2020年北京高考数学冲刺卷模拟(教师版)03

冲刺2020年高考数学全真模拟演练03卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．测试范围：高中全部内容．
一、选择题共10题，每题4分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．已知全集{0,1,2,3,4}U =，{1,2,3}A =，{0,1,3}B =，则下列结论正确的是（ ） A ．B A ⊆
B ．{0,4}U
C A = C ．{1,3}A B ⋃=
D ．{0,2}A B ⋂=
【答案】B 【解析】由题可知{0,1,2,3,4}U =，{1,2,3,}A =所以{0,4}U C A =，
因为{13}A B =，，0,1,3}2,{A B =
故选：B
2．已知i 为虚数单位，则复数512i
+等于（ ） A ．1255i - B ．552i +
C ．12i -
D ．1 【答案】C 【解析】55(12)5(12)=1212(12)(12)5
i i i i i i --==-++-，故选C.
3．函数()
()ln f x x =-的定义域为（ ）
A ．{}0x x <
B ．{}{}10x x ≤-⋃
C ．{}1x x ≤-
D ．{}
1x x ≥- 【答案】C 【解析】∵函数()
()f x ln x =-，
∴()10
0x x x ⎧+≥⎨-⎩＞，
解得100x x x ≤-≥⎧⎨⎩
或＜， 即x ≤﹣1，
∴f （x ）的定义域为{x |x ≤﹣1}． 故选：C ．
4．2531()x x
-展开式中的常数项为（ ） A ．80
B ．-80
C ．40
D ．-40 【答案】C
【解析】10522155(2),105=02,(2)=40.r r r r T C x r r C -+=--=∴-令，得常数项为选C.
5．函数2lg(1)|5||3|
x y x x -=++-是（ ） A ．偶函数
B ．奇函数
C ．非奇非偶函数
D ．既是奇函数又是偶函数
【答案】A
【解析】∵210x ->
∴11x -<<，即函数的定义域为(11)
-， ∴22lg(1)lg(1)538
x x y x x --==++- ∴2lg(1)53
x y x x -=++-是偶函数，故选A 6．圆心在x 轴上，半径为2，且过点（1,2）的圆的标准方程为（ ）
A ．(x −1)2+(y −2)2=4
B ．(x −1)2+y 2=4
C ．(x +1)2+(y −2)2=4
D ．(x +1)2+y 2=4
【答案】B
【解析】设圆心坐标为C （a ，0），则由题意可得 （a ﹣1）2+（0﹣2）2＝22，∴a ＝1，
∴圆的方程为 （x ﹣1）2+y 2＝4，
故选：A ．
7．在ΔABC 中，角A,B,C 所对边分别为a,b,c ，且c =4√2，B =π4，面积S =2，则b 等于（ ） A ．√1132 B ．5 C ．√41 D ．25
【答案】B
【解析】由已知得：S =12acsinB =12×4√2×a ×√22=2a =2，则a =1．由余弦定理得：b 2=a 2+c 2−2accosB =1+32−2×1×4√2×√22=25，即b =5，选B ．
8．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球半径为（ ）
A B C D ．【答案】C 【解析】由三视图可知三棱锥的直观图如图：
由三视图可知底面三角形是边长为2，顶角120︒的三角形，所以外接圆半径可由正弦定理得；
224sin 30r ==︒
， 由侧面为两等腰直角三角形，可确定出外接圆圆心，利用球的几何性质可确定出球心，且球心到底面的距
离1d =，所以球半径R = C.
9．等差数列{}n a 满足12a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列，则数列{}n a 的公差为（ ）
A ．4
B ．4-
C ．0
D ．0或4
【答案】D
【解析】由125,,a a a 成等比数列，得2215a a a =，
因为{}n a 为等差数列且12a =，设公差为d ，则2(2)2(24)d d +=+，解得0d =或4d =. 故选：D
10．函数()1,01,02x x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭
⎩，若方程()()210f x af x -+=有4个不同的实根，则a 的取值范围为（ ）
A ．(2,)+∞
B ．(4,)+∞
C ．(3,)+∞
D ．(,2)-∞
【答案】A 【解析】由题意可知，()1,01,02x x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭
⎩，
作出()f x 图象，如下图所示：
可知()0f x ≥，
且方程()()210f x af x -+=有4个不同实根，
则()()210f x af x -+=存在2个()1f x 和()2f x ，
设()t f x =，则()110t f x =>，()220t f x =>，
即：210t ta -+=有2个不等正实根，
所以240a ∆=->，且120t t a +=>，
解得：2a >.
故选：A.
二、填空题共5题，每题5分，共25分．
11．抛物线24y x =上一点M 到焦点的距离为5，则点M 的横坐标是______.
