半角公式及其应用

[A 基础达标]
1．已知cos θ＝－35，且180°<θ<270°，则tan θ
2＝( )
A ．2
B ．－2 C.12 D ．－1
2
解析：选B.因为180°<θ<270°， 所以90°<θ2<135°，所以tan θ
2<0，
所以tan θ
2
＝－
1－cos θ
1＋cos θ
＝－
1－⎝⎛⎭
⎫－351＋⎝⎛⎭
⎫－35＝－2. 2．若sin(π－α)＝－5
3
且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α2等于( ) A ．－63
B ．－66
C.
66
D.
6
3
解析：选B.由题意知sin α＝－
5
3
，α∈⎝⎛⎭⎫π，32π， 所以cos α＝－23，因为α2∈⎝⎛⎭⎫
π2，34π， 所以sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α2＝cos α
2 ＝－
1＋cos α2＝－6
6
.故选B. 3．已知θ为第二象限角，25sin 2θ＋sin θ－24＝0，则cos θ
2的值为( )
A ．－35
B ．±35
C.22
D ．±45
解析：选B.由25sin 2θ＋sin θ－24＝0得sin θ＝24
25或sin θ＝－1(因为θ为第二象限角，故舍
去)，所以cos θ＝－725，且θ2为第一或者第三象限角，所以2cos 2θ2－1＝－725，故cos θ2＝±3
5.
4．化简2＋cos 2－sin 21等于( )
A ．－cos 1
B ．cos 1 C.3cos 1
D ．－3cos 1
解析：选C.原式＝2＋2cos 21－1－（1－cos 21）＝3cos 21＝3cos 1，故选C. 5．已知450°<α<540°，则 12＋12
12＋1
2
cos 2α的值是( ) A ．－sin α2
B ．cos α2
C ．sin α2
D ．－cos α
2
解析：选A.因为450°<α<540°， 所以225°<α2<270°.
所以cos α<0，sin α
2<0.
所以原式＝ 12＋12
1＋cos 2α
2
＝ 12＋1
2 cos 2α ＝ 12＋1
2
|cos α|＝ 12－1
2
cos α ＝
sin 2α2＝|sin α2|＝－sin α
2
.故选A.
6．设5π<θ<6π，cos θ2＝a ，则sin θ
4的值等于________．
解析：因为5π<θ<6π，所以
5π4<θ4<3π
2
， 所以sin θ
4＝－
1－cos
θ2
2
＝－1－a
2
＝－
2－2a
2
. 答案：－
2－2a
2
7．求值：sin 235°－
12
cos 10°cos 80°
＝________.
解析：sin 235°－
1
2cos 10°cos 80°＝1－cos 70°2－
12
cos 10°·sin 10°
＝－1
2cos 70°1
2sin 20°＝－1.
答案：－1
8．若θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则tan θ＝________． 解析：因为θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，则2θ∈⎣⎡⎦⎤π
2，π， 所以sin θ>0，cos θ>0.
因为sin 2θ＝378，所以cos 2θ＝－1
8
，
所以sin θ＝
1－cos 2θ
2
＝ 1－⎝⎛⎭⎫－182
＝3
4
， cos θ＝
1＋cos 2θ
2
＝ 1＋⎝⎛⎭⎫－182＝7
4
， 所以tan θ＝sin θcos θ＝3
47
4＝37
7.
答案：377
9．已知sin φ＝－24
25，且φ是第三象限角，求下列各三角函数的值：
(1)sin ⎝⎛⎭⎫φ＋π6；(2)sin 2φ；(3)cos φ2；(4)tan φ2. 解：因为φ是第三象限角， 所以cos φ＝－1－sin 2φ＝－725.
(1)sin ⎝⎛⎭⎫φ＋π6＝sin φcos π6＋cos φsin π6 ＝－7＋24350
.
(2)sin 2φ＝2sin φcos φ＝336
625
.
(3)因为φ是第三象限角，所以2k π＋π<φ<2k π＋3π
2.
