高考数学一轮复习 第一单元 集合与常用逻辑用语学案 理

第一单元集合与常用逻辑用语
第1课集__合
[过双基]
1．集合的含义及表示
(1)集合的含义：研究对象叫做元素，一些元素组成的总体叫做集合．集合中元素的性质：确定性、无序性、互异性．
(2)元素与集合的关系：①属于，记为∈；②不属于，记为∉.
(3)集合的表示方法：列举法、描述法和图示法．
(4)常用数集的记法：自然数集N，正整数集N*或N＋，整数集Z，有理数集Q，实数集R.
2．集合间的基本关系
表示
关系
文字语言符号语言记法
基本关系
子集
集合A的元素都是集合
B的元素
x∈A⇒x∈B A⊆B或B⊇A 真子集
集合A是集合B的子集，
且集合B中至少有一个
元素不属于A
A⊆B，且∃x0∈B，
x0∉A
A B或
B A
相等
集合A，B的元素完全相
同
A⊆B，
B⊆A
A＝B
空集
不含任何元素的集
合．空集是任何集合A
的子集
∀x，x∉∅，
∅⊆A
∅
3．集合的基本运算
表示
运算
文字语言符号语言图形语言记法交集
属于集合A且属于集合B的
元素组成的集合
{x|x∈A，且x∈B}A∩B 并集
属于集合A或属于集合B的
元素组成的集合
{x|x∈A，或x∈B}A∪B
补集
全集U 中不属于集合A 的元
素组成的集合
{x |x ∈U ，且x ∉A }
∁U A
(1)集合A 是其本身的子集，即A ⊆A ； (2)子集关系的传递性，即A ⊆B ，B ⊆C ⇒A ⊆C ；
(3)A ∪A ＝A ∩A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ∩∅＝∅，∁U U ＝∅，∁U ∅＝U . [小题速通]
1．(2018·江西临川一中期中)已知集合A ＝{2,0,1,8}，B ＝{k |k ∈R ，k 2
－2∈A ，k －2∉
A }，则集合
B 中所有的元素之和为( )
A ．2
B ．－2
C ．0
D. 2
解析：选B 若k 2
－2＝2，则k ＝2或k ＝－2，当k ＝2时，k －2＝0，不满足条件，当k ＝－2时，k －2＝－4，满足条件；若k 2
－2＝0，则k ＝±2，显然满足条件；若k 2
－2＝1，则k ＝±3，显然满足条件；若k 2
－2＝8，则k ＝±10，显然满足条件．所以集合B 中的元素为－2，±2，±3，±10，所以集合B 中的元素之和为－2，故选B.
2．(2018·河北武邑中学期中)集合A ＝{x |x 2
－7x <0，x ∈N *
}，则B ＝⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬
⎪
⎫y ⎪⎪
⎪
6
y ∈N *
，y ∈A 中元素的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：选 D A ＝{x |x 2
－7x <0，x ∈N *
}＝{x |0<x <7，x ∈N *
}＝{1,2,3,4,5,6}，B ＝
⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫y ⎪⎪⎪
6y
∈N *
，y ∈A ＝{1,2,3,6}，则B 中元素的个数为4个． 3．(2017·黄冈三模)设集合U ＝{1,2,3,4}，集合A ＝{x ∈N|x 2
－5x ＋4<0}，则∁U A 等于( )
A ．{1,2}
B ．{1,4}
C ．{2,4}
D ．{1,3,4}
解析：选B 因为集合U ＝{1,2,3,4}，集合A ＝{x ∈N|x 2
－5x ＋4<0}＝{x ∈N|1<x <4}＝{2,3}，所以∁U A ＝{1,4}．
4．(2017·天津高考)设集合A ＝{1,2,6}，B ＝{2,4}，C ＝{x ∈R|－1≤x ≤5}，则(A ∪B )∩C ＝( )
A ．{2}
B ．{1,2,4}
C ．{1,2,4,6}
D ．{x ∈R|－1≤x ≤5}
解析：选B A ∪B ＝{1,2,4,6}，又C ＝{x ∈R|－1≤x ≤5}，则(A ∪B )∩C ＝{1,2,4}．
5．(2017·衡水押题卷)已知集合A ＝{x |x 2
－2x ≤0}，B ＝{y |y ＝log 2(x ＋2)，x ∈A }，则
A ∩
B 为( )
A ．(0,1)
B ．[0,1]
C ．(1,2)
D ．[1,2]
解析：选D 因为A ＝{x |0≤x ≤2}，所以B ＝{y |y ＝log 2(x ＋2)，x ∈A }＝{y |1≤y ≤2}，所以A ∩B ＝{x |1≤x ≤2}．
[清易错]
1．在写集合的子集时，易忽视空集．
2．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．
3．在应用条件A ∪B ＝B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ⊆B 时，易忽略A ＝∅的情况．
1．(2018·西安质检)已知集合M ＝{1,2,3,4}，则集合P ＝{x |x ∈M ，且2x ∉M }的子集的个数为( )
A ．8
B ．4
C ．3
D ．2
解析：选B 由题意，得P ＝{3,4}，所以集合P 的子集有22
＝4个，故选B.
2．已知全集U ＝{2,3，a 2
＋2a －3}，A ＝{|a ＋1|,2}，∁U A ＝{a ＋3}，则实数a 的值为________．
解析：∵∁U A ＝{a ＋3}，
∴a ＋3≠2且a ＋3≠|a ＋1|且a ＋3∈U ， 由题意，得a ＋3＝3或a ＋3＝a 2
＋2a －3， 解得a ＝0或a ＝2或a ＝－3，
又∵|a ＋1|≠2且A U ，∴a ≠0且a ≠－3，∴a ＝2. 答案：2
3．设集合A ＝{x |x 2
－5x ＋6＝0}，集合B ＝{x |mx －1＝0}，若A ∩B ＝B ，则实数m 组成的集合是________．
解析：由题意知A ＝{2,3}，又A ∩B ＝B ，所以B ⊆A . 当m ＝0时，B ＝∅，显然成立；
当m ≠0时，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1m ⊆{2,3}，所以1m ＝2或1m ＝3，即m ＝12或1
3.
