334两条平行直线间的距离共24张PPT
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第三章 直线与方程
③点 P(x0，y0)到与 x 轴平行的直线 y＝a(a≠0)的距离 d＝|y0 －a|； ④点 P(x0，y0)到与 y 轴平行的直线 x＝b(b≠0)的距离 d＝|x0 －b|. 2．求两条平行直线间的距离的方法 (1)两条平行直线间的距离实际上是夹在两条平行直线间的 公垂线段的长度． (2)两条平行直线间的距离在求解时一般转化为一条直线上 一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求． (3)求两条平行直线间的距离时也可用如下公式： 设直线 l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则两平行 直线间的距离为 d＝ |C1－C2| .
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第三章 直线与方程
题型二 两条平行线间的距离问题
例2 求两条平行直线 l1：6x＋8y＝20 与 l2：3x＋4y－15＝0 的距离． 【解】 法一：若在直线 l1 上任取一点 A(2,1)，则点 A 到直 线 l2 的距离，即为所求的平行线间的距离． ∴d＝|3×2＋4×1－15|＝1.
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第三章 直线与方程
【名师点评】 (1)直线方程应为一般式，若给出其他形
式，要先化成一般式再用公式．例如，求 P0(x0，y0)到直
线 y＝kx＋b 的距离，应先把直线方程化为 kx－y＋b＝0，
得
d＝|kx0－
y0＋
b| .
k2＋ 1
(2)点 P 在直线 l 上时，点到直线的距离为零，公式仍然
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第三章 直线与方程
题型三 距离公式的综合应用
例2 已知△ABC 的顶点坐标为 A(1,1)、B(m， m)、C(4,2)， 1<m<4.当 m 为何值时，△ABC 的面积 S 最大？
【解】 |AC|＝ 4－12＋2－12＝ 10， 直线 AC 的方程为y2－－11＝x4－ －11，即 x－3y＋2＝0.
跟踪训练
4．设x＋2y＝1，求x2＋y2的最小值；若x≥0，y≥0，求 x2＋y2的最大值． 解：在直角坐标系中，x＋2y＝1 表示直线，记 d2＝x2＋y2， 它表示直线上的点到原点距离的平方，显然原点到直线 x ＋2y＝1 的距离的平方即为所求的最小值， 即 d2min＝( |1－2＋1|22)2＝15. 若 x≥0，y≥0，则问题即为求线段 AB(其中 A、B 为直线 x＋2y＝1 与 x 轴、y 轴的交点)上的点与原点距离的平方的 最大值(如图所示)，显然 d2max＝|OA|2＝1.
第三章 直线与方程
(1)
(2)法一：直线方程化为一般式为 y＋1＝0，
由点到直线的距离公式，得 d2＝
|2＋1| ＝3. 02＋ 12
法二：∵y＝－1 平行于 x 轴(如图(1)所示)，
∴ d2＝ |－ 1－ 2|＝ 3.
(2)
(3)法一：y 轴的方程为 x＝0， 由点到直线的距离公式，得 d3＝|1＋120＋＋002|＝1. 法二：如图(2)所示，可知 d3＝|1－0|＝1.
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第三章 直线与方程
信息提炼 层层剖析 将该函数式变形，根号内变成平方和的形式是求解问题 的关键． 利用化归与转化思想将f(x)看作点C(x,0)到点A(1,1)与点 B(2，－2)的距离之和． 利用几何性质(数形结合思想)求得距离之和的最小值， 即f(x)的最小值．
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第三章 直线与方程
适用，故应用公式时不必判断点 P 与直线 l 的位置关系．
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第三章 直线与方程
跟踪训练
1．已知点 A(a,2)(a>0)到直线 l：x－y＋3＝0 的距离为 1， 则 a 的值为多少？ 解：由点到直线的距离公式可知 d＝|a－2＋3|＝1.解得 a＝－1± 2.
2 又∵a>0，∴a＝－1＋ 2.
【名师点评】 点 B 到 AC 的距离最大，即△ABC 的面积最大，
问题“化归”为求距离最值．
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第三章 直线与方程
跟踪训练
3．已知直线l1：x－y－4＝0，l2：x＋y－2＝0，求l1与l2 所成角的平分线所在直线l的方程．
解：设直线 l 上任意一点 P(x，y)，
由题意知 P 到两直线 l1，l2 的距离相等，
学习目标
学习导航
第三章 直线与方程
重点难点 重点：会求点到直线的距离、两平行直线间的距离． 难点：点到直线距离，两平行直线间的距离的综合应用．
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第三章 直线与方程
新知初探思维启动
1．点到直线的距离
|Ax0＋By0＋C|
点 P0(x0，y0)到直线 l：Ax＋By＋C＝0的距离 d＝_____A_2_＋__B_2____.
