高中数学极坐标与参数方程大题(详解)

参数方程极坐标系

解答题

1．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）

（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．

（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．

考点：参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系．

专题：坐标系和参数方程．

分析：（Ⅰ）联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参数方程，直接消掉参数t得直线l的普通方程；

（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离，除以

sin30°进一步得到|PA|，化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值．

解答：

解：（Ⅰ）对于曲线C：+=1，可令x=2cosθ、y=3sinθ，

故曲线C的参数方程为，（θ为参数）．

对于直线l：，

由①得：t=x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6=0；

（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．

P到直线l的距离为．

则，其中α为锐角．

当sin（θ+α）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为．

当sin（θ+α）=1时，|PA|取得最小值，最小值为．

点评：本题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法，是中档题．2．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为：

，曲线C的参数方程为：（α为参数）．

（I）写出直线l的直角坐标方程；

（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．

考点：参数方程化成普通方程．

专题：坐标系和参数方程．

分析：（1）首先，将直线的极坐标方程中消去参数，化为直角坐标方程即可；

（2）首先，化简曲线C的参数方程，然后，根据直线与圆的位置关系进行转化求解．

解答：

解：（1）∵直线l的极坐标方程为：，

∴ρ（sinθ﹣cosθ）=，

∴，

∴x﹣y+1=0．

（2）根据曲线C的参数方程为：（α为参数）．

得

（x﹣2）2+y2=4，

它表示一个以（2，0）为圆心，以2为半径的圆，

圆心到直线的距离为：

d=，

∴曲线C上的点到直线l的距离的最大值=．

点评：本题重点考查了直线的极坐标方程、曲线的参数方程、及其之间的互化等知识，属于中档题．

3．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．

（1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

（2）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：（t为参数）距离的最小值．

考点：圆的参数方程；点到直线的距离公式；直线的参数方程．

专题：计算题；压轴题；转化思想．

分析：（1）分别消去两曲线参数方程中的参数得到两曲线的普通方程，即可得到曲线C1表示一个圆；曲线C2表示一个椭圆；

（2）把t的值代入曲线C1的参数方程得点P的坐标，然后把直线的参数方程化为普通方程，根据曲线C2的参数方程设出Q的坐标，利用中点坐标公式表示出M的坐标，利用点到直线的距离公式表示出M到已知直线的距离，利用两角差的正弦函数公式化简后，利用正弦函数的值域即可得到距离的最小值．

解答：

解：（1）把曲线C1：（t为参数）化为普通方程得：（x+4）2+（y﹣3）2=1，

所以此曲线表示的曲线为圆心（﹣4，3），半径1的圆；

把C2：（θ为参数）化为普通方程得：+=1，所以此曲线方程表述的曲线为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴为8，短半轴为3的椭圆；

（2）把t=代入到曲线C1的参数方程得：P（﹣4，4），

把直线C3：（t为参数）化为普通方程得：x﹣2y﹣7=0，

设Q的坐标为Q（8cosθ，3sinθ），故M（﹣2+4cosθ，2+sinθ）

所以M到直线的距离d==，（其中sinα=，cosα=）

从而当cosθ=，sinθ=﹣时，d取得最小值．

点评：此题考查学生理解并运用直线和圆的参数方程解决数学问题，灵活运用点到直线的距离公式及中点坐标公式化简求值，是一道综合题．

4．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为

，直线l的参数方程为（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C

上不同于A，B的任意一点．

（Ⅰ）求圆心的极坐标；

（Ⅱ）求△PAB面积的最大值．

考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．

专题：坐标系和参数方程．

分析：

（Ⅰ）由圆C的极坐标方程为，化为ρ2=，把代入即可得出．

（II）把直线的参数方程化为普通方程，利用点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离d，再利用弦长公式可得|AB|=2，利用三角形的面积计算公式即可得出．

解答：

解：（Ⅰ）由圆C的极坐标方程为，化为ρ2=，把代入可得：圆C的普通方程为x2+y2﹣2x+2y=0，即（x﹣1）2+（y+1）2=2．

∴圆心坐标为（1，﹣1），

∴圆心极坐标为；

（Ⅱ）由直线l的参数方程（t为参数），把t=x代入y=﹣1+2t可得直线l的普通方程：，

∴圆心到直线l的距离，

∴|AB|=2==，

点P直线AB距离的最大值为，

．

点评：本题考查了把直线的参数方程化为普通方程、极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、弦长公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

5．在平面直角坐标系xoy中，椭圆的参数方程为为参数）．以o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值．

考点：椭圆的参数方程；椭圆的应用．

专题：计算题；压轴题．