【答案】4
【解析】根据题意可得：00154x x +=⇒=．故答案为4
12．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验，受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请240名同学，每人随机写下两个都小于1的正实数x ，y 组成的实数对(),x y ，再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(),x y 的个数m ；最后再根据计数m 来估计π的值．假设统计结果是68m =，那么可以估计π的近似值为____________．（用分数表示） 【答案】4715
【解析】由题意，240对都小于1的正实数对(),x y ，满足0101
x y <<⎧⎨<<⎩，面积为1 两数能与1构成钝角三角形三边的数对(),x y ，满足221x y +<且01011x y x y <<⎧⎪<<⎨⎪+>⎩
面积为142
π- 因为统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(),x y 的个数68m = 所以68124042π=-，所以4715
π= 故答案为：
4715 13．设向量a 与b 的夹角为θ，(3,3)a =，2(1,1)b a -=-，若直线280x y --=沿向量b 平移，所得直线过双曲线222212x y m -=的右焦点.（1）cos θ=______;（2）双曲线22
2212
x y m -=的离心率e =______．
3
【解析】（1）由(3,3)a =，2(1,1)b a -=-，可得2(1,1)(3,3)(2,4)b =-+=，则(1,2)b =.
所以cos ||||32a b a b θ⋅===⨯ （2）直线280x y --=，即28y x =-沿向量(1,2)b =平移，
所得直线为2(1)82y x =--+，即仍为28y x =-，所以双曲线的右焦点为(4,0).
所以22224m +=，即212m =.所以
e ==
14．函数21()cos cos 2
f x x x x =-的单调递减区间为_____________. 【答案】ππ[,]()63
k k k Z ππ-+∈ 【解析】根据降幂公式和倍角公式，化简()f x 得
1cos 21()222
x f x x +=-
1cos 222x x = cos cos 2sin sin 233x x π
π
=-
cos 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
因为cos y x = 的单调递减区间为22k x k πππ≤≤+ ，k Z ∈
所以2223k x k π
πππ≤+≤+ 解得63k x k π
π
ππ-≤≤+
即()f x 的单调递减区间为()ππ,63k k k Z ππ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣⎦
15．已知函数2()(3)x f x x e =-，现给出下列结论：
①()f x 有极小值，但无最小值
②()f x 有极大值，但无最大值
③若方程()f x b =恰有一个实数根，则36b e ->
④若方程()f x b =恰有三个不同实数根，则306b e -<<
其中所有正确结论的序号为_________
【答案】②④
【解析】
2()(23)013x f x x x e x =+-=∴=-'或
所以当3x <- 时，3()0,()(0,6)f x f x e -∈'> ；当31x -<< 时，3()0,()(2,6)f x f x e e -<∈-' ；当1x > 时，()0,()(2,)f x f x e ∈-'>+∞ ；
因此()f x 有极小值()1f ，也有最小值()1f ，有极大值()3f -，但无最大值；若方程()f x b =恰有一个实数根，则36b e ->或2b e =-; 若方程()f x b =恰有三个不同实数根，则306b e -<<,即正确结论的序号为②④
三、解答题共6题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16．（本小题14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()
2*n 111S n n n N 22=
+∈. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()()
n n n 1c 2a 112a 9=-⋅-，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：n 1T 2<. 【答案】（1）n a n 5=+.（2）见解析.
【解析】（1）当n 1=时，11a S 6==，当n 2≥时，n n n 1a S S -=- ＝2111n n 22+－()()2111n 1n 1n 522⎡⎤-+-=+⎢⎥⎣⎦
. 而当n 1=时，n 56+=，∴n a n 5=+ (*n N ∈)．
（2）()()()()n n n 11c 2a 112a 92n 12n 1===-⋅--⋅+ 11122n 12n 1⎛⎫=⋅- ⎪-+⎝⎭
， ∴n 12n T c c c =+++
1111111213352n 12n 1⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎣⎦ 111122n 12⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭
17．（本小题14分）为加强对企业产品质量的管理，市监局到区机械厂抽查机器零件的质量，共抽取了600件螺帽，将它们的直径和螺纹距之比Z 作为一项质量指标，由测量结果得如下频率分布直方图：
（Ⅰ）求这600件螺帽质量指标值的样本平均数x ，样本方差2s （在同一组数据中，用该区间的中点值作代表）；
（Ⅱ）由频率分布直方图可以近似的认为，这种螺帽的质量指标值Z 服从正态分布()
2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s .
（ⅰ）利用该正态分布，求(185.03229.94)P Z <<；
（ⅱ）现从该企业购买了100件这种螺帽，记X 表示这100件螺帽中质量指标值位于区间()185.03,229.94的件数，利用（ⅰ）的结果，求()E X .
14.97≈.若()
2,Z N μσ~，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，(22)0.9544P Z μσμσ-<<+=.