第三章 直线与方程
典题例证技法归纳
【题型探究】 题型一 求点到直线的距离
例1 求点P(1,2)到下列直线的距离：
(1)l1：y＝x－3；(2)l2：y＝－1；(3)y轴．
【解】 (1)将直线方程化为一般式为 x－y－3＝0，
由点到直线的距离公式，得 d1＝
|1－2－3| ＝2 12＋－1 2
2.
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即|x＋y－2|＝|x－y－4|，即|x＋y－－2)＝±(x－y－4)，即 y＝－1 或 x＝3.
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第三章 直线与方程
【方法感悟】
1．点到直线的距离公式 (1)点到直线的距离是该点与直线上任意一点连线的最短 距离； (2)点到直线的距离公式适用于坐标平面内的所有情况， 特别是当点在直线上时，该距离为0； (3)当点与直线有特殊的位置关系时，可以用公式求解， 也可以用数形结合的方法求解，特别注意以下几种特 例：①点P(x0，y0)到x轴的距离d＝|y0|； ②点P(x0，y0)到y轴的距离d＝|x0|；
32 ＋ 42 法二：直接应用两条平行线间的距离公式． l1：3x＋4y－10＝0，l2：3x＋4y－15＝0， ∴ d＝|－ 10－－ 15 |＝ 1.
32＋ 42
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第三章 直线与方程
【名师点评】 (1)利用“化归”思想将两平行直线的距离 转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离． (2)直接用公式 d＝ |C1－C2| ，但要注意两直线方程中 x，y
|C1－C2| 离公式d＝____A_2_＋__B_2__(x、y的系数均应分别为A、B)．
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第三章 直线与方程
做一做
2.两平行直线 x＋y＋2＝0 与 x＋y－3＝0 的距离等于( )
52 A. 2
2 B. 2
C．5 2
D. 2
解析：选 A.d＝|2－－3|＝5
2 .
12＋12
2
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A2＋ B2 的系数必须分别相同．
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第三章 直线与方程
跟踪训练
2．求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且与直线l距离为3的 直线方程． 解：设与 l 平行的直线方程为 5x－12y＋C＝0， 根据两平行直线间距离公式得 |C－6| ＝3，
52＋－12 2 解之得 C＝45 或 C＝－33， 故所求直线方程为 5x－12y＋45＝0 或 5x－12y－33＝0.
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第三章 直线与方程
∵点 B(m， m)到直线 AC 的距离 d＝|m－3 m＋2|， 32 ＋ 12
∴△ABC 的面积 S＝1|AC|·d＝1|m－3 m＋2|＝1|( m－3)2－1|.
2
2
2
24
∵1<m<4，∴1< m<2，
∴0<|( m－3)2－1|≤1，0<S≤1.
2 44
8
∴当 m＝32，即 m＝94时，△ABC 的面积 S 最大．
想一想点到直线的距离公式对直线方程有什么要求？ 提示：直线方程要化为一般式．
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第三章 直线与方程
做一做
1.原点到直线 x＋2y－5＝0 的距离为( )
A．1
B. 3
C．2
解析：选 D.d＝ |－5| ＝ 5. 12＋22
D. 5
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第三章 直线与方程
2．两条平行线间的距离 (1)求两条平行线间的距离时，可转化为求其中一条直线 上任意一点到另一条直线的距离． (2)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距
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第三章 直线与方程
知能演练轻松闯关
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第三章 直线与方程
本部分内容讲解结束
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A2＋ B2
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第三章 直线与方程
精彩推荐典例展示
名师解题 化归与转化思想在求最值中的应用
例4 已知函数 f(x)＝ x2－2x＋2＋ x2－4x＋8，求函数 f(x)的最小值．
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第三章 直线与方程
【解】 由题意，得 f(x)＝ x－12＋0－12＋ x－22＋ 0＋22.
f(x)可以看作点 C(x,0)到点 A(1,1)与点 B(2，－2)的距离之 和． 如图所示，点 A，B 在 x 轴的两侧， ∴当点 C 与 A 和 B 两点共线时，距离之和最小． 即 f(x)的最小值为|AB|＝ 1－22＋[1－－2]2＝ 10.