故m 组成的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫
0，12，13.
答案：⎩
⎨⎧⎭⎬⎫
0，12，13
[全国卷5年命题分析]
考点 考查频度 考查角度
集合的基本概念 5年5考 集合的表示、集合元素的性质
集合间的基本关系 5年2考 子集概念
集合的基本运算 5年12考
交、并、补运算，多与不等式相结合
集合的基本概念
[典例] (1)∈A ，b ∈B }，则M 中的元素个数为( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
(2)(2018·厦门模拟)已知P ＝{x |2<x <k ，x ∈N}，若集合P 中恰有3个元素，则k 的取值范围为________．
[解析] (1)∵a ∈A ，b ∈B ，∴x ＝a ＋b 为1＋4＝5,1＋5＝2＋4＝6,2＋5＝3＋4＝7,3＋5＝8，共4个元素．
(2)因为P 中恰有3个元素，所以P ＝{3,4,5}，故k 的取值范围为5<k ≤6. [答案] (1)B (2)(5,6] [方法技巧]
与集合中的元素有关问题的求解策略
(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集． (2)看这些元素满足什么限制条件．
(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．
[即时演练]
1．(2018·莱州一中模拟)已知集合A ＝{x ∈N|x 2
＋2x －3≤0}，B ＝{C |C ⊆A }，则集合B 中元素的个数为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
解析：选C A ＝{x ∈N|(x ＋3)(x －1)≤0}＝{x ∈N|－3≤x ≤1}＝{0,1}，共有22
＝4个子集，因此集合B 中元素的个数为4，选C.
2．已知集合A ＝{m ＋2,2m 2
＋m }，若3∈A ，则m 的值为________．
解析：由题意得m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3，则m ＝1或m ＝－32
，当m ＝1时，m ＋2＝3且2m
2
＋m ＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m ＝－32时，m ＋2＝12，而2m 2
＋m ＝3，
故m ＝－3
2
.
答案：－3
2
集合间的基本关系
[典例] (1)则实数a 的取值范围为( )
A ．(－∞，0)∪(2，＋∞)
B ．(－∞，0]∪[3，＋∞)
C ．[0,2]
D ．[0,3]
(2)已知集合A ＝{x |1≤x ＜5}，B ＝{x |－a <x ≤a ＋3}，若B ⊆(A ∩B )，则实数a 的取值范围为________．
[解析] (1)∵C ⊆A ，∴⎩⎪⎨
⎪
⎧
a ≥0，a ＋1≤3，
解得0≤a ≤2，故实数a 的取值范围为[0,2]．
(2)因为B ⊆(A ∩B )，所以B ⊆A . ①当B ＝∅时，满足B ⊆A ， 此时－a ≥a ＋3，即a ≤－3
2
；
②当B ≠∅时，要使B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪
⎧
－a <a ＋3，－a ≥1，
a ＋3<5，
解得－3
2
<a ≤－1.
由①②可知，实数a 的取值范围为(－∞，－1]． [答案] (1)C (2)(－∞，－1] [方法技巧]
已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图帮助分析．
[即时演练]
1．设U ＝R ，集合A ＝{x |x 2
＋3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2
＋(m ＋1)x ＋m ＝0}，若B ⊆A ，则m ＝________.
解析：由已知得A ＝{x |x ＝－2或x ＝－1}，
B ＝{x |x ＝－1或x ＝－m }．
因为B ⊆A ，
当－m＝－1，即m＝1时，满足题意；
当－m＝－2，即m＝2时，满足题意，故m＝1或2.
答案：1或2
2．已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A⊆B，实数a的取值范围是(c，＋∞)，则c＝________.
解析：
由log2x≤2，得0<x≤4，
即A＝{x|0<x≤4}，
而B＝(－∞，a)，
由于A⊆B，如图所示，则a>4，即c＝4.
答案：4
集合的基本运算
集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系，考查对集合的理解及不等式的有关知识；有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题，考查学生的灵活处理问题的能力.
常见的命题角度有：
1求交集或并集；
2交、并、补的混合运算；
3集合运算中的参数范围；
4集合的新定义问题.
1．(2017·山东高考)设函数y＝4－x2的定义域为A，函数y＝ln(1－x)的定义域为B，则A∩B＝( )
A．(1,2) B．(1,2]
C．(－2,1) D．[－2,1)
解析：选D 由题意可知A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|x<1}，故A∩B＝{x|－2≤x<1}．2．(2017·浙江高考)已知集合P＝{x|－1<x<1}，Q＝{x|0<x<2}，那么P∪Q＝( ) A．(－1,2) B．(0,1)
C．(－1,0) D．(1,2)
解析：选A 根据集合的并集的定义，得P∪Q＝(－1,2)．
角度二：交、并、补的混合运算
3．设全集U＝R，集合A＝{x|x>0}，B＝{x|x2－x－2<0}，则A∩(∁U B)＝( )
A ．(0,2]
B ．(－1,2]
C ．[－1,2]
D ．[2，＋∞)
解析：选D 因为A ＝{x |x >0}，B ＝{x |－1<x <2}， 所以∁U B ＝{x |x ≤－1或x ≥2}， 所以A ∩(∁U B )＝{x |x ≥2}．
4．若全集U ＝R ，集合A ＝{x |1<2x
<4}，B ＝{x |x －1≥0}，则A ∪(∁U B )＝________. 解析：A ＝{x |0<x <2}，B ＝{x |x ≥1}，则∁U B ＝{x |x <1}，所以A ∪(∁U B )＝{x |x <2}． 答案：{x |x <2}
角度三：集合运算中的参数范围
5．(2017·上海高考)设集合A ＝{x ||x －2|≤3}，B ＝{x |x <t }，若A ∩B ＝∅，则实数t 的取值范围是________．
解析：因为集合A ＝{x |－1≤x ≤5}，B ＝{x |x <t }，且A ∩B ＝∅，所以t ≤－1，即实数t 的取值范围是(－∞，－1]．
答案：(－∞，－1] 角度四：集合的新定义问题
6．设M ，P 是两个非空集合，定义M 与P 的差集为：M －P ＝{x |x ∈M ，且x ∉P }，则M －(M －P )＝( )
A ．P
B ．M ∩P
C ．M ∪P
D ．M
解析：选B 设全集U ，由题意可得M －P ＝M ∩(∁U P )，所以M －(M －P )＝M ∩P .
