数形结合思想数形结合思想数形结合

数 形 结 合

———高考解题的一把利刃

山东 胡大波

数形结合思想的实质是将抽象的数量关系与直观的图形结合起来，具有直观、明了、易懂等优越性，如能准确把握，威力巨大．这也是高考考查的重点，让我们看看其在函数中的神奇效果．

一、研究函数的性质

例1 （2005年北京卷13题）对于函数()f x 定义域中任意的1212()x x x x ≠，，有如下结论：

①1212()()()f x x f x f x +=g ；②1212()()()f x x f x f x =+g ；

③1212()()0f x f x x x ->-

；④1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭

． 当()lg f x x =时，上述结论中正确结论的序号是___．

解析：作出图象如图1，由图可知④不正确；而①显然不成立；②为运算律，成立；③表示12x x -与12()()f x f x -同号，由增函数的定义知：()lg f x x =在其定义域上为增函数成立．所以答案为：②③．

点评：本题综合考查函数的概念、图象及性质，选项③侧重考查单调性，选项④考查函数图象，若用代数方法研究，难度较大，通过图象的特征及其变化趋势则容易判断．

二、研究函数的最值

例2 （2006年全国Ⅱ理科12题）函数19

1()n f x x n ==-∑的最小值为（ ）

． （Ａ）190 （Ｂ）171 （Ｃ）90 （Ｄ）45

解析：绝对值往往是使试题增加难度的“添加剂”．如果试图进行分类讨论，几乎不可能完成，必须另寻妙法!1x -的几何意义是什么？是数轴上的点 x 到点1的距离，那么

12x x -+-就是点x 到点1与到点2的距离之和，如图2，当[1

2]x ∈，时，12x x -+-的最小值为1；又当x =2时，123x x x -+-+-的最小值为2；…，依次类推，当x =10

时，所求最小值为02(129)90+⨯+++=L ，故选（Ｃ）．

求等差数列前9项的和当然是“小菜一碟”，而此时绝对值的几何意义则成了解题的关键，这个解题过程可用“一点突破，全线贯通”来形容！

三、研究方程的解

例3 （2005年上海春招理16题）设定义域为R 的函数lg 11()01x x f x x ⎧-≠⎪=⎨=⎪⎩，，，

，，则关于x 的方程2

()()0f x bf x c ++=有7个不同实数解的充要条件是（ ）． （Ａ）b <0且c >0

（Ｂ）b >0且c <0 （Ｃ）b <0且c ＝0 （Ｄ）b ≥0且c ＝0 解析： lg(1)1()01lg(1)1x x f x x x x ⎧->⎪==⎨⎪-<⎩

，， ，

其图象如图3所示，()f x 的图象关于1x =对称，且()0f x ≥． 若方程2

()()0f x bf x c ++=①有7个不同实数根，则方程20t bt c ++=②有两个不相等的实根，且一根为正，一根为0，否则，若方程②有两个相等的非负实根，则方程①至多有4个解，若方程②有两个不相等的正实根，则方程①有8个解．

因为()0f x =满足方程①，则0c =，又()0f x >也满足方程①，所以

()0b f x =-<．所以b <0，且c ＝0，故选（C ）

． 点评：在中学阶段所涉及的函数：正、反比例函数，一次、二次函数，指数、对数函数等都要充分联系函数图象，借助图象的直观形象，达到求解的目的．

例4 设方程4(1)x

a x a +=>的解为1x ，方程log 4(1)a x x a +=>的解为2x ，求12x x +．

分析：给出的1a >是不定的，所求得的12x x ，都不固定．但原方程可分别变形为4x a x =-+和log 4a x x =-+．因为x y a =与log a y x =互为反函数，所以函数x y a =的图象与函数log a y x =的图象关于直线y x =对称，而12x x ，可分别看作直线4y x =-+与函数x

y a =的图象及函数log a y x =的图象交点的横坐标．如图4，直线4y x =-+与直线y x =互相垂直，点Ａ与点Ｂ关于直线y x =对称，设点Ｐ为线段AB 的中点，且点P 为直线y x =与直线4y x =-+的交点，则问题可转化为求点Ｐ的横坐标．

解：如图4，由

4

y x

y x

=-+

⎧

⎨

=

⎩

，

，

，解得

2

2

x

y

=

⎧

⎨

=

⎩

，

，

则

12

24

x x x

+==．

评注：隐性条件的挖掘是解题的关键，要善于从条件的结构特征中寻找一些和函数图象关联的信息源，以便为解决问题作好形的铺垫．