江苏镇江市数学高三上期中(含答案)

一、选择题
1．已知函数22()
()()
n n f n n n 为奇数时为偶数时⎧=⎨-⎩，若()(1)n a f n f n =++，则
123100a a a a +++
+=
A ．0
B ．100
C ．100-
D ．10200
2．若不等式组0220y x y x y x y a
⎧⎪+⎪
⎨-⎪⎪+⎩表示的平面区域是一个三角形，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．4
,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
B ．(]0,1
C ．41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．(]40,1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
3．已知关于x 的不等式()22
4300x ax a a -+<<的解集为()12,x x ，则1212
a x x x x ++
的最大值是（ ） A
．
3
B
C
D ．3
-
4．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则
313233310log log log log a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ）
A ．10
B ．12
C ．31log 5+
D ．32log 5+
5．下列函数中，y 的最小值为4的是（ ）
A ．4
y
x x
=+
B ．2y =
C ．4x x y e e -=+
D ．4
sin (0)sin y x x x
π=+
<
< 6)63a -≤≤的最大值为（ ）
A ．9
B ．
9
2
C ．3
D ．
2
7．在ABC
中，4
ABC π
∠=，AB =
3BC =，则sin BAC ∠
=（ ）
A
B
C
D
8．河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{}n a ，则()235log a a ⋅的值为（ ） A ．8
B ．10
C ．12
D ．16
9．若正数,x y 满足20x y xy +-=，则3
2x y
+的最大值为（ ） A ．
13
B ．38
C ．
37
D ．1
10．已知不等式2230x x --<的解集为A ,260x x +-<的解集为B ，不等式
2+0x ax b +<的解集为A B ，则a b +=（ ）
A ．-3
B ．1
C ．-1
D ．3
11．若关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解,则a 的取值范围是（ ）
A ．23,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
B ．23,15⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
C ．()1,+∞
D ．23,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦
12．当()1,2x ∈时，不等式220x mx ++≥恒成立，则m 的取值范围是（ ） A ．()3,-+∞ B ．()
22,-+∞
C ．[)3,-+∞
D ．)
22,⎡-+∞⎣
13．若不等式12
21m x x
≤+-在()0,1x ∈时恒成立，则实数m 的最大值为（ ） A ．9
B ．
92 C ．5 D ．52
14．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，S 表示ABC 的面积，若
cos cos sin ,c B b C a A += ()
22234
S b a c =+-，则B ∠=
A ．90︒
B ．60︒
C ．45︒
D ．30︒
15．在等差数列{}n a 中，如果123440,60a a a a +=+=，那么78a a +=（ ） A ．95
B ．100
C ．135
D ．80
二、填空题
16．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12m S -=-，0m S =，13m S +=.其中*m N ∈且
2m ≥，则m =______.
17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan tan 2tan b B b A c B +=-，且
8a =，73b c +=，则ABC 的面积为______．
18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且221n S n n n N *
=++∈，,求n a =.__________．
19．在平面内，已知直线12l l ，点A 是12,l l 之间的定点，点A 到12,l l 的距离分别为和，点
是2l 上的一个动点，若AC AB ⊥，且AC 与1l 交于点C ，则ABC ∆面积的最小
值为____．
20．已知关于x 的一元二次不等式ax 2
+2x+b ＞0的解集为{x|x≠c}，则227
a b a c
+++（其中
a+c≠0）的取值范围为_____．
21．设0x >，则23
1
x x x +++的最小值为______.
22．若数列{}n a 通项公式是12,12
3,3
n n n n a n --⎧≤≤=⎨≥⎩，前n 项和为n S ，则lim n n S →∞
=______. 23．若原点和点(1,2019)-在直线0x y a -+=的同侧，则a 的取值范围是________（用
集合表示）.
24．已知实数,x y 满足240{220330x y x y x y -+≥+-≥--≤，
，，
则22
x y +的取值范围是 .