7．对于集合M ，定义函数f M (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
－1，x ∈M ，
1，x ∉M ，对于两个集合A ，B ，定义集合A ΔB
＝{x |f A (x )·f B (x )＝－1}．已知A ＝{2,4,6,8,10}，B ＝{1,2,4,8,12}，则用列举法写出集合
A Δ
B 的结果为________．
解析：由题意知当x ∈A 且x ∉B 或x ∈B 且x ∉A 时，有f A (x )·f B (x )＝－1成立，所以A ΔB ＝{1,6,10,12}．
答案：{1,6,10,12} [方法技巧]
解集合运算问题4个注意点
(1)看元素构成
集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键． (2)对集合化简
有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决．
(3)应用数形
常用的数形结合形式有数轴和Venn图．
(4)创新性问题
以集合为依托，对集合的定义、运算、性质进行创新考查，但最终化为原来的集合知识和相应数学知识来解决．
1．(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}，则( )
A．A∩B＝{x|x<0} B．A∪B＝R
C．A∪B＝{x|x>1} D．A∩B＝∅
解析：选A ∵集合A＝{x|x<1}，B＝{x|x<0}，
∴A∩B＝{x|x<0}，A∪B＝{x|x<1}，故选A.
2．(2016·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}，则A∪B ＝( )
A．{1} B．{1,2}
C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}
解析：选 C 因为B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}＝{x|－1<x<2，x∈Z}＝{0,1}，A＝{1,2,3}，所以A∪B＝{0,1,2,3}．
3．(2015·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0<x<3}，则A∪B＝( ) A．(－1,3) B．(－1,0)
C．(0,2) D．(2,3)
解析：
选A 将集合A与集合B在数轴上画出(如图)．
由图可知A∪B＝(－1,3)，故选A.
4．(2014·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{－2,0,2}，B＝{ x|x2－x－2＝0}，则A∩B＝( ) A．∅B．{2}
C．{0} D．{－2}
解析：选B 因为B＝{x|x2－x－2＝0}＝{－1,2}，A＝{－2,0,2}，所以A∩B＝{2}，故选B.
5．(2013·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－5＜x＜5}，则( ) A．A∩B＝∅B．A∪B＝R
C．B⊆A D.A⊆B
解析：选B 因为集合A ＝{x |x ＞2或x ＜0}，所以A ∪B ＝{x |x ＞2或x ＜0}∪{x |－5＜
x ＜5}＝R ，故选B.
一、选择题
1．(2017·北京高考)若集合A ＝{x |－2<x <1}，B ＝{x |x <－1或x >3}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－2<x <－1} B ．{x |－2<x <3} C ．{x |－1<x <1}
D ．{x |1<x <3}
解析：选A 由集合交集的定义可得A ∩B ＝{x |－2<x <－1}．
2．设集合A ＝{x |x 2
－9<0}，B ＝{x |2x ∈N}，则A ∩B 中元素的个数为( ) A ．3 B ．4 C ．5
D ．6
解析：选D 因为A ＝{x |－3<x <3}，B ＝{x |2x ∈N}，
所以由2x ∈N 可得A ∩B ＝⎩
⎨⎧⎭⎬⎫
0，12，1，32，2，52，其元素的个数是6.
3．(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2
＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( )
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
解析：选B 因为A 表示圆x 2
＋y 2
＝1上的点的集合，B 表示直线y ＝x 上的点的集合，直线y ＝x 与圆x 2
＋y 2
＝1有两个交点，所以A ∩B 中元素的个数为2.
4．设集合A ＝{x |x 2
－2x －3<0}，B ＝{x |x >0}，则A ∪B ＝( ) A ．(－1，＋∞) B ．(－∞，3) C ．(0,3)
D ．(－1,3)
解析：选A 因为集合A ＝{x |x 2
－2x －3<0}＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |x >0}，所以A ∪B ＝{x |x >－1}．
5．(2017·全国卷Ⅱ)设集合A ＝{1,2,4}，B ＝{x |x 2
－4x ＋m ＝0}．若A ∩B ＝{1}，则B ＝( )
A ．{1，－3}
B ．{1,0}
C ．{1,3}
D ．{1,5}
解析：选C 因为A ∩B ＝{1}，所以1∈B ，所以1是方程x 2
－4x ＋m ＝0的根，所以1－4＋m ＝0，m ＝3，方程为x 2
－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3，所以B ＝{1,3}．
6．设集合A ＝{－1,0,1}，集合B ＝{0,1,2,3}，定义A *B ＝{(x ，y )|x ∈A ∩B ，y ∈A ∪B }，则A *B 中元素的个数是( )
A ．7
B ．10
C ．25
D ．52
解析：选B 因为A ＝{－1,0,1}，B ＝{0,1,2,3}， 所以A ∩B ＝{0,1}，A ∪B ＝{－1,0,1,2,3}． 由x ∈A ∩B ，可知x 可取0,1； 由y ∈A ∪B ，可知y 可取－1,0,1,2,3. 所以元素(x ，y )的所有结果如下表所示：
x y
－1 0 1 2 3 0 (0，－1) (0,0) (0,1) (0,2) (0,3) 1 (1，－1)
(1,0)
(1,1)
(1,2)
(1,3)
所以A *B 中的元素共有10个．
7．(2017·吉林一模)设集合A ＝{0,1}，集合B ＝{x |x >a }，若A ∩B 中只有一个元素，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－∞，1)
B ．[0,1)
C ．[1，＋∞)
D ．(－∞，1]
解析：选B 由题意知，集合A ＝{0,1}，集合B ＝{x |x >a }，画出数轴(如图所示)．若A ∩B 中只有一个元素，则0≤a <1，故选B.
