等腰三角形数学同步精练本+双测AB卷(解析版)

等腰三角形知识梳理：1、等腰三角形1、定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

性质①、两腰相等②、两底角相等（简称等边对等角）推论一：等腰三角形的顶角等于180度减两倍的底角推论二：等腰三角形的底角等于180减顶角的差的一半。

③、等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（简称为“三线合一”）④、等腰三角形是轴对称图形，其顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线所在的直线式对称轴。

（3）证明“三线合一”①已知高线∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∠BAD=∠CAD②已知中线∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD③已知角平分线∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，∴AD⊥BC，BD=CD3、判定①有两条边相等的三角形是等腰三角形。

②有两个角相等的三角形是等腰三角形。

（简称“等角对等边”）一、等边三角形（1）定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形。

（2）性质：三条边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60°（3）判定：①三条边都相等的三角形是做等边三角形②三个角都相等的三角形是等边三角形③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

推论：在直角三角形中，锐角为30°所对的直角边等于斜边的一半。

一、选择题1．等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（）A．80°B．80°或20°C．80°或50°D．20°【答案】：B【解析】：解答：当80°的角是底角时，等腰三角形两底角相等，根据三角形内角和定理得到顶角为20°；另一种情况是80°是顶角.分析：等腰三角形等边对等角，结合三角形内角和为180°，从而得出两种结果.2．已知等腰三角形的两边长分别是3和5，则该三角形的周长是（）A．8 B．9 C．10或12 D．11或13【答案】：D【解析】：解答：当3是腰时，两腰和为6加上底边5，周长为11；当5是腰时，两腰和为10加上底边3，周长为13. 分析：等腰三角形两腰相等，结合三角形中两小边和大于第三边.3．在等腰△ABC中，AB=AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（）A．7 B．11 C．7或11 D．7或10【答案】：C【解析】：解答：设AB=AC=x BC=y则有或者所以x=8，y=11或者x=10，y=7.即三角形AB=AC=8，BC=11.或AB=AC=10，BC=7.故选C.分析：等腰三角形两腰相等，会解二元一次方程.4．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（）A．60°B．120°C．60°或150°D．60°或120°【答案】：D【解析】：解答：分两种情况：一种是这个高在三角形内,即此三角形是锐角三角形顶角=180°-90°-30°=60°，另一种是这个高落在一腰延长线上,即此三角形为钝角三角形顶角的补角=180°-90°-30°=60°，顶角=180°-60°=120°. 分析：此题要注意分两种情况，要考虑锐角三角形和钝角三角形.5.在等腰△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，∠ABC=72°，则∠ABD=（）A．36°B．54°C．18 °D．64°【答案】：B【解析】：解答：∵AB=AC，∠ABC=72°，∴∠ABC=∠ACB=72°，∴∠A=36°.∵BD⊥AC，∴∠ABD=90°-36°=54°.分析：根据等腰三角形的性质由已知可求得∠A的度数，再根据垂直的定义和三角形内角和定理不难求得∠ABD的度数.6. 在△ABC中，D是BC上的点，AB=AD=DC，∠B=70°，则∠C的度数为（）A．35°B．40°C．45°D．50°【答案】：A【解析】：解答：∵AB=AD, ∴∠ADB=∠B=70°.∵AD=DC，∴35°.分析：等腰三角形两底角相等，再根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角和.7. 在△ABC中，∠B=∠C，AB=5，则AC的长为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】：D【解析】：解答：∵∠B=∠C，∴AB=AC=5．分析：等腰三角形的性质可得AB=AC，继而得出AC的长．8. 在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则等腰三角形的个数是（）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】：C【解析】：解答：∵四边形ABCD是矩形，∴AO=BO=CO=DO，∴△ABO，△BCO，△DCO，△ADO都是等腰三角形.分析：根据矩形的对角线相等且互相平分可得AO=BO=CO=DO，进而得到等腰三角形.9. 在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为20 cm，则AB边的取值范围是（）A．1 cm＜AB＜4 cm B．5 cm＜AB＜10 cm C．4 cm＜AB＜8 cm D．