【答案】（Ⅰ）200 224； （Ⅱ）（ⅰ）0.8185 （ⅱ）81.85.
【解析】（Ⅰ）抽取的螺帽质量指标值的样本平均数x 和样本方差2s 分别为：
x = 1700.051800.12⨯+⨯ 1900.182000.302100.19+⨯+⨯+⨯
2200.102300.06200+⨯+⨯=
2s = ()()22300.05200.12-⨯+-⨯ ()2
100.1800.30+-⨯+⨯
222100.19200.10300.06+⨯+⨯+⨯ 224=.
（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）知，()200,224Z N ~，从而 (20014.9720014.97)P Z -<<+ 2(185.03200)0.6826P Z =<≤=，
(185.03200)0.3413P Z <≤=，
(20029.9420029.94)P Z -<<+ 2(200229.94)0.9544P Z =≤<=，
(200229.94)0.4772P Z ≤<=，
(185.03229.94)P Z << (185.03200)P Z =<≤+ (200229.94)0.8185P Z ≤<=，
（ⅱ）由（ⅰ）知，一件螺帽的质量指标值位于区间()185.03,229.94的概率为0.8185，
依题意知()100,0.8185X B ~，所以()1000.818581.85E X =⨯=.
18．（本小题14分）如下图，在四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 和侧面11BCC B 都 是矩形，E 是CD 的中点，1D E CD ⊥，.
（1）求证：1BC D E ⊥
（2）求证：1//BC 平面1BED ；
（3）若平面11BCC B 与平面1BED 所成的锐二面角的大小为3π
，求线段1D E 的长度.
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）1.
【解析】（1）因为底面
和侧面11BCC B 是矩形， 所以BC CD ⊥，1BC CC ⊥，
又因为1CD CC C ⋂=，
所以BC ⊥平面11DCC D ，
因为1D E ⊂平面11DCC D ，
所以1BC D E ⊥；
（2）因为11//BB DD ，11BB DD =，
所以四边形11D DBB 是平行四边形.
连接1DB 交1D B 于点F ，连接EF ，则F 为1DB 的中点.
在1B CD ∆中，因为DE CE =，1DF B F =，
所以1//EF B C .
又因为1B C ⊄平面1BED ，EF ⊂平面1BED ，
所以1//BC 平面1BED ；
（3）由（1）可知1BC D E ⊥，
又因为1D E CD ⊥，，
所以1D E ⊥平面ABCD .
设G 为AB 的中点，以E 为原点，EG 、EC 、1ED 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴
如图建立空间直角坐标系，
设1D E a =，则()0,0,0E 、1D E a =、()10,0,D a 、()0,0,0E 、()0,0,0E 、()0,0,0E ，
设平面1BED 法向量为(),,n x y z =，
因为(),,n x y z =，()10,0,ED a =，
由10
{0n EB n ED ⋅=⋅=，得0
{0x y z +==
令1x =，得(),,n x y z =.
设平面11BCC B 法向量为()111,,m x y z =，
因为()1,1,0EB =，()1,1,0n =-，
由10{0n EB n ED ⋅=⋅=得1111
0,{0.x x y az =++=
令11z =，得()1,1,0n =-.
由平面11BCC B 与平面1BED 所成的锐二面角的大小为3π
， 得cos ,cos 32m n
m n m n π⋅〈〉===⋅，
解得1a =.
19．（本小题15
分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>
经过点P ⎛ ⎝⎭
.离心率e =
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若M ，N 分别是椭圆长轴的左、右端点，动点D 满足DN MN ⊥，连接MD 交椭圆于点Q .问：x 轴上
是否存在异于点M 的定点G ，使得以QD 为直径的圆恒过直线QN ，GD 的交点？若存在，求出点G 的坐标；
若不存在，说明理由.
【答案】
（1）2
214
x y +=（2）存在，(1,0)G 【解析】（1）由点1,2P ⎛
⎝⎭在椭圆上得，2213
14a b +=① 又e =
c a = 由①②得23c =，24a =，21b =.
故椭圆C 的标准方程为2
214
x y +=. （2）由（1）知，点(2,0)M -，(2,0)N .
由题意可设直线:(2)DM y k x =+，()11,Q x y ，(2,4)D k . 由2
214(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
，整理得()222214161640k x k x k +++-=. 方程显然有两个解，212164214k x k --=+，得2
122814k x k -=+，12414k y k =+， 所以点222284,1414k k Q k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭
. 设点()()00,00G x x ≠，
若存在满足题设的点G ，则QN DG ⊥，
由0DG QN ⋅=，及()02,4DG x k =--，222164,1414k k QN k k ⎛⎫-= ⎪++⎝⎭
， 故()20221642(4)01414k k x k k k
--+-=++恒成立，所以01x =. 故存在定点(1,0)G 满足题设要求.