8．设P 和Q 是两个集合，定义集合P －Q ＝{x |x ∈P ，且x ∉Q }，如果P ＝{x |log 2x <1}，Q ＝{x ||x －2|<1}，那么P －Q ＝( )
A ．{x |0<x <1}
B ．{x |0<x ≤1}
C ．{x |1≤x <2}
D ．{x |2≤x <3}
解析：选B 由log 2x <1，得0<x <2， 所以P ＝{x |0<x <2}． 由|x －2|<1，得1<x <3， 所以Q ＝{x |1<x <3}．
由题意，得P －Q ＝{x |0<x ≤1}． 二、填空题
9．(2018·辽宁师大附中调研)若集合A ＝{x |(a －1)x 2
＋3x －2＝0}有且仅有两个子集，则实数a 的值为________．
解析：由题意知，集合A 有且仅有两个子集，则集合A 中只有一个元素．当a －1＝0，
即a ＝1时，A ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
23，满足题意；当a －1≠0，即a ≠1时，要使集合A 中只有一个元素，需
Δ＝9＋8(a －1)＝0，解得a ＝－18.综上可知，实数a 的值为1或－18
.
答案：1或－1
8
10．已知集合A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |x －1≥1}．若A ∩B 是集合{x |x ≥a }的子集，则实数a 的取值范围为________．
解析：∵由x －1≥1，得x ≥2，∴B ＝{x |x ≥2}． ∵A ＝{x |1≤x ≤3}，∴A ∩B ＝{x |2≤x ≤3}． 若集合A ∩B ＝{x |2≤x ≤3}是集合{x |x ≥a }的子集， 则a ≤2. 答案：(－∞，2]
11．(2018·贵阳监测)已知全集U ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，集合A 是全集U 的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：①若a 1∈A ，则a 2∈A ；②若a 3∉A ，则a 2∉A ；③若a 3∈A ，则
a 4∉A .则集合A ＝________.(用列举法表示)
解析：假设a 1∈A ，则a 2∈A ，由若a 3∉A ，则a 2∉A 可知，a 3∈A ，故假设不成立；假设a 4
∈A ，则a 3∉A ，a 2∉A ，a 1∉A ，故假设不成立．故集合A ＝{a 2，a 3}．
答案：{a 2，a 3}
12．(2016·北京高考)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种．则该网店
①第一天售出但第二天未售出的商品有________种； ②这三天售出的商品最少有________种．
解析：设三天都售出的商品有x 种，第一天售出，第二天未售出，且第三天售出的商品有y 种，则三天售出商品的种类关系如图所示．
由图可知：
①第一天售出但第二天未售出的商品有19－(3－x )－x ＝16(种)．
②这三天售出的商品有(16－y )＋y ＋x ＋(3－x )＋(6＋x )＋(4－x )＋(14－y )＝43－
y (种)．
由于⎩⎪⎨⎪
⎧
16－y ≥0，y ≥0，
14－y ≥0，
所以0≤y ≤14.
所以(43－y )min ＝43－14＝29. 答案：①16 ②29 三、解答题
13．已知A ＝{x |－1<x ≤3}，B ＝{x |m ≤x <1＋3m }． (1)当m ＝1时，求A ∪B ；
(2)若B ⊆∁R A ，求实数m 的取值范围． 解：(1)因为m ＝1时，B ＝{x |1≤x <4}， 所以A ∪B ＝{x |－1<x <4}． (2)∁R A ＝{x |x ≤－1或x >3}．
当B ＝∅时，则m ≥1＋3m ，得m ≤－1
2
，满足B ⊆∁R A ，
当B ≠∅时，要使B ⊆∁R A ，须满足⎩
⎪⎨
⎪⎧
m <1＋3m ，
1＋3m ≤－1或⎩
⎪⎨
⎪⎧
m <1＋3m ，
m >3，解得m >3.
综上所述，m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪(3，＋∞)．
14．记函数f (x )＝ 2－
x ＋3
x ＋1
的定义域为A ，g (x )＝lg[(x －a －1)(2a －x )](a <1)的定义域为B .
(1)求A ；
(2)若B ⊆A ，求实数a 的取值范围． 解：(1)由2－
x ＋3x ＋1≥0，得x －1
x ＋1
≥0， 解得x <－1或x ≥1，
即A ＝(－∞，－1)∪[1，＋∞)． (2)由(x －a －1)(2a －x )>0， 得(x －a －1)(x －2a )<0，
∵a <1，∴a ＋1>2a ，∴B ＝(2a ，a ＋1)，
∵B ⊆A ，∴2a ≥1或a ＋1≤－1，即a ≥1
2或a ≤－2，
∵a <1，∴1
2
≤a <1或a ≤－2，
∴实数a 的取值范围是(－∞，－2]∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫12，1.
