2019学年年高考数学一轮复习课时分层训练6利用空间向量证明平行与垂直理北师大版319

1 C． B1E＝ 2EB
D． E与 B重合
A [ 分别以 DA、 DC、 DD1 为 x、 y、 z 轴建立空间直角坐标系 ( 图略 ) ，设正方体的棱长为
→
→
2，则 D(0,0,0) ， F(0,1,0) ， D1(0,0,2) ，设 E(2,2 ， z) ，D1F＝ (0,1 ，－ 2) ，DE＝ (2,2 ，
1 9．如图 7-7-11 ，四边形 ABCD为正方形， PD⊥平面 ABCD， PD∥ QA， QA＝ AB＝2PD. 证明：平
面 PQC⊥平面 DCQ.
图 7-7-11 [ 证明 ] 如图，以 D 为坐标原点，线段 DA的长为单位长，射线 DA， DP， DC分别为 x 轴， y 轴， z 轴的正半轴建立空间直角坐标系 D- xyz .
线面平行的判定定理可知， A1M∥平面 DCC1D1， A1M∥平面 D1PQB1. ①③④正确． ]
二、填空题
6. 如图 7-7-10 所示，在正方体 ABCD- A1B1C1D1 中， O 是底面正方形 ABCD的中心， M是 D1D的
中点， N是 A1B1 的中点，则直线 ON， AM的位置关系是 ________．
α ∥ β [ 设平面 α 的法向量为 m＝ ( x， y， z) ， 由 m·A→B＝ 0，得 x·0＋ y－ z＝ 0? y＝ z，
→ 由 m·AC＝ 0，得 x－ z＝0? x＝ z，取 x＝ 1， ∴ m＝(1,1,1) ，m＝－ n，
∴ m∥n，∴ α ∥β .]
8．已知 A→B＝ (1,5 ，－ 2) ，B→C＝ (3,1 ，z) ，若A→B⊥ B→C，B→P＝ ( x－ 1，y，－3) ，且 BP⊥平面 ABC，
2．已知 a＝ (2 ，－ 1,3) ， b＝ ( － 1,4 ，－ 2) ，c＝ (7,5 ， λ ) ．若 a，b，c 三向量共面，则实
数 λ 等于 ( )
62 A.
7
63 B． 7
60 C. 7
65 D． 7
D [ 由题意得 c＝ t a＋ μ b＝ (2 t － μ ，－ t ＋ 4μ ， 3t － 2μ ) ，
∴ AB与平面 CDE平行或在平面 CDE内． ]
4．(2017 ·西安月考 ) 如图 7-7-8 ，F 是正方体 ABCD- A1B1C1D1 的棱 CD的中点． E是 BB1 上一点，
若 D1F⊥DE，则有 (
)
图 7-7-8
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会当凌绝顶，一览众山小
A． B1E＝ EB
B． B1E＝ 2EB
则实数 x＋ y＝ ________.
【导学号： 79140252】
3＋ 5－ 2z＝ 0， 25 7 [ 由条件得 x－1＋ 5y＋6＝ 0，
3( x－ 1) ＋ y－ 3z＝ 0，
40
15
解得 x＝ 7 ， y＝－ 7 ， z＝ 4，
40 15 25 所以 x＋ y＝ － ＝ .]
777
三、解答题
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图 7-7-10
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会当凌绝顶，一览众山小
垂直 [ 以 A 为原点， 分别以 A→B，→AD，A→A1所在直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系 ( 图
略 ) ，设正方体的棱长为
1，则 A(0,0,0)
1 ，M 0， 1， 2
11
，O
， 2
， 2
0
1
，N
， 2
0，
1
，A→M· O→N
→→ z) ，∵ D1F· DE＝0×2＋1×2－ 2z＝ 0，∴ z＝ 1，∴ B1E＝ EB.]
5．如图 7-7-9 所示，在平行六面体 ABCD- A1B1C1D1 中，点 M，P， Q分别为棱 AB，CD，BC的中
点，若平行六面体的各棱长均相等，则：
图 7-7-9
① A1M∥ D1P；
② A1M∥ B1Q；
③ A1M∥平面 DCC1D1 ；
④ A1M∥平面 D1PQB1 .
以上说法正确的个数为 ( )
A． 1
B． 2
C． 3
D． 4
→ → → → 1→ → → → → 1→
→→
C [ A1M＝A1A＋ AM＝ A1A＋ 2AB， D1P＝D1D＋ DP＝A1A＋ 2AB，∴ A1M∥ D1P，所以 A1M∥ D1 P，由
会当凌绝顶，一览众山小
课时分层训练 ( 四十六 ) 利用空间向量证明平行与垂直
A 组 基础达标
一、选择题
1．若直线 l 的方向向量为 a＝(1,0,2) ，平面 α 的法向量为 n＝ ( －2,0 ，－ 4) ，则 ( )
பைடு நூலகம்
A． l ∥α
B． l ⊥α
C． l ? α
D． l 与 α 相交
B [ ∵ n＝－ 2a，∴ a 与平面 α 的法向量平行，∴ l ⊥ α .]
7＝2t －μ ，
33 t＝ 7，
17
∴ 5＝－ t ＋ 4μ，
∴ μ＝ 7 ，
]
λ ＝ 3t － 2μ ，
65 λ＝ 7 .
3．若 A→B＝λ C→D＋ μC→E，则直线 AB与平面 CDE的位置关系是 (
)
【导学号： 79140251】
A．相交
B．平行
C．在平面内
D．平行或在平面内
→ → → →→ → D [ ∵ AB＝λ CD＋ μ CE，∴ AB、CD、 CE共面，
1
1
＝ 0， 1， 2 · 0，－ 2， 1 ＝0，∴ ON与 AM垂直． ]
7．(2017 ·广州质检 ) 已知平面 α 内的三点 A(0,0,1) ，B(0,1,0) ，C(1,0,0) ，平面 β 的一
个法向量 n＝ ( －1，－ 1，－ 1) ，则不重合的两个平面 α 与 β 的位置关系是 ________．