n S n ，则数列的通项=n a __________________.
10．设三棱柱111C B A ABD -的体积为V ，P 、Q 分别是侧棱1AA 、1CC 上的点，且1QC PA =，则四棱锥APQC B -的体积为__________. 11．函数)0()
1ln(2
≤+=x x y 的反函数为______________.
12．用黑白两种颜色的正方形地砖依照下图的规律拼成若干图形，现将一粒豆子随机撒在第10个图中，则豆子落在白色地砖上的概率是____________.
二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 4分，否则一律得零分.
13．在△ABC 中，若01
sin cos 2sin =C
B A ，则△AB
C 的形状为 [答] ( )
（A ）等腰三角形. （B ）直角三角形.
（C ）等腰直角三角形. （D ）等腰三角形或直角三角形.
14．曲线
1162
2=--k y k x 与曲线22525922=+y x 的焦距相等的充要条件是 [答] ( ) （A ）016≠<k k 且. （B ）160≠>k k 且. （C ）160<<k . （D ）
160><k k 或. 15．下图中，不是正四面体的表面展开图的是 [答] ( )
（A ）①⑥. （B ）②⑤. （C ）③④. （D ）④⑥.
16．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输
信息．设定原信息为012i a a a a ，{01}∈，（012i =，，），传输信息为00121h a a a h ，其中001102h a a h h a =⊕=⊕，，⊕运算规则为：000⊕=，011⊕=，101⊕=，110⊕=，
例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是 [答] ( )
（A ）11010 （B ）01100
（C ）10111
（D ）00011
1
A 1B
1C
1
D
A B C
D
E
F
A C
B 30045︒
三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤.
17. (本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分. 如图，在棱长为1的正方体中，F E 、分别是棱11B A 、
CD 的中点，
（1）求证：BC AE ⊥；
（2）求CE 与平面B B AA 11所成角的大小（用反三角函数表示）； [解：]
18. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分10分，第2小题满分4分.
如图，某海滨浴场的岸边可近似地看作直线AD ，救生员现在岸边的A 处，发现海中的B 处有人求救，救生员没有直接从A 处游向B 处，而是沿岸边A 跑到离B 最近的D 处，然后游向B 处，若救生员在岸边的行进速度为6米/秒，在游水中的行进速度为2米/秒，且45BAD ∠=︒，300BD =米． （1）分析救生员的选择是否正确；
（2）在AD 上找一点C ，使救生员从A 经C 到B 的时间为t ． 根据下列提示任选其一．．．．或另选自变量．．．．．．写出t 表示成自变量的函数关系式：
①设CBD θ∠=，将t 表示成θ的函数关系式；
②设)(km x CD =，将t 表示成x 的函数关系式； [解：]
19. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
已知椭圆)0(122
22>>=+b a b y a x 的右焦点F )0,(c 到上顶点的距离为2，
22
=c
a ，点)0,(m C 是线段OF 上的一个动点. (1) 求椭圆的方程;
(2) 若过点F 存在一条与x 轴不垂直的直线l 与椭圆交于A 、B 两点,使得
⊥+)(，求实数m 的取值范围．
[解：]
20. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分4分，第3小题满分6分.
已知二次函数()()R x a ax x x f ∈+-=2
同时满足：①不等式()0≤x f 的解集有且只
有一个元素；②在定义域内存在210x x <<，使得不等式()()21x f x f >成立。

设数列{}n a 的前n 项和()n f S n =， （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）试构造一个数列{}n b ，（写出{}n b 的一个通项公式）满足：对任意的正整数n 都有
n n a b <，且2lim
=∞→n
n
n b a ，并说明理由；
（3）设各项均不为零的数列{}n c 中，所有满足01<⋅+i i c c 的正整数i 的个数称为这个数列
{}n c 的变号数。