1．已知定义域均为{x |0≤x ≤2}的函数f (x )＝x
e x －1与g (x )＝ax ＋3－3a (a >0)，设函数
f (x )
与g (x )的值域分别为A 与B ，若A ⊆B ，则a 的取值范围是( )
A ．[2，＋∞)
B ．[1,2]
C ．[0,2]
D ．[1，＋∞)
解析：选B 因为f ′(x )＝
1－x e x －1，所以f (x )＝x
e
x －1在[0,1)上是增函数，在(1,2]上是减
函数，
又因为f (1)＝1，f (0)＝0，f (2)
＝2
e
，所以A ＝{x |0≤x ≤1}；
由题意易得B ＝[3－3a,3－a ]， 因为[0,1]⊆[3－3a,3－a ]，
所以3－3a ≤0且3－a ≥1，解得1≤a ≤2.
2．设集合A ＝{(x 1，x 2，x 3，x 4)|x i ∈{－1,0,1}，i ＝1,2,3,4}，那么集合A 中满足条件“x 2
1＋x 2
2＋x 2
3＋x 2
4≤4”的元素个数为( )
A ．60
B ．65
C ．80
D ．81
解析：选D 由题意知，每一个元素都有3种取法，所以元素的个数为34
＝81.
第2课命题及其关系__充分条件与必要条件
[过双基]
1．命题
概念 使用语言、符号或者式子表达的，可以判断真假的陈述句 特点 (1)能判断真假；(2)陈述句 分类 真命题、假命题
2(1)四种命题间的相互关系：
(2)四种命题中真假性的等价关系：原命题等价于逆否命题，原命题的否命题等价于逆命题．在四种形式的命题中真命题的个数只能是0,2,4.
3．充要条件
若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p
的必要条件
p 成立的对象的集合为A ，q 成
立的对象的集合为B
p 是q 的充分不必要条件 p ⇒q 且q ⇒/p A 是B 的真子集 集合与
p 是q 的必要不充分条件 p ⇒/q 且q ⇒p B 是A 的真子集
充要条件
p 是q 的充要条件
p ⇔q
A ＝
B p 是q 的既不充分也不必要条件
p ⇒/q 且q ⇒/
p
A ，
B 互不包含
[1．命题“若a >b ，则ac >bc ”的逆否命题是( ) A ．若a >b ，则ac ≤bc B ．若ac ≤bc ，则a ≤b C ．若ac >bc ，则a >b
D ．若a ≤b ，则ac ≤bc
解析：选B 由逆否命题的定义可知，答案为B.
2．已知命题p ：对于x ∈R ，恒有2x
＋2－x
≥2成立；命题q ：奇函数f (x )的图象必过原点，则下列结论正确的是( )
A ．p ∧q 为真
B ．(綈p )∨q 为真
C ．p ∧(綈q )为真
D ．(綈p )∧q 为真
解析：选C 由指数函数与基本不等式可知，命题p 是真命题；当函数f (x )＝1
x
时，是奇
函数但不过原点，则可知命题q 是假命题，所以p ∧(綈q )是真命题，故选C.
3．已知p ：x >1或x <－3，q ：x >a ，若q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．(－∞，1] C ．[－3，＋∞)
D ．(－∞，－3)
解析：选A 法一：设P ＝{x |x >1或x <－3}，Q ＝{x |x >a }，因为q 是p 的充分不必要条件，所以Q P ，因此a ≥1.
法二：令a ＝－3，则q ：x >－3，则由命题q 推不出命题p ，此时q 不是p 的充分条件，排除B 、C ；同理，取a ＝－4，排除D ，选A.
4．已知命题p ：x ≠π6＋2k π，k ∈Z ；命题q ：sin x ≠1
2，则p 是q 的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选B 令x ＝5π6，则sin x ＝12，即p ⇒/ q ；当sin x ≠12时，x ≠π6＋2k π或5π
6＋
2k π，k ∈Z ，即q ⇒p ，因此p 是q 的必要不充分条件．
[清易错]
1．易混淆否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．
2．易忽视A 是B 的充分不必要条件(A ⇒B 且B ⇒/A )与A 的充分不必要条件是B (B ⇒A 且
A ⇒/
B )两者的不同．
1．“若x ，y ∈R 且x 2
＋y 2
＝0，则x ，y 全为0”的否命题是( ) A ．若x ，y ∈R 且x 2
＋y 2≠0，则x ，y 全不为0 B ．若x ，y ∈R 且x 2
＋y 2
≠0，则x ，y 不全为0 C ．若x ，y ∈R 且x ，y 全为0，则x 2
＋y 2
＝0 D ．若x ，y ∈R 且xy ≠0，则x 2
＋y 2＝0
解析：选B 原命题的条件：x ，y ∈R 且x 2
＋y 2
＝0， 结论：x ，y 全为0.否命题是否定条件和结论．
即否命题：“若x ，y ∈R 且x 2
＋y 2
≠0，则x ，y 不全为0”．
2．设a ，b ∈R ，函数f (x )＝ax ＋b (0≤x ≤1)，则f (x )>0恒成立是a ＋2b >0成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选A 充分性：因为f (x )>0恒成立， 所以⎩⎪⎨
⎪⎧
f 0＝b >0，
f
1＝a ＋b >0，
则a ＋2b >0，即充分性成立；
必要性：令a ＝－3，b ＝2，则a ＋2b >0成立，但是，f (1)＝a ＋b >0不成立，即f (x )>0不恒成立，则必要性不成立．
所以答案为A.