第三章 直线与方程
③点 P(x0，y0)到与 x 轴平行的直线 y＝a(a≠0)的距离 d＝|y0 －a|； ④点 P(x0，y0)到与 y 轴平行的直线 x＝b(b≠0)的距离 d＝|x0 －b|. 2．求两条平行直线间的距离的方法 (1)两条平行直线间的距离实际上是夹在两条平行直线间的 公垂线段的长度． (2)两条平行直线间的距离在求解时一般转化为一条直线上 一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求． (3)求两条平行直线间的距离时也可用如下公式： 设直线 l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则两平行 直线间的距离为 d＝ |C1－C2| .
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第三章 直线与方程
题型二 两条平行线间的距离问题
例2 求两条平行直线 l1：6x＋8y＝20 与 l2：3x＋4y－15＝0 的距离． 【解】 法一：若在直线 l1 上任取一点 A(2,1)，则点 A 到直 线 l2 的距离，即为所求的平行线间的距离． ∴d＝|3×2＋4×1－15|＝1.
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第三章 直线与方程
【名师点评】 (1)直线方程应为一般式，若给出其他形
式，要先化成一般式再用公式．例如，求 P0(x0，y0)到直
线 y＝kx＋b 的距离，应先把直线方程化为 kx－y＋b＝0，
得
d＝|kx0－
y0＋
b| .
k2＋ 1
(2)点 P 在直线 l 上时，点到直线的距离为零，公式仍然
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第三章 直线与方程
题型三 距离公式的综合应用
例2 已知△ABC 的顶点坐标为 A(1,1)、B(m， m)、C(4,2)， 1<m<4.当 m 为何值时，△ABC 的面积 S 最大？
【解】 |AC|＝ 4－12＋2－12＝ 10， 直线 AC 的方程为y2－－11＝x4－ －11，即 x－3y＋2＝0.
跟踪训练
4．设x＋2y＝1，求x2＋y2的最小值；若x≥0，y≥0，求 x2＋y2的最大值． 解：在直角坐标系中，x＋2y＝1 表示直线，记 d2＝x2＋y2， 它表示直线上的点到原点距离的平方，显然原点到直线 x ＋2y＝1 的距离的平方即为所求的最小值， 即 d2min＝( |1－2＋1|22)2＝15. 若 x≥0，y≥0，则问题即为求线段 AB(其中 A、B 为直线 x＋2y＝1 与 x 轴、y 轴的交点)上的点与原点距离的平方的 最大值(如图所示)，显然 d2max＝|OA|2＝1.
第三章 直线与方程
(1)
(2)法一：直线方程化为一般式为 y＋1＝0，
由点到直线的距离公式，得 d2＝
|2＋1| ＝3. 02＋ 12
法二：∵y＝－1 平行于 x 轴(如图(1)所示)，
∴ d2＝ |－ 1－ 2|＝ 3.
(2)
(3)法一：y 轴的方程为 x＝0， 由点到直线的距离公式，得 d3＝|1＋120＋＋002|＝1. 法二：如图(2)所示，可知 d3＝|1－0|＝1.
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第三章 直线与方程
信息提炼 层层剖析 将该函数式变形，根号内变成平方和的形式是求解问题 的关键． 利用化归与转化思想将f(x)看作点C(x,0)到点A(1,1)与点 B(2，－2)的距离之和． 利用几何性质(数形结合思想)求得距离之和的最小值， 即f(x)的最小值．
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第三章 直线与方程
适用，故应用公式时不必判断点 P 与直线 l 的位置关系．
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第三章 直线与方程
跟踪训练
1．已知点 A(a,2)(a>0)到直线 l：x－y＋3＝0 的距离为 1， 则 a 的值为多少？ 解：由点到直线的距离公式可知 d＝|a－2＋3|＝1.解得 a＝－1± 2.
2 又∵a>0，∴a＝－1＋ 2.
