6.3-6.4管网水力方程计算方法

小知识：二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克· 牛顿
于1664、1665年间提出。
同理，可得环Ⅱ的类似方程。因此，可得下列线
性方程组
hI 2 ( sq ) I q I 2s34 q34 q II 0 hII 2 ( sq ) II q II 2s34 q34 q I 0
(1) ( 0) ( 0) ( 0) qij qij qs qn
按照调整后的管段流量值返回第（2）步，反复计 算，直到闭合差全部满足精度要求为止。
6.3.2 节点方程的解法
节点方程法是管网水力电算最常用的一种方法。
该法计算准备工作少，收敛性好，通用性强，使用 方便。 下面介绍节点方程的哈代---克罗斯解法。 如图6-3所示两环管网，可写出下列节点方程:
hi qi n 1 n (sij qij )i
注意： qi 与 hi 的符号相反。
根据计算校正流量调整管段流量后，再进
行计算，通常各环闭合差会减小，若仍然不符
合精度要求，则按式（6-30）或（6-31）计算
新的校正流量，继续计算，直到满足闭合差精
度要求为止。在以上计算过程中，闭合差可能

1 2
;
4 0 H1
1 1 ( s35 h35 2 s56 h56 2 1 2 1 5 5 5 1 ); s35 h35 2 ; 5 0 H 3 2 H1 H 2 H 4
将 i 按泰勒级数展开，仅保留线性项，得
1 1 1 1 1 1 1 2 s h 2 ) H 2 H 2 H 0 q ( s h s h s h 1 1 12 12 13 13 1 12 12 2 13 13 3 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 q2 2 ( s12 h12 s24 h24 )H 2 2 s12 h12 H1 2 s24 h24 H 4 0 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 3来自百度文库 q3 2 ( s13 h13 s34 h34 s35 h35 )H 3 12 s13 h13 H1 1 1 1 2 s34 h34 H 4 s35 h35 2 H 5 0 21 21 1 1 1 1 2 2 2 4 q4 ( s34 h34 s24 h24 s46 h46 )H 4 s34 h34 2 H 3 2 12 1 1 1 s24 h24 2 H 2 s46 h46 2 H 6 0 2 2 1 1 1 1 1 1 1 5 q5 ( s35 h35 2 s56 h56 2 )H 5 s35 h35 2 H 3 s56 h56 2 H 6 0 2 2 2
上式的未知量为△H1 ~ △H5，理论上可以求得。如何求？
求i 对 H i 的一阶偏导数，得:
1 H1 2 H 2 3 H 3 4 H 4 5 H 5 1 ( s12 h12 2 1 ( s12 h12 2
若 qi 0 ，需要调整初定的节点水压。设各节点水压校正值分别为 H1
~ H5
，(ΔH 6 =0)
，代入节点方程, 得:
1 1 2 ( H 1 H1 ) ( H 3 H 3 ) 2 ( H1 H 1 ) ( H 2 H 2 ) Q 1 0 1 s s 12 13 1 1 2 2 Q ( H1 H1 ) ( H 2 H 2 ) ( H 2 H 2 ) ( H 4 H 4 ) 0 2 2 s12 s24 1 1 2 ( H 3 H 3 ) ( H 4 H 4 ) 2 ( H1 H 1 ) ( H 3 H 3 ) Q 3 3 s s 13 34 1 ( H 3 H 3 ) ( H 5 H 5 ) 2 0 s 35 1 1 2 ( H 3 H 3 ) ( H 4 H 4 ) ( H 2 H 2 ) ( H 4 H 4 ) 2 Q 4 4 s s 34 24 1 ( H 4 H 4 ) ( H 6 0) 2 0 s 46 1 1 ( H 3 H 3 ) ( H 5 H 5 ) 2 ( H 5 H 5 ) ( H 6 0) 2 5 Q5 0 s s 35 56
若 H 6 为已知，初定节点水压值 H1 ~ H 5 ，计算出各管 段水头损失，得各节点所有流量的代数和 qi 为:
1 1 2 2 q Q H1 H 2 H1 H 3 1 1 1 s s 12 13 1 1 2 2 q Q H1 H 2 H 2 H 4 2 2 2 s12 s24 1 1 1 H1 H 3 2 H 3 H 4 2 H 3 H 5 2 q3 Q3 3 s13 s34 s35 1 1 1 H3 H 4 2 H 2 H 4 2 H 4 H6 2 q4 Q4 4 s34 s24 s46 1 1 H3 H5 2 H5 H6 2 5 q5 Q5 s35 s56
上式亦可写成：
1 q I 2 ( sq ) hI 2 s 34 q 34 q II I 1 q hII 2s34 q34 q I II 2 ( sq ) II
每环校正流量由两部分组成，一部分是消除 本环闭合差的校正流量，另一部分是受到邻环影
响的校正流量，即括号内的后几项。
若忽略邻环校正流量的影响，则有：
h Ⅰ q I 2 ( sq ) I hⅡ q II 2 ( sq ) II
每环校正流量的计算通式：
hi qi 2 (sq) i
当 n 2 时，校正流量的计算通式为，
1 2
s13 h13 s24 h24