[全国卷5年命题分析]
考点
考查频度 考查角度
四种命题的相互关系及真假判断
5年1考 与复数有关的命题的真假判断
充分条件、必要条件 未考查
命题的相互关系及真假性
[典例] 0”，命题q ：“若a 不是正数，则它的平方等于0”，则q 是p 的( )
A ．逆命题
B ．否命题
C ．逆否命题
D ．否定 (2)原命题为“若
a n ＋a n ＋1
2
<a n ，n ∈N *
，则{a n }为递减数列”，关于其逆命题、否命题、逆
否命题真假性的依次判断正确的是( )
A ．真，真，真
B ．假，假，真
C．真，真，假D．假，假，假
[解析] (1)命题p：“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题．
(2)原命题是：“若a n＋1<a n，n∈N*，则{a n}为递减数列”为真命题，则其逆否命题为真，逆命题是：“若{a n}为递减数列，n∈N*，则a n＋1<a n”为真命题，所以否命题也为真命题．[答案] (1)B (2)A
[方法技巧]
命题的关系及真假判断
(1)在判断命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再分析每个命题的条件与结论之间的关系，要注意四种命题关系的相对性．
(2)判断命题真假的方法：一是联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断；二是利用原命题和其逆否命题的等价关系进行判断．
[即时演练]
1．已知命题α：如果x<3，那么x<5；命题β：如果x≥3，那么x≥5；命题γ：如果x≥5，那么x≥3.关于这三个命题之间的关系，下列三种说法正确的是( )
①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题；
②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题；
③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题．
A．①③ B．②C．②③D．①②③
解析：选A 命题的四种形式，逆命题是把原命题中的条件和结论互换，否命题是把原命题的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定，然后交换条件与结论所得，因此①正确，②错误，③正确．
2．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( )
A．3 B．2 C．1 D．0
解析：选C 易知原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题，而逆命题、否命题是假命题，故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题只有一个．
充分、必要条件的判定
[典例] n S n，则“d>0”是“S4＋S6>2S5”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
(2)设α：1≤x≤3，β：m＋1≤x≤2m＋4，m∈R，若α是β的充分条件，则m的取值范围是________．
[解析] (1)因为{a n }为等差数列，所以S 4＋S 6＝4a 1＋6d ＋6a 1＋15d ＝10a 1＋21d,2S 5＝10a 1＋20d ，S 4＋S 6－2S 5＝d ，所以d >0⇔S 4＋S 6>2S 5.
(2)若α是β的充分条件，则α对应的集合是β对应集合的子集，则⎩⎪⎨
⎪⎧
m ＋1≤1，
2m ＋4≥3，
解得－1
2
≤m ≤0.
[答案] (1)C (2)⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－12，0 [方法技巧]
充要条件的3种判断方法
即设A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}：若A ⊆B ，则p 是q 的充分条
件或q 是p 的必要条件；若A B ，则p 是q 的充分不必要条件，
若A ＝B ，则p 是q 的充要条件
[1．(2016·四川高考)设p ：实数x ，y 满足x >1且y >1，q ：实数x ，y 满足x ＋y >2，则p 是q 的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选A ∵⎩⎪⎨
⎪
⎧
x >1，y >1，
∴x ＋y >2，即p ⇒q .
而当x ＝0，y ＝3时，有x ＋y ＝3>2，但不满足x >1且y >1，即q ⇒/ p ．故p 是q 的充分不必要条件．
2．已知m ，n ∈R ，则“mn <0”是“抛物线mx 2
＋ny ＝0的焦点在y 轴正半轴上”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选C 若“mn <0”，则x 2
＝－n
m y 中的－n m
>0，所以“抛物线mx 2
＋ny ＝0的焦点在
y 轴正半轴上”成立，是充分条件；反之，若“抛物线mx 2＋ny ＝0的焦点在y 轴正半轴上”，
则x 2
＝－n m y 中的－n m
>0，即mn <0，则“mn <0”成立，故是充要条件.
根据充分、必要条件求参数的范围
根据充分条件、必要条件求参数的范围是对充分条件、必要条件与集合之间关系的深层次考查．
此类题的解决方法一般有两种：
(1)直接法：先求出p ，q 为真命题时所对应的条件，然后表示出綈p 与綈q ，把綈p 与綈q 所对应的关系转化为綈p 与綈q 所对应集合之间的关系，列出参数所满足的条件求解；
(2)等价转化法，把綈p ，綈q 的关系转化为p ，q 的关系．
[典例] (2018·安徽黄山调研)已知条件p ：2x 2
－3x ＋1≤0，条件q ：x 2
－(2a ＋1)x ＋
a (a ＋1)≤0.若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．
[解析] 由2x 2
－3x ＋1≤0，得12
≤x ≤1，
∴条件p 对应的集合P ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
1
2
≤x ≤1
. 由x 2
－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，得a ≤x ≤a ＋1， ∴条件q 对应的集合为Q ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}． 法一：用“直接法”解题
綈p 对应的集合A ＝⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
x >1或x <
1
2， 綈q 对应的集合B ＝{x |x >a ＋1或x <a }． ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，即B A ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧
a <12，
a ＋1≥1
或⎩⎪⎨⎪⎧
a ≤12，
a ＋1>1，
∴0≤a ≤1
2
.
即实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，12. 法二：用“等价转化法”解题 ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，
∴根据原命题与逆否命题等价，得p 是q 的充分不必要条件． ∴p ⇒q ，即P Q ⇔⎩⎪⎨⎪⎧
a <12
，
a ＋1≥1
或⎩⎪⎨⎪⎧
a ≤12，
a ＋1>1，
解得0≤a ≤12.即实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，12.
[答案] ⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤0，12
[方法技巧]
根据充分、必要条件求参数范围的2个注意点
(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间关系列出关于参数的不等式(组)求解．
(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．
[即时演练]
1．(2018·安阳调研)已知p ：x ∈A ＝{x |x 2
－2x －3≤0，x ∈R}，q ：x ∈B ＝{x |x 2
－2mx ＋m 2
－4≤0，x ∈R ，m ∈R}．若p 是綈q 的充分条件，则实数m 的取值范围是________．
解析：∵A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}，∴∁R B ＝{x |x <m －2或x >m ＋2}．∵
p 是綈q 的充分条件，∴A ⊆∁R B ，∴m －2>3或m ＋2<－1，∴m >5或m <－3.
