微专题9 数列中的新定义性问题

微专题9 数列中的新定义性问题

问题背景

新定义数列题是指以学生已有的知识为基础，设计一个陌生的数学情境，或定义一个概念，或规定一种运算，或给出一个规划，通过阅读相关信息，根据题目引入新内容进行解答的一类数列题型.由于新定义性数列题背景新颖，构思巧妙，而且能有效地考查学生的迁移能力和思维品质，充分体现“遵循教学大纲，又不拘泥于教学大纲”的特点，所以备受命题专家的青睐.

高考命题方向：

1.给出一种新数列的定义，要求构造出一个满足条件的数列或求出一个特殊数列的某些量；

2.给出一种新数列的定义证明这种数列的某些性质. 思维模型

说明：

1.解决方案及流程

①读懂定义，理解新定义数列的含义；

②特殊分析，比如先对1,2,3n =…的情况进行讨论；

③通过特殊情况寻找新定义的数列的规律及性质，以及新定义数列与已知数列（如等差与等比数列）的关系，仔细观察，探求规律，注重转化，合理设计解题方案，最后利用等差、等比数列有关知识来求解；

④联系等差与等比数列知识将新定义数列问题在转化为熟悉的知识进行求解. 2.失误与防范

①不能正确理解新定义的含义；

②不注重利用特殊化分析，寻找新定义的数列的性质； ③难以用文字将解题过程完整准确地表达出来. 问题解决

一、典型例题

例1 在数列{}n a 中，若12,a a 是正整数，且12,3,4,5,n n n a a a n --=-=⋅⋅⋅，则称{}n a 为“绝对差数列”.

（1）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）； （2）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.

例2 设数列{}n a 的前n 项和为n S .若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得n m S a =，则称{}n a 是“H 数列”.

（1）若数列{}n a 的前n 项和()

*

2n n S n N =∈，证明：{}n a 是“H 数列”；

（2）设{}n a 是等差数列，其首项11a =，公差0d <.若{}n a 是“H 数列”，求d 的值；

（3）证明：对任意的等差数列{}n a ，总存在两个“H 数列”{}n b 和{}n c ，使得

()*n n n a b c n N =+∈成立.

例 3 如果数列{}n a 满足：1230n

a a a a +++⋅⋅⋅+=且123n a a a a +++⋅⋅⋅+=

()*13,n n N ≥∈，则称数列{}n a 为n 阶“归化数列”.

（1）若某4阶“归化数列”{}n a 是等比数列，写出该数列的各项； （2）若某11阶“归化数列”{}n a 是等差数列，求该数列的通项公式； （3）若{}n a 为n 阶“归化数列”，求证：12311111

2322n a a a a n n

+++⋅⋅⋅+≤-. 二、自主探究

1.设数列{}n a 的各项均为正数.若对任意的*

n N ∈，存在*

k N ∈，使得2

n k n n a a a υ

++=成立，则称数列{}n a 为“k J 型”数列.

（1）若数列{}n a 是“2J 型”数列，且288,1a a ==，求2n a ；

（2）若数列{}n a 既是“3J 型”数列，又是“4J 型”数列，证明：数列{}n a 是等比数列.

2.已知数集{}()

*

1212,,,0,2,n n A a a a a a a n n N =⋅⋅⋅≤<<⋅⋅⋅<≥∈具有性质:p i ∀，

()1,i j i i j n a a ≤≤≤+与j i a a -两数中至少有一个属于A .

（1）分别判断数集{}1,2,3,4是否具有性质p ，并说明理由； （2）证明：10a =；

（3）证明：当5n =时，12345,,,,a a a a a 成等差数列.

3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n M 满足条件：11t M S =，当2n ≥时，

1m m n t t M S S -=-，其中数列{}m t 单调递增，且*n t N ∈.

（1）若n a n =.

①试找出一组123,,t t t ，使得2

213M M M =；

②证明：对于数列n a n =，一定存在数列{}n t ，使得数列{}n M 中的各数均为一个整数的平方.

（2）若21n a n =-，是否存在无穷数列{}n t ，使得{}n M 为等比数列.若存在，写出一个满足条件的数列{}n t ；若不存在，说明理由.