4 cm＜AB＜10cm【答案】：B【解析】：解答：∵在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为20cm，∴设AB=AC=x cm，则BC=（20-2x）cm，∴2x＞20−2x，即20−2x＞0.解得5 cm＜x＜10 cm．分析：设AB=AC=x，则BC=20-2x，根据三角形的三边关系即可得出结论.10. 在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D．如果∠A=30°，AE=6cm，那么CE等于（）A. 4 cm B．2 cm C. 3 cm D.1 cm【答案】：C【解析】：解答：∵ED⊥AB，∠A=30°，∴AE=2ED，∵AE=6cm，∴ED=3cm.∵∠ACB=90°，BE平分∠ABC，∴ED=CE，∴CE=3cm.分析：根据在直角三角形中，30度所对的直角边等于斜边的一半得出AE=2ED，求出ED，再根据角平分线到两边的距离相等得出ED=CE，即可得出CE的值11.在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（0，6），动点C在直线y=x上．若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是( )A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】：解答：AB的垂直平分线与直线y=x相交于点C1，∵A（0，2），B（0，6），∴AB=6-2=4，点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y=x的交点为C2，C3∵OB=6，∴点B到直线y=x的距离为6×=3，∵3＞4，∴以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y=x没有交点，所以，点C的个数是1+2=3．分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AB的垂直平分线与直线y=x的交点为点C 再求出AB的长，以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y=x的交点为点C，求出点B到直线y=x 的距离可知以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线没有交点12. 在△ABC中，AB=20 cm，AC=12 cm，点P从点B出发以每秒3 cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2 cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ 是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是（）A．2.5秒B．3秒C．3.5秒D．4秒【答案】：D【解析】：解答：设运动的时间为x cm/s，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动当△APQ是等腰三角形时，AP=AQ，AP=20-3x，AQ=2x即20-3x=2x，解得x=4．分析：设运动的时间为x，则AP=20-3x，当APQ是等腰三角形时，AP=AQ，则20-3x=2x，解得x即可.13. 等腰但不等边的三角形的角平分线、高线、中线的总条数是（）A．3 B．5 C．7 D．9【答案】：C【解析】：解答：等腰但不等边的三角形底边上的角平分线、中线、高线三线重合成一条；腰上的三条线不重合，因而共有7条线.分析：画出图形，根据等腰三角形的性质进行分析即可得到14. 已知△ABC中，三边a，b，c满足|b-c|+（a-b）2=0，则∠A等于（）A. 60°B．45°C．90°D．不能确定【答案】：A【解析】：解答：△ABC中，三边a，b，c满足|b-c|+（a-b）2=0∴b-c=0，a-b=0，∴a=b=c，∴a=b=c，∴三角形是等边三角形，∴∠A=60°.分析：根据非负数的性质列式求解得到a=b=c，然后选择即可.15.等腰三角形周长为36cm，两边长之比为4：1，则底边长为（）A．16cm B．4cm C．20cm D．16cm或4cm【答案】：B【解析】：解答：因为两边长之比为4：1，所以设较短一边为x，则另一边为4x；(1)假设x为底边，4x为腰；则8x+x=36，x=4，即底边为4；(2)假设x为腰，4x为底边，则2x+4x=36，x=6，4x=24；∵6+6＜24，∴该假设不成立．所以等腰三角形的底边为4cm．分析：题中只给出了两边之比，没有明确说明哪个是底哪个是腰，所以应该分两种情况进行分析，再结合三角形三边的关系将不合题意的解舍去.二、填空题16. 等腰三角形的一个外角为110°，则底角的度数可能是_______.【答案】：70°或55°【解析】：解答：当110°是等腰三角形底角的外角时，底角为70°；当110°是等腰三角形顶角的外角时，因为等腰三角形两底角相等，所以一个底角的度数等于外角110°的一半，即55°分析：外角与它相邻的内角互补，外角等于和它不相邻的两个内角和.17. 等腰三角形的对称轴是____________.【答案】：底边上的高(顶角平分线或底边的中线)所在的直线【解析】：解答：根据等腰三角形的性质，等腰三角形的对称轴是底边上的高（顶角平分线或底边的中线）所在的直线．分析：本题根据等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是底边上的高所在的直线，因为等腰三角形底边上的高，顶角平分线，底边上的中线三线合一，所以等腰三角形的对称轴是底边上的高（顶角平分线或底边的中线）所在的直线．18.△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，则∠1 =_______度，此三角形有_______个等腰三角形．【答案】：72°/3【解析】：解答：∵AB=AC，∠A=36°，∴△ABC是等腰三角形，∠C=∠ABC=（180°−36°）=72°.∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠A=∠DBC=36°，∴AD=BD，△ADB是等腰三角形，∴∠1=180°-36°-72°=72°=∠C，∴BC=BD，△CDB是等腰三角形.图中共有3个等腰三角形．分析：由已知条件，根据三角形内角和等于180、角的平分线的性质求得各个角的度数，然后利用等腰三角形的判定进行找寻，注意做到由易到难，不重不漏.19. 在△ABC中，与∠A相邻的外角是100°，要使△ABC是等腰三角形，则∠B的度是_________.【答案】：80°或50°或20°【解析】：解答：∵∠A的相邻外角是100°，∴∠A=80°．分两种情况：（1）当∠A为底角时，另一底角∠B=∠A=80°；（2）当∠A为顶角时，则底角∠B=∠C= (180°−80°) =50°（3）当∠B是顶角时，∠B=180°-2∠A=20°．综上所述，∠B的度数是80°或50°或20°.分析：已知给出了∠A的相邻外角是100°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还有用内角和定理去验证每种情况是不是都成立.20. 在△ABC中，若∠A=80°，∠B=50°，AC=5，则AB=_______.【答案】：5【解析】：解答：∵∠A=80°，∠B=50°，∴∠C=180°-80°-50°=50°.∴AB=AC=5.分析：由已知条件先求出∠C的度数是50°，根据等角对等边的性质求解即可.三、解答题.21.在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，∠C=63°，BC=4，求∠BAD的度数及DC的长.【答案】：27°/2解答：∵AB=AC，∠C=63°，∴∠B=∠C=63°，∴∠BAC=180°-63°-63°=54°.又∵AD是BC边上的高，∴AD是∠BAC的平分线，AD是BC边上的中线，∴∠BAD=∠BAC=27°，DC=BC=2.【解析】：分析：根据等腰三角形的两个底角相等求出顶角∠BAC的度数，再由等腰三角形的三线合一性质即可求出∠BAD=∠BAC=27°，DC=BC=2.22.在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F.求证：AF平分∠BAC【答案】：证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB.又∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BEC=∠CDB=90°.在△BCE和△CBD中，∠ABC=∠ACB，∠BEC=∠CDB，BC=BC.∴△BCE≌△CBD（AAS）.∴BE=CD.∵AB=AC，BE=CD，∴AB-BE=AC-CD，∴AE=AD.∴在△AEF和△ADF中，AE=AD, AF=AF.△AEF≌△ADF（HL）.∴∠EAF=∠DAF，AF平分∠BAC.【解析】：分析：要通过两次三角形全等，再结合等腰三角形的性质得出结论.23.如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形.BE交AC于F，AD交CE于H，求证：（1）△BCE≌△ACD；【答案】：证明：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴∠BCA=∠DCE=60°，BC=AC=AB，EC=CD=ED，∴∠BCE=∠ACD.在△BCE和△ACD中，∴△BCE≌△ACD（S A S）；【答案】：∵△BCE≌△ACD，∴∠CBF=∠CAH．∵∠ACB=∠DCE=60°，在△BCF和△ACH中，∴∠ACH=60°，∴∠BCF=∠ACH，∴CF=CH；（3）△FCH是等边三角形；【答案】：∵CF=CH，∠ACH=60°，∴△CFH是等边三角形．（4）FH∥BD.【答案】：证明：∵△CHF为等边三角形∴∠FHC=60°，∵∠HCD=60°，∴FH∥BD【解析】：分析：由等边三角形的三边相等，三角都是60°，再根据平角的关系，就能证明△BCE≌△ACD；由△BCE≌△ACD得出对应角相等，结合等边三角形的边角特点证明△BCF≌△ACH，能得出CF=CH；两边等，加上一个角60°推出△CFH是等边三角形；根据内错角相等，两直线平行推出FH∥BD.24. 如图，已知AB=AC=AD，且AD∥BC，求证：∠C=2∠D【答案】：证明：∵AB=AC=AD，∴∠C=∠ABC，∠D=∠ABD.∴∠ABC=∠CBD+∠D.∵AD∥BC，∴∠CBD=∠D，∴∠ABC=∠D+∠D=2∠D，又∵∠C=∠ABC，∴∠C=2∠D.【解析】：分析：首先根据AB=AC=AD，∵AD∥BC，∴∠D=∠DBC可得∠C=∠ABC，∠D=∠ABD，∠ABC=∠CBD+∠D；然后根据AD∥BC，可得∠CBD=∠D，据此判断出∠ABC=2∠D，再根据∠C=∠ABC，即可判断出∠C=2∠D25.如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过O点作DE∥BC，分别交AB、AC于D、E，若AB=5，AC=4，求△ADE的周长.【答案】：解答：∵在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，∴∠DBO=∠CBO，∠ECO=∠BCO，∵DE∥BC，∴∠DOB=∠CBO，∠EOC=∠BCO，∴∠DBO=∠DOB，∠ECO=∠EOC，∴OD=BD，OE=CE，∵AB=5，AC=4，∴△ADE的周长为：AD+DE+AE=AD+DO+EO+AE=AD+DB+EC+AE=AB+AC=5+4=9.【解析】：分析：由在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，易证得△DOB与△EOC 是等腰三角形，即DO=DB，EO=EC，继而可得△ADE的周长等于AB+AC，即可求得．。