25．如图在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是___________．
三、解答题
26．已知等差数列{}n a 满足1359a a a ++=，24612a a a ++=，等比数列{}n b 公比
1q >，且2420b b a +=，38b a =.
（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；
（2）若数列{}n c ，满足4n
n n c b =-，且数列{}n c 的前n 项和为n B ，求证：数列n n b B ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的
前n 项和32
n T <
． 27．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知0ccosB bsinC -=，
2cosA cos A =．
()1求C ；
()2若2a =，求，
ABC 的面积ABC
S
28．ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知cos cos a C c A a +=． （1）求证：A B =； （2）若6
A π
=
，ABC 3，求ABC 的周长．
29．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，225+=-a S ，515=-S . （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求12231
111+++⋯+n n a a a a a a . 30．
围建一个面积为360m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，设利用的旧墙的长度为x （单位：元）．
（Ⅰ）将y 表示为x 的函数；
（Ⅱ）试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．
【参考答案】
2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案
**科目模拟测试
一、选择题 1．B 2．D 3．D 4．A 5．C 6．B 7．C
8．C
9．A
10．A
11．A
12．D
13．B
14．D
15．B
二、填空题
16．5【解析】【分析】设等差数列的再由列出关于的方程组从而得到【详解】因为所以设因为所以故答案为：【点睛】本题考查等差数列前项和公式的灵活运用考查从函数的角度认识数列问题求解时要充分利用等差数列的前前项
17．【解析】【分析】由正弦定理和三角函数公式化简已知式子可得cosA的值由余弦定理可求64=（b+c）2﹣bc求bc即可得三角形的面积【详解】∵在△ABC中btanB+btanA=﹣
2ctanB∴由正弦
18．【解析】分析：根据可以求出通项公式；判断与是否相等从而确定的表达式详解：根据递推公式可得由通项公式与求和公式的关系可得代入化简得经检验当时所以所以点睛：本题考查了利用递推公式求通项公式的方法关键是最
19．6【解析】【分析】【详解】如图所示设由题意知与相似所以所以所以当且仅当即时等号成立所以面积的最小值为6
20．（﹣∞﹣6∪6+∞）【解析】【分析】由条件利用二次函数的性质可得ac=﹣1ab=1即c=-b将转为（a﹣b）+利用基本不等式求得它的范围【详解】因为一元二次不等式
ax2+2x+b＞0的解集为{x|x
21．【解析】【分析】利用换元法令将所给的代数式进行变形然后利用均值不等式即可求得最小值【详解】由可得可令即则当且仅当时等号成立故答案为：【点睛】本题主要考查基本不等式求最值的方法换元法及其应用等知识意在
22．【解析】【分析】利用无穷等比数列的求和公式即可得出结论【详解】数列通项公式是前项和为当时数列是等比数列故答案为：【点睛】本题主要考查的是数列极限求出数列的和是关键考查等比数列前项和公式的应用是基础题
23．或【解析】【分析】根据同侧同号列不等式解得结果【详解】因为原点和点在直线的同侧所以或即的取值范围是或【点睛】本题考查二元一次不等式区域问题考查基本应用求
解能力属基本题
24．【解析】【分析】【详解】画出不等式组表示的平面区域由图可知原点到直线距离的平方为的最小值为原点到直线与的交点距离的平方为的最大值为因此的取值范围为【考点】线性规划【名师点睛】线性规划问题首先明确可行
25．（）【解析】如图所示延长BACD 交于E 平移AD 当A 与D 重合与E 点时AB 最长在△BCE 中∠B=∠C=75°∠E=30°BC=2由正弦定理可得即解得=平移AD 当D 与C 重合时AB 最短此时与AB 交于F 在△B
三、解答题 26． 27． 28． 29． 30．
2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析
【参考解析】
**科目模拟测试
一、选择题 1．B 解析：B 【解析】
试题分析：由题意可得，当n 为奇数时，()2
2()(1)121;n a f n f n n n n =++=-+=--当
n 为偶数时，()22()(1)121;n a f n f n n n n =++=-++=+所以
()
1231001399a a a a a a a ++++=+++()()()2410021359999224610099100a a a +++
+=-+++
+-++++
++=，
故选B.
