等腰三角形数学同步精练本+双测AB卷(解析版)

等腰三角形

知识梳理：

1、等腰三角形

1、定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

性质

①、两腰相等

②、两底角相等（简称等边对等角）

推论一：等腰三角形的顶角等于180度减两倍的底角

推论二：等腰三角形的底角等于180减顶角的差的一半。

③、等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（简称为“三线合一”）

④、等腰三角形是轴对称图形，其顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线所在的直线式对称轴。（3）证明“三线合一”

①已知高线

∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∠BAD=∠CAD

②已知中线

∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD

③已知角平分线

∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，∴AD⊥BC，BD=CD

3、判定

①有两条边相等的三角形是等腰三角形。

②有两个角相等的三角形是等腰三角形。（简称“等角对等边”）

一、等边三角形

（1）定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形。

（2）性质：三条边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60°

（3）判定：

①三条边都相等的三角形是做等边三角形

②三个角都相等的三角形是等边三角形

③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

推论：在直角三角形中，锐角为30°所对的直角边等于斜边的一半。

一、选择题

1．等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（）

A．80°B．80°或20°C．80°或50°D．20°

【答案】：B

【解析】：

解答：当80°的角是底角时，等腰三角形两底角相等，根据三角形内角和定理得到顶角为20°；另一种情况是80°是顶角.

分析：等腰三角形等边对等角，结合三角形内角和为180°，从而得出两种结果.

2．已知等腰三角形的两边长分别是3和5，则该三角形的周长是（）

A．8 B．9 C．10或12 D．11或13

【答案】：D

【解析】：

解答：当3是腰时，两腰和为6加上底边5，周长为11；当5是腰时，两腰和为10加上底边3，周长为13. 分析：等腰三角形两腰相等，结合三角形中两小边和大于第三边.

3．在等腰△ABC中，AB=AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（）

A．7 B．11 C．7或11 D．7或10

【答案】：C

【解析】：

解答：设AB=AC=x BC=y

则有

或者

所以x=8，y=11或者x=10，y=7.

即三角形AB=AC=8，BC=11.

或AB=AC=10，BC=7.

故选C.

分析：等腰三角形两腰相等，会解二元一次方程.

4．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（）

A．60°B．120°C．60°或150°D．60°或120°

【答案】：D

【解析】：

解答：分两种情况：一种是这个高在三角形内,即此三角形是锐角三角形顶角=180°-90°-30°=60°，另一种是这个高落在一腰延长线上,即此三角形为钝角三角形顶角的补角=180°-90°-30°=60°，顶角=180°-60°=120°. 分析：此题要注意分两种情况，要考虑锐角三角形和钝角三角形.

5.在等腰△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，∠ABC=72°，则∠ABD=（）

A．36°B．54°C．18 °D．64°

【答案】：B

【解析】：

解答：∵AB=AC，∠ABC=72°，∴∠ABC=∠ACB=72°，∴∠A=36°.∵BD⊥AC，

∴∠ABD=90°-36°=54°.

分析：根据等腰三角形的性质由已知可求得∠A的度数，再根据垂直的定义和三角形内角和定理不难求得∠ABD的度数.

6. 在△ABC中，D是BC上的点，AB=AD=DC，∠B=70°，则∠C的度数为（）

A．35°B．40°C．45°D．50°

【答案】：A

【解析】：

解答：∵AB=AD, ∴∠ADB=∠B=70°.

∵AD=DC，

∴35°.

分析：等腰三角形两底角相等，再根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角和.

7. 在△ABC中，∠B=∠C，AB=5，则AC的长为（）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】：D

【解析】：

解答：∵∠B=∠C，∴AB=AC=5．

分析：等腰三角形的性质可得AB=AC，继而得出AC的长．

8. 在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则等腰三角形的个数是（）

A．8 B．6 C．4 D．2

【答案】：C

【解析】：

解答：∵四边形ABCD是矩形，

∴AO=BO=CO=DO，

∴△ABO，△BCO，△DCO，△ADO都是等腰三角形.

分析：根据矩形的对角线相等且互相平分可得AO=BO=CO=DO，进而得到等腰三角形.

9. 在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为20 cm，则AB边的取值范围是（）

A．1 cm＜AB＜4 cm B．5 cm＜AB＜10 cm C．4 cm＜AB＜8 cm D．4 cm＜AB＜10cm

【答案】：B

【解析】：

解答：∵在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为20cm，

∴设AB=AC=x cm，则BC=（20-2x）cm，

∴2x＞20−2x，

即20−2x＞0.

解得5 cm＜x＜10 cm．

分析：设AB=AC=x，则BC=20-2x，根据三角形的三边关系即可得出结论.

10. 在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D．如果∠A=30°，AE=6cm，那么CE等于（）

A. 4 cm B．2 cm C. 3 cm D.1 cm

【答案】：C

【解析】：

解答：∵ED⊥AB，∠A=30°，

∴AE=2ED，

∵AE=6cm，

∴ED=3cm.

∵∠ACB=90°，BE平分∠ABC，

∴ED=CE，

∴CE=3cm.

分析：根据在直角三角形中，30度所对的直角边等于斜边的一半得出AE=2ED，求出ED，再根据角平分线到两边的距离相等得出ED=CE，即可得出CE的值

11.在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（0，6），动点C在直线y=x上．若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是( )

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【解析】：

解答：AB的垂直平分线与直线y=x相交于点C1，

∵A（0，2），B（0，6），

∴AB=6-2=4，点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y=x的交点为C2，C3

∵OB=6，

∴点B到直线y=x的距离为6×=3，

∵3＞4，

∴以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y=x没有交点，

所以，点C的个数是1+2=3．

分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AB的垂直平分线与直线y=x的交点为点C 再求出AB的长，以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y=x的交点为点C，求出点B到直线y=x 的距离可知以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线没有交点

12. 在△ABC中，AB=20 cm，AC=12 cm，点P从点B出发以每秒3 cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2 cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ 是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是（）

A．2.5秒B．3秒C．3.5秒D．4秒

【答案】：D

【解析】：

解答：设运动的时间为x cm/s，

在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动当△APQ是等腰三角形时，AP=AQ，AP=20-3x，AQ=2x即20-3x=2x，解得

x=4．

分析：设运动的时间为x，则AP=20-3x，当APQ是等腰三角形时，AP=AQ，则20-3x=2x，解得x即可.