所以k π＋π2<φ2<k π＋3π
4
(k ∈Z )．
当k ＝2m 时，2m π＋π2<φ2<2m π＋3π
4
(m ∈Z )，
cos φ2＝－1＋cos φ2＝－3
5
. 当k ＝2m ＋1时，2m π＋3π2<φ2<2m π＋7π
4(m ∈Z )，
cos φ
2
＝ 1＋cos φ2＝3
5
. (4)tan φ2＝1－cos φsin φ＝－4
3
.
10．已知π＜α＜3π
2，化简：1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α
.
解：原式＝⎝⎛⎭⎫
sin α2
＋cos α22
2⎪⎪⎪⎪cos α2－2⎪⎪⎪⎪sin α2
＋⎝⎛⎭⎫sin α2
－cos α22
2⎪⎪⎪⎪cos α2＋2⎪⎪⎪
⎪sin α2，
因为π＜α＜3π
2，
所以π2＜α2＜3π4，
所以cos α2＜0，sin α
2
＞0.
所以原式＝⎝⎛⎭⎫
sin α2
＋cos α22
－2⎝⎛⎭
⎫sin α2＋cos α2＋
⎝⎛⎭⎫
sin α2
－cos α22
2⎝⎛⎭
⎫sin α2－cos α2
＝－sin α2＋cos α22＋sin α2－cos α
2
2
＝－2cos α
2
.
[B 能力提升]
11．已知sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝45，且β是第三象限角，则cos β
2的值等于( )
A ．±5
5
B ．±255
C ．－
55
D ．－255
解析：选A.由已知，得sin[(α－β)－α]＝sin(－β)＝45，得sin β＝－4
5
.
因为β在第三象限，所以cos β＝－35，β
2为第二、四象限角，
所以cos β
2＝±
1＋cos β
2＝± 15＝±55
. 12．定义运算⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
a b c d ＝ad －bc ，若cos α＝35，⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin α sin βcos α cos β＝513，0<β<α<π
2，则sin α＋β2＝
________．
解析：由题意可知，⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin α sin βcos α cos β＝sin αcos β－sin βcos α＝sin(α－β)＝513， 因为0<β<α<π
2，
所以0<α－β<π
2
，
所以cos(α－β)＝1213，又cos α＝3
5，
所以sin α＝4
5
，
所以cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝－725，sin 2α＝24
25，
所以cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)] ＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β) ＝－725×1213＋2425×513＝36
325，
所以sin α＋β
2＝
1－cos （α＋β）2＝1726
130
.
答案：1726130
13．已知sin α＝1213，sin(α＋β)＝45，α与β均为锐角，求cos β
2.
解：因为0<α<π2，所以cos α＝1－sin 2α＝5
13.
又因为0<α<π2，0<β<π
2，
所以0<α＋β<π. 若0<α＋β<π
2，
因为sin(α＋β)<sin α， 所以α＋β<α不可能．
故π2<α＋β<π.所以cos(α＋β)＝－35. 所以cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α ＝－35×513＋45×1213＝3365，
因为0<β<π2，所以0<β2<π
4.
故cos β
2
＝
1＋cos β2＝765
65
. 14．(选做题)已知函数f (θ)＝－1
2＋sin 5
2θ2sin
θ
2(0<θ<π)．
(1)将f (θ)表示成关于cos θ的多项式；
(2)试求使曲线y ＝a cos θ＋a 与曲线y ＝f (θ)至少有一个交点时a 的取值范围． 解：(1)f (θ)＝－1
2
＋
sin 2θcos θ2＋cos 2θsin
θ
2
2sin
θ2
＝－1
2＋4cos 2θ2cos θsin θ2＋cos 2θsin
θ22sin
θ
2
＝－1
2＋4cos 2θ
2cos θ＋cos 2θ
2
＝－1
2＋4cos θ·1＋cos θ2＋2cos 2θ－1
2
＝2cos 2θ＋cos θ－1.
(2)由2cos 2θ＋cos θ－1＝a cos θ＋a ， 得(cos θ＋1)(2cos θ－1)＝a (cos θ＋1)． 所以cos θ＝a ＋12，
所以－1<a ＋1
2<1，
即－3<a <1.。