令n
n
a a
c -
=1（n 为正整数），求数列{}n c 的变号数。

[解：]
21. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分. 函数b
ax x
x f +=)((a ，b 是非零实常数)，满足1)2(=f ，且方程x x f =)(有且仅有一个解．
（1）求a 、b 的值；
（2）是否存在实常数m ，使函数)()(x mxf x g =在区间(]0,1上是减函数，若存在，求出实数m 的范围，若不存在，请说明理由；
（3）试讨论关于x 的方程x k x xf =)(只有一个实数解时实数k 的取值范围． [解：]
1
A 1B
1C
1
D
A
B
C
D E
F
联合考试参考答案
一．填空题 1．32-
2．3 3．),1(+∞ 4．3π
5．0或21或31- 6．⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---222222 7．0 8．34
9．（文）⎩⎨⎧∈≥+==*2
1
212N n n n n a n （理）
4018 10．V 3
1
11．（文）1)(1--=-y e x f （理）27 12．
63
53
二．选择题13．A 14．A 15．D 16．C
三．解答题
17．解：（1） 正方体中B B AA BC 11面⊥，B B AA AE 11面⊂，BC AE ⊥∴． （2）（文）连接EB ，CEB ∠为CE 与平面B B AA 11所成
角，1=BC ，2
5
=
BE ，552tan =∠∴CEB ，即CE
与平面B B AA 11所成角大小为5
52arctan
； （2）（理）以D 为原点，分别以DA ，DC ，DD 1为x ,y ,z 轴建立共建直角坐标系 则)1,2
1
,1(),0,21,
0(),0,0,1(E F A ，面ABF 的一个法向量为)1,0,0(1=n )0,2
1,1(),1,21,0(-==AF AE ，设面AEF 的一个法向量为),,(2z y x n =
，
则⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+-=+021021y x z y 可取⎪⎩⎪
⎨⎧-===1
21z y x 即)1,2,1(2-=n 设二面角B AF E --的大小为θ，显然θ为锐角，则66
6
1cos 2121==⋅⋅=n n n n
θ，
∴二面角B AF E --的大小为6
6
arccos
．
A D
C
B
300
45︒
18．解：（1）直接A 从处游向B 处时间为1AB
t v =
=游水
从A 经D 到B 处的时间为2200AD
DB
t v v =
+=跑游水
（秒）， 易知200>，即12t t >，所以，救生员选择“从A 经D 到B 处”是正确的．
（2）设CBD θ∠=，则(0,)4
θπ∈，300
cos BC θ
=
， 300300tan AC θ=-，从A 经C 到B 处的时间为
(0,)4
θπ∈
设)(km x CD =，则)300,0(∈x x AC -=300，22300x BC +=
从A 经C 到B 处的时间为 2
30063002
2x x t ++-= )300,0(∈x ．
19．解：(1)由题意可知⎪⎪
⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧+==+=2222
22
22
c b a c b c
a ，得⎪⎩⎪⎨⎧===1
12c b a ，∴椭圆的方程为1222=+y x ； （2）由（1）得)0,1(F ，所以10≤≤m .由于存在满足题意的直线l ，设l 的方程为
)1(-=x k y ，代入1222
=+y x ，得0224)12(2222=-+-+k x k x k ， 设),(),,(2211y x B y x A ，则1
22
2,12422212221+-=+=+k k x x k k x x ，
1
22)2(2
2121+-=
-+=+∴k k x x k y y ， )1
22,2124(),(),(2222211+--+=-+-=+∴k k
m k k y m x y m x ，
,)(AB CB CA ⊥+ 而AB 的方向向量为),1(k ，
m k m k k k m k k =-⇔=⨯+-+--∴2222)21(01222124， ∴当2
1
0<
≤m 时,m m k 21-±=,即存在这样的直线l ．
20解：（1）∵()0≤x f 的解集有且只有一个元素，∴40042
==⇒=-=∆a a a a 或，
当0=a 时，函数()2
x x f =在()+∞,0上递增，故不存在210x x <<，使得不等式
()()21x f x f >成立。

当4=a 时，函数()442
+-=x x x f 在()2,0上递减，故存在210x x <<，使得不等
式()()21x f x f >成立。

综上，得4=a ，()442
+-=x x x f ，∴442+-=n n S n ，
∴ ⎩
⎨⎧≥-==25211n n n a n
（2）要使2lim
=∞→n
n
n b a ，可构造数列k n b n -=，∵对任意的正整数n 都有n n a b <，
∴当2≥n 时，52-<-n k n 恒成立，即k n ->5恒成立，即325>⇒<-k k ，
又0≠n b ，∴*
N ∉k ，∴2
3
-
=n b n ，等等。