答案：(－∞，－3)∪(5，＋∞)
2．若“x 2
>1”是“x <a ”的必要不充分条件，则a 的最大值为________． 解析：由x 2>1，得x <－1，或x >1，
又“x 2
>1”是“x <a ”的必要不充分条件，知由“x <a ”可以推出“x 2
>1”，反之不成立，所以a ≤－1，即a 的最大值为－1.
答案：－1
1．(2014·全国卷Ⅱ)函数f (x )在x ＝x 0处导数存在．若p ：f ′(x 0)＝0；q ：x ＝x 0是f (x )的极值点，则( )
A ．p 是q 的充分必要条件
B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件
C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件
D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件
解析：选C 当f ′(x 0)＝0时，x ＝x 0不一定是f (x )的极值点，比如，y ＝x 3
在x ＝0时，
f ′(0)＝0，但在x ＝0的左右两侧f ′(x )的符号相同，因而x ＝0不是y ＝x 3的极值点．
由极值的定义知，x ＝x 0是f (x )的极值点必有f ′(x 0)＝0.综上知，p 是q 的必要条件，但不是充分条件．
2．(2017·天津高考)设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“si n θ<12”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选A 法一：由⎪
⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12，得0<θ<π6， 故sin θ<12.由sin θ<12，得－7π6＋2k π<θ<π6＋2k π，k ∈Z ，推不出“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”．
故“⎪
⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“si n θ<12”的充分而不必要条件．
法二：⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12⇒0<θ<π6⇒sin θ<12，而当sin θ<12时，取θ＝－π6，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－π6－π12＝π4>π
12
. 故“⎪
⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“si n θ<12”的充分而不必要条件． 3．(2016·北京高考)设a ，b 是向量，则“| a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选D 若|a|＝|b|成立，则以a ，b 为邻边的平行四边形为菱形．a ＋b ，a －b 表示的是该菱形的对角线，而菱形的两条对角线长度不一定相等，所以|a ＋b|＝|a －b|不一定成立，从而不是充分条件；反之，若|a ＋b|＝|a －b|成立，则以a ，b 为邻边的平行四边形为矩形，而矩形的邻边长度不一定相等，所以|a|＝|b|不一定成立，从而不是必要条件．故“|a|＝|b |”是“|a ＋b|＝|a －b |”的既不充分也不必要条件．
4．(2015·陕西高考)“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选A cos 2α＝0等价于cos 2
α－sin 2
α＝0，即cos α＝±sin α.由cos α＝sin α可得到cos 2α＝0，反之不成立，故选A.
5．(2015·重庆高考)“x ＞1”是“log 12
(x ＋2)＜0”的( )
A ．充要条件
B ．充分而不必要条件
C ．必要而不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选 B ∵x ＞1⇒log 12
(x ＋2)＜0，log 12
(x ＋2)＜0⇒x ＋2＞1⇒x ＞－1，∴“x
＞1”是“log 12
(x ＋2)＜0”的充分而不必要条件．
一、选择题
1．命题“若α＝π
4，则tan α＝1”的逆否命题是( )
A ．若α≠π
4，则tan α≠1
B ．若α＝π
4，则tan α≠1
C ．若tan α≠1，则α＝π
4
D ．若tan α≠1，则α≠π
4
解析：选D 逆否命题是将原命题中的条件与结论都否定后再交换位置即可． 所以逆否命题为：若tan α≠1，则α≠π
4
.
2．在命题“若抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2
＋bx ＋c <0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是( )
A ．都真
B ．都假
C ．否命题真
D ．逆否命题真
解析：选D 对于原命题：“若抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2
＋bx ＋c <0}≠∅”，这是一个真命题，所以其逆否命题也为真命题；但其逆命题：“若{x |ax 2
＋bx ＋c <0}≠∅，则抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c 的开口向下”是一个假命题，因为当不等式ax 2
＋bx ＋c <0的解集非空时，可以有a >0，即抛物线的开口可以向上，因此否命题也是假命题．故选D.
3．“直线y ＝x ＋b 与圆x 2
＋y 2
＝1相交”是“0<b <1”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选C 由直线y ＝x ＋b 与圆x 2
＋y 2
＝1相交可得
|b |
2
<1，所以－2<b <2，因此，“直线y ＝x ＋b 与圆x 2
＋y 2
＝1相交”⇒/ “0<b <1”，但“0<b <1”⇒“直线y ＝x ＋b 与圆
x 2＋y 2＝1相交”．故选C.