20．（本小题14分）已知()ln f x x x =，32()2g x x ax x =+-+.
（1）若函数()g x 的单调递减区间为1
(,1)3
-，求函数()y g x =的图象在点(1,1)-处的切线方程； （2）若不等式2()'()2f x g x ≤+恒成立，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）450x y -+=；（2）[)2,-+∞．
【解析】（1）()2321g x x ax =+-'，由题意，知23210x ax +-<的解集是1,13⎛⎫
- ⎪⎝⎭
， 即方程23210x ax +-=的两根分别是1,13-．（由韦达定理有12a -+1=-33
∴a =-1） 将1x =或13
-代入方程23210x ax +-=，得1a =-，
∴()322g x x x x =--+， ()2321g x x x '=--，∴()14g '-=， ∴()g x 的图像在点()1,1P -处的切线斜率()14k g ='-=，
∴函数()y g x =的图像在点()1,1P -处的切线方程为： ()141y x -=+，即450x y -+=； （2）∵()()22f x g x '≤+恒成立，
即22ln 321x x x ax ≤++对一切()0,x ∈+∞恒成立， 整理可得31ln 22a x x x
≥--对一切()0,x ∈+∞恒成立， 设()31ln 22h x x x x =--，则()213122h x x x
=-+'， 令()0h x '=，得11,3x x ==-
（舍），
当01x <<时， ()()0,h x h x '>单调递增；当1x >时， ()()0,h x h x '<单调递减， ∴当1x =时， ()h x 取得最大值()12h =-，∴2a ≥-．
故实数a 的取值范围是[)2,-+∞．
21．（本小题14分）已知：集合{}12{(,,,,),0,1,1,2,,}n i n i X X x x x x x i n Ω==∈=，其中 3n ≥．12(,,,,,)i n n X x x x x ∀=∈Ω，称i x 为X 的第i 个坐标分量．若n S ⊆Ω，且满足如下两条性质： ①S 中元素个数不少于4个．
②X ∀，Y ，Z S ∈，存在{1,2,
,}m n ∈，使得X ，Y ，Z 的第m 个坐标分量都是1．则称S 为n Ω的一个好子集．
（1）若{,,,}S X Y Z W =为3Ω的一个好子集，且(1,1,0)X =，(1,0,1)Y =，写出Z ，W ． （2）若S 为n Ω的一个好子集，求证：S 中元素个数不超过12n -．
（3）若S 为n Ω的一个好子集且S 中恰好有12n -个元素，求证：一定存在唯一一个{1,2,,}k n ∈，使得S
中所有元素的第k 个坐标分量都是1．
【答案】(1) (1,0,0)Z =，(1,1,1)W =． (2) 证明见解析.
(3)证明见解析.
【解析】（1）()1,0,0Z =，()1,1,1W =．
（2）对于n x ⊆Ω，考虑元素12{1,1,,1,1)i n X x x x x =----'；
显然n X '∈Ω，X ∀，Y ，X '，对于任意的{}1,2,,i n ∈，i x ，i y ，1i x -不可能都为1，
可得X ，X '不可能都是好子集S 中． 又因为取定X ，则X '一定存在且唯一，而且X X ≠'， 由x 的定义知道，X ∀，Y ∈Ω,X Y X Y =''⇔=
这样，集合S 中元素的个数一定小于或等于集合n Ω中元素个数的一半，而集合n Ω中元素的个数为2n ，所以S 中元素个数不超过12n -．
（3）{}12,,i
n X x x x x ∀=，{}12,,,i n n Y y y y y ∀=∈Ω，定义元素X ，Y 的乘积为 {}1122,,,i i n n XY x y x y x y x y =，显然n XY ∈Ω．
我们证明“对任意的{}12,,
i n X x x x x S =∈，{}12,i n Y y y y y S =∈都有XY S ∈．” 假设存在X ，Y S ∈使得XY S ∉，则由（2）知，
()()'11221,1,
1,1i i n n XY x y x y x y x y S =----∈． 此时，对于任意的{}1,2,k n ∈，k x ，k y ，1k k x y -不可能同时为1，矛盾，所以XY S ∈． 因为S 中只有12n -个元素，我们记{}12,,n Z z z z =为S 中所有元素的成绩，根据上面的结论，我们知道()12,n Z z z z S =∈，
显然这个元素的坐标分量不能都为0，不妨设1k Z =，
根据Z 的定义X ，可以知道S 中所有元素的k 坐标分量都为1． 下面再证明k 的唯一性：
若还有1t Z =，即S 中所有元素的t 坐标分量都为1． 所以此时集合S 中元素个数至多为22n -个，矛盾．
所以结论成立．。