（3）（文）解法一：由题设⎪⎩⎪
⎨⎧≥--=-=2,5
24
11,3n n n c n ， ∵3≥n 时，()()
0325283245241>--=---=-+n n n n c c n n ，∴3≥n 时，数列{}n c 递
增， ∵0314<-=a ，由505
241≥⇒>--n n ，可知054<⋅a a ，即3≥n 时，有且只有1个变号数；
又∵3,5,3321-==-=c c c ，即0,03221<⋅<⋅c c c c ，∴此处变号数有2个。

综上得 数列{}n c 共有3个变号数，即变号数为3。

解法二：由题设⎪⎩⎪
⎨⎧≥--=-=2,5
24
11,3n n n c n ， 2≥n 时，令
2
9
27252303272529201<<<<⇒<--⋅--⇒
<⋅+n n n n n n c c n n 或；
42==⇒n n 或，又∵5,321=-=c c ，∴1=n 时也有021<⋅c c ．
综上得， 数列{}n c 共有3个变号数，即变号数为3。

（3）（理）∵n n n n n c n n n n a 4)1(622
21
651⋅-+=≥∴⎩⎨
⎧≥==+-λ 当2≥n 时
4)
1(565]
4)1(6[]4)1(6[1
1111>⋅--⋅=⋅-+-⋅-+=---+++n
n n
n n n n n n n n c c λλλ
∴n n )2
3()1(1<⋅--λ ○1
当n =2k －1，k =2，3，……时，○1式即为12)2
3
(-<k λ ○2
依题意，○2式对k =2，3……都成立，∴λ<827233
=⎪⎭
⎫
⎝⎛
当n=2k ，k=1，2，3，…时，○1式即为k 2)2
3(->λ ○3 依题意，○3式对k =1，2，3，……都成立，
∴49232
-=⎪⎭
⎫
⎝⎛->λ
当1=n 时，83012<
⇒>-λc c ∴0,8
3
49≠<<-λλ又 ∴存在整数1-=λ或2-=λ，使得对任意n ∈N *，都有n n c c >+1．
21．解：（1）由1)2(=f 得2a+b =2，又x =0一定是方程b
ax x
+=x 的解，
所以
11
=+b ax 无解或有解为0，
若
11
=+b ax 无解，则ax+b=1无解，得a =0，与已知矛盾， 若11=+b ax 有解为0，则b=1，所以2
1=a ．
（理）（2）由（1）得2
2)(+=
x x
x f ，设存在常数m ，使得对定义域中任意的x ，4)()(=-+x m f x f 恒成立，
取x=0，则4)0()0(=-+m f f ，即422=+m m
，4-=m (必要性) 又4-=m 时，42
8
42822224)4(222)4()(=++=++++=+----++=--+x x x x x x x x x x x f x f 成立
(充分性)
所以存在常数4-=m ，使得对定义域中任意的x ，4)()(=-+x m f x f 恒成立．
（理）（3）x k x xf =)(即
x k x x =+2
22
，显然0=x 始终是方程的一个根 当0≠x 时，即研究方程)0(2
2≠+=
x x x k 的实数解的情况，
利用函数)0(2
2)(≠+=
x x x x h 的图像可得，
]0,2[-∈k 方程)0(2
2≠+=
x x x k 没有实数解；
),2[)2,(+∞--∞∈ k 方程)0(2
2≠+=
x x x k 有一个实数解；
)2,0(∈k 方程)0(2
2≠+=x x x k 有两个不同的实数解
故：]0,2[-∈k 方程有为一个实数解；
),2[)2,(+∞--∞∈ k 方程有两个不同的实数解； )2,0(∈k 方程有三个不同的实数解
（文）（2）由（1）得2
2)(+=x x
x f ，设存在常数m ，使函数22)(2+=x mx x g 在区间(]0,1上
是减函数，任取1021≤<<x x ，则0)()(21>-x g x g 恒成立，即
0)
2)(2()
22)((221212121>++++-x x x x x x x x m 恒成立，
因为1021≤<<x x ，所以)2)(2(,022,021212121++>++<-x x x x x x x x
所以，0<m
即当0<m 时，函数2
2)(2
+=x mx x g 在区间(]0,1上是减函数．
（文）（3）x k x xf =)(即
x k x x =+2
22
，显然0=x 始终是方程的一个根
当0≠x 时，即研究方程)0(2
2≠+=
x x x k 无解的情况，
利用函数)0(2
2)(≠+=
x x x x h 的图像可得，
]0,2[-∈k 方程)0(2
2≠+=
x x x k 没有实数解；
故：]0,2[-∈k 方程只有一个实数解．。