4．命题p ：“∀x >e ，a －ln x <0”为真命题的一个充分不必要条件是( ) A ．a ≤1 B ．a <1 C ．a ≥1
D ．a >1
解析：选B 由题意知∀x >e ，a <ln x 恒成立，因为ln x >1，所以a ≤1，故答案为B. 5．a 2
＋b 2
＝1是a sin θ＋b cos θ≤1恒成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选A 因为a 2
＋b 2
＝1，所以设a ＝cos α，b ＝sin α，则a sin θ＋b cos θ＝sin(α＋θ)≤1恒成立；当a sin θ＋b cos θ≤1恒成立时，只需a sin θ＋b cos θ＝a 2
＋b 2
sin(θ＋φ)≤a 2
＋b 2
≤1即可，所以a 2
＋b 2
≤1，故不满足必要性．
6．若向量a ＝(x －1，x )，b ＝(x ＋2，x －4)，则“a ⊥b ”是“x ＝2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选B 若“a ⊥b ”，则a ·b ＝(x －1，x )·(x ＋2，x －4)＝(x －1)(x ＋2)＋x (x －4)＝2x 2
－3x －2＝0，则x ＝2或x ＝－12；若“x ＝2”，则a ·b ＝0，即“a ⊥b ”，所以“a
⊥b ”是“x ＝2”的必要不充分条件．
7．在△ABC 中，“sin A －sin B ＝cos B －cos A ”是“A ＝B ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选B 在△ABC 中，当A ＝B 时，sin A －sin B ＝cos B －cos A 显然成立，即必要性成立；当sin A －sin B ＝cos B －cos A 时，则sin A ＋cos A ＝sin B ＋cos B ，两边平方可得sin 2A ＝sin 2B ，则A ＝B 或A ＋B ＝π
2
，即充分性不成立．则在△ABC 中，“sin A －sin
B ＝cos B －cos A ”是“A ＝B ”的必要不充分条件．
8．设m ，n 是两条直线，α，β是两个平面，则下列命题中不正确的是( ) A ．当n ⊥α时，“n ⊥β”是“α∥β”的充要条件 B ．当m ⊂α时，“m ⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件 C ．当m ⊂α时，“n ∥α”是“m ∥n ”的必要不充分条件 D ．当m ⊂α时，“n ⊥α”是“m ⊥n ”的充分不必要条件
解析：选C 由垂直于同一条直线的两个平面平行可知，A 正确；显然，当m ⊂α时，“m ⊥β”⇒“α⊥β”；当m ⊂α时，“α⊥β”⇒/ “m ⊥β”，故B 正确；当m ⊂α时，“m ∥n ”⇒/ “n ∥α”， n 也可能在平面α内，故C 错误；当m ⊂α时，“n ⊥α”⇒“m ⊥n ”，反之不成立，故D 正确．
二、填空题
9．“若a ≤b ，则ac 2
≤bc 2
”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________．
解析：其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题． 答案：2
10．下列命题正确的序号是________．
①命题“若a >b ，则2a
>2b ”的否命题是真命题；
②命题“a ，b 都是偶数，则a ＋b 是偶数”的逆否命题是真命题； ③若p 是q 的充分不必要条件，则綈p 是綈q 的必要不充分条件； ④方程ax 2
＋x ＋a ＝0有唯一解的充要条件是a ＝±12
.
解析：①否命题“若2a ≤2b
，则a ≤b ”，由指数函数的单调性可知，该命题正确；②由互为逆否命题真假相同可知，该命题为真命题；由互为逆否命题可知，③是真命题；④方程
ax
2
＋x ＋a ＝0有唯一解，则a ＝0或⎩⎪⎨
⎪⎧
Δ＝1－4a 2
＝0，
a ≠0，
求解可得a ＝0或a ＝±1
2
，故④是假
命题．
答案：①②③
11．已知集合A ＝⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
12<2x
<8，x ∈R
，B ＝{x |－1<x <m ＋1，x ∈R}，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________．
解析：A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
12
<2x
<8，x ∈R
＝{x |－1<x <3}， ∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ， ∴A
B ，∴m ＋1>3，即m >2.
答案：(2，＋∞) 12．给出下列四个结论： ①若am 2
<bm 2
，则a <b ；
②已知变量x 和y 满足关系y ＝－0.1x ＋1，若变量y 与z 正相关，则x 与z 负相关； ③“已知直线m ，n 和平面α，β，若m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，则α⊥β”为真命题； ④m ＝3是直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直的充分不必要条件． 其中正确的结论是________(填序号)．
解析：由不等式的性质可知，①正确；由变量间相关关系可知，当变量y 和z 是正相关时，x 与z 负相关，故②正确；③由已知条件，不能判断α与β的位置关系，故③错误；④当m ＝3时，直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直；当直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直时，(m ＋3)m －6m ＝0，则m ＝3或m ＝0，即m ＝3是直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直的充分不必要条件，则④正确．
答案：①②④ 三、解答题
13．写出命题“已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2
＋ax ＋b ≤0有非空解集，则a 2
≥4b ”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
解：(1)逆命题：已知a ，b ∈R ，若a 2
≥4b ，则关于x 的不等式x 2
＋ax ＋b ≤0有非空解集，为真命题．
(2)否命题：已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2
＋ax ＋b ≤0没有非空解集，则a 2
<4b ，为真命题．
(3)逆否命题：已知a ，b ∈R ，若a 2
<4b ，则关于x 的不等式x 2
＋ax ＋b ≤0没有非空解集，
为真命题．
14．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
y ⎪
⎪⎪
y ＝x 2
－32x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥
⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．
解：y ＝x 2
－32x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋716，
∵x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤34，2，∴716≤y ≤2，
∴A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪
7
16
≤y ≤2
. 由x ＋m 2
≥1，得x ≥1－m 2
， ∴B ＝{x |x ≥1－m 2
}．
∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件， ∴A ⊆B ，∴1－m 2
≤716，
解得m ≥34或m ≤－3
4
，
故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫34，＋∞.
1．下列四个命题中，
①命题“若x 2
－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2
－3x －4≠0”； ②“x ＝4”是“x 2
－3x －4＝0”的充分条件；
③命题“若m >0，则方程x 2
＋x －m ＝0有实根”的逆命题为真命题；
④命题“若m 2
＋n 2
＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2
＋n 2
≠0，则m ≠0且n ≠0”； ⑤对空间任意一点O ，若满足OP ―→＝34OA ―→＋18OB ―→＋18OC ―→
，则P ，A ，B ，C 四点一定共面．
其中真命题的为________．(填序号)
解析：①命题“若x 2
－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2
－3x －4≠0”，故①正确；
②x ＝4⇒x 2
－3x －4＝0；由x 2
－3x －4＝0，解得x ＝－1或x ＝4. ∴“x ＝4”是“x 2
－3x －4＝0”的充分不必要条件，故②正确；
③命题“若m >0，则方程x 2
＋x －m ＝0有实根”的逆命题为“若方程x 2
＋x －m ＝0有实根，则m >0”，是假命题，如m ＝0时，方程x 2
＋x －m ＝0有实根，故③错误；
④命题“若m 2
＋n 2
＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2
＋n 2
≠0，则m ≠0或n ≠0”，故④错误；。