【名师点评】 点 B 到 AC 的距离最大，即△ABC 的面积最大，
问题“化归”为求距离最值．
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第三章 直线与方程
跟踪训练
3．已知直线l1：x－y－4＝0，l2：x＋y－2＝0，求l1与l2 所成角的平分线所在直线l的方程．
解：设直线 l 上任意一点 P(x，y)，
由题意知 P 到两直线 l1，l2 的距离相等，
学习目标
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第三章 直线与方程
重点难点 重点：会求点到直线的距离、两平行直线间的距离． 难点：点到直线距离，两平行直线间的距离的综合应用．
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第三章 直线与方程
新知初探思维启动
1．点到直线的距离
|Ax0＋By0＋C|
点 P0(x0，y0)到直线 l：Ax＋By＋C＝0的距离 d＝_____A_2_＋__B_2____.
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典题例证技法归纳
【题型探究】 题型一 求点到直线的距离
例1 求点P(1,2)到下列直线的距离：
(1)l1：y＝x－3；(2)l2：y＝－1；(3)y轴．
【解】 (1)将直线方程化为一般式为 x－y－3＝0，
由点到直线的距离公式，得 d1＝
|1－2－3| ＝2 12＋－1 2
2.
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即|x＋y－2|＝|x－y－4|，即|x＋y－－2)＝±(x－y－4)，即 y＝－1 或 x＝3.
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第三章 直线与方程
【方法感悟】
1．点到直线的距离公式 (1)点到直线的距离是该点与直线上任意一点连线的最短 距离； (2)点到直线的距离公式适用于坐标平面内的所有情况， 特别是当点在直线上时，该距离为0； (3)当点与直线有特殊的位置关系时，可以用公式求解， 也可以用数形结合的方法求解，特别注意以下几种特 例：①点P(x0，y0)到x轴的距离d＝|y0|； ②点P(x0，y0)到y轴的距离d＝|x0|；
32 ＋ 42 法二：直接应用两条平行线间的距离公式． l1：3x＋4y－10＝0，l2：3x＋4y－15＝0， ∴ d＝|－ 10－－ 15 |＝ 1.
32＋ 42
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第三章 直线与方程
【名师点评】 (1)利用“化归”思想将两平行直线的距离 转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离． (2)直接用公式 d＝ |C1－C2| ，但要注意两直线方程中 x，y
|C1－C2| 离公式d＝____A_2_＋__B_2__(x、y的系数均应分别为A、B)．
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第三章 直线与方程
做一做
2.两平行直线 x＋y＋2＝0 与 x＋y－3＝0 的距离等于( )
52 A. 2
2 B. 2
C．5 2
D. 2
解析：选 A.d＝|2－－3|＝5
2 .
12＋12
2
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A2＋ B2 的系数必须分别相同．
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2．求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且与直线l距离为3的 直线方程． 解：设与 l 平行的直线方程为 5x－12y＋C＝0， 根据两平行直线间距离公式得 |C－6| ＝3，
52＋－12 2 解之得 C＝45 或 C＝－33， 故所求直线方程为 5x－12y＋45＝0 或 5x－12y－33＝0.
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第三章 直线与方程
∵点 B(m， m)到直线 AC 的距离 d＝|m－3 m＋2|， 32 ＋ 12
∴△ABC 的面积 S＝1|AC|·d＝1|m－3 m＋2|＝1|( m－3)2－1|.
2
2
2
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∵1<m<4，∴1< m<2，
∴0<|( m－3)2－1|≤1，0<S≤1.
2 44
8
∴当 m＝32，即 m＝94时，△ABC 的面积 S 最大．
想一想点到直线的距离公式对直线方程有什么要求？ 提示：直线方程要化为一般式．
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第三章 直线与方程
做一做
1.原点到直线 x＋2y－5＝0 的距离为( )
A．1
B. 3
C．2
解析：选 D.d＝ |－5| ＝ 5. 12＋22
D. 5
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第三章 直线与方程
2．两条平行线间的距离 (1)求两条平行线间的距离时，可转化为求其中一条直线 上任意一点到另一条直线的距离． (2)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距
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第三章 直线与方程
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名师解题 化归与转化思想在求最值中的应用
例4 已知函数 f(x)＝ x2－2x＋2＋ x2－4x＋8，求函数 f(x)的最小值．
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第三章 直线与方程
【解】 由题意，得 f(x)＝ x－12＋0－12＋ x－22＋ 0＋22.
f(x)可以看作点 C(x,0)到点 A(1,1)与点 B(2，－2)的距离之 和． 如图所示，点 A，B 在 x 轴的两侧， ∴当点 C 与 A 和 B 两点共线时，距离之和最小． 即 f(x)的最小值为|AB|＝ 1－22＋[1－－2]2＝ 10.