1 2
1 ); 1 s12 h12 H 2 2 1 ); 2 s12 h12 H1 2 s35 h35
1 2

1 2
1 1 1 1 ; s13 h13 2 ; 1 0 H 3 2 H 4 H 5
令：
s13 q13 s34 q34 )qⅠ 2s34 q34 qⅡ 0
2 2 2 2 hI s12 q12 s24 q24 s13 q13 s34 q34
(sq)
得：
I
s12 q12 s24 q24 s13 q13 s34 q34
hⅠ 2(sq)ⅠqⅠ 2s34 q34 qⅡ 0
Q2 2 hI qI
I
Q4 4 hII qII Q3
II
Q6 6
Q5 5
Q1
1
3
•
图6-3 两环管网的校正流量计算
将上式按二项式定理展开，整理后得环Ⅰ 的方程如下：
2 2 2 2 s12 q12 s24 q24 s13 q13 s34 q34 2( s12 q12 s24 q24
（3）计算各环闭合差 hi(0) 。若 hi(0) , 则停止计算。 否则，需进行下一步计算。
（4）计算各环内每根管段的 sij qij ，求 sij qij ，并按 下式计算 qi 。
hi qi n 1 n (sij qij )i
（5）根据校正流量调整各管段流量值，得：
6.3 管网水力计算方程的解法
求解管网水力计算一般方程组的数值计
算方法很多，在此仅介绍工程上常用的几种
方法。
6.3.1 环方程的解法
•
•
环方程最常用的算法是哈代· 克罗斯（Hardy Cross） 法。
以图6-3所示的两环管网为例。两环管网环方程为：
• •
s12 (q12 q I ) 2 s 24 (q24 q I ) 2 2 2 s ( q q ) s ( q q q ) 0 13 13 I 34 34 I II 2 2 s34 (q34 q I q II ) s 46 (q46 q II ) 2 2 s ( q q ) s ( q q ) 0 35 35 II 56 56 II

1 2

1 2

1 2
1 ; 2 s24 h24 H 4 2

1 2
;
2 2 0 H 3 H 5
1 2
1 1 ( s13 h13 2 s34 h34 2

1 2
1 3 1 1 ); s13 h13 2 ; 3 s34 h34 H1 2 H 4 2
;
1 3 1 s35 h35 2 ; 3 0 H 5 2 H 2
1 ( s34 h34 2

1 2
s24 h24

1 2
s46 h46

1 2
1 ); 4 s34 h34 H 3 2

1 2
1 ; 4 s24 h24 H 2 2
会改变符号，有时闭合差的绝对值甚至可能增
大，原因是推导校正流量公式时忽略了高阶项
及各环相互影响。
哈代---克罗斯法求解环方程的步骤为：
（1）根据管网的用水情况，拟定各管段的水流方向，
按照连续性方程初步分配各管段流量，得初分管段流
量
(0) q。 ij
(0) (0) (0) h q s （2）根据 ij ，计算各管段摩阻 ij 和水头损失 ij 。
1 1 2 2 Q H1 H 2 H1 H 3 0 1 s s 12 13 1 1 2 2 Q H1 H 2 H 2 H 4 0 2 s s 12 24 1 1 1 H1 H 3 2 H 3 H 4 2 H 3 H 5 2 Q3 0 s s s 13 34 35 1 1 1 H3 H 4 2 H 2 H 4 2 H 4 H6 2 Q4 0 s s s 34 24 46 1 1 H3 H5 2 H5 H6 2 0 Q5 s35 s56