考点：数列的递推公式与数列求和.
【方法点晴】本题主要考查了数列的递推公式与数列求和问题，考查了考生的数据处理与
运算能力，属于中档题.本题解答的关键是根据给出的函数()22()
{()
n n f n n n =-当为奇数时当为偶数时及
()(1)n a f n f n =++分别写出n 为奇数和偶数时数列{}n a 的通项公式，然后再通过分
组求和的方法得到数列{}n a 前100项的和.
2．D
解析：D 【解析】 【分析】
要确定不等式组0220y x y x y x y a
⎧⎪+⎪
⎨-⎪⎪+⎩表示的平面区域是否一个三角形，我们可以先画出
220y x y x y ⎧⎪
+⎨⎪-⎩
，再对a 值进行分类讨论，找出满足条件的实数a 的取值范围． 【详解】
不等式组0220y x y x y ⎧⎪
+⎨⎪-⎩
表示的平面区域如图中阴影部分所示．
由22
x y x y =⎧⎨
+=⎩得22,33A ⎛⎫
⎪⎝⎭，
由0
22y x y =⎧⎨
+=⎩
得()10
B ,．
若原不等式组0220y x y x y x y a
⎧⎪+⎪
⎨-⎪⎪+⎩表示的平面区域是一个三角形，则直线x y a +=中a 的取值范
围是(]40,1,3a ⎡⎫
∈+∞⎪⎢⎣⎭
故选：D 【点睛】
平面区域的形状问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，然后结合分类讨论的思想，针对图象分析满足条件的参数的取值范围．
3．D
解析：D 【解析】
：不等式x 2-4ax +3a 2＜0（a ＜0）的解集为（x 1，x 2），
根据韦达定理，可得：2
123x x a =，x 1+x 2=4a ，
那么：1212a x x x x ++=4a +13a
． ∵a ＜0， ∴-（4
a +
13a ）
，即4
a +
13a ≤ 故121
2a x x x x ++的最大值为． 故选D ．
点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.
4．A
解析：A 【解析】 【分析】
利用对数运算合并，再利用等比数列{}n a 的性质求解。

【详解】
因为313233
310log log log log a a a a ++=()312310log a a a a =()5
3110log a a ,
又4756110a a a a a a ⋅=⋅=⋅，由475618a a a a ⋅+⋅=得1109a a ⋅=，所以
313233310log log log log a a a a ++=53log 9=10，故选A 。

【点睛】
本题考查了对数运算及利用等比数列{}n a 的性质，利用等比数列的性质：当
,(,,,)m n p q m n p q N *+=+∈时，m n p q a a a a ⋅=⋅，
特别地2,(,,)m n k m n k N *
+=∈时，2m n k a a a ⋅=，套用性质得解，运算较大。

5．C
解析：C 【解析】 【分析】
由基本不等式求最值的规则：“一正，二定，三相等”，对选项逐一验证即可. 【详解】
选项A 错误，x 可能为负数，没有最小值；
选项B
错误，化简可得2y ⎫=，
=
，即21x =-，
显然没有实数满足21x =-；
选项D 错误，由基本不等式可得取等号的条件为sin 2x =， 但由三角函数的值域可知sin 1x ≤； 选项C 正确，由基本不等式可得当2x e =， 即ln 2x =时，4x
x
y e e -=+取最小值4，故选C.
【点睛】
本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.
6．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据369a a -++=是常数，可利用用均值不等式来求最大值. 【详解】 因为63a -≤≤， 所以30,60a a ->+> 由均值不等式可得：
369
22
a a -++≤
=
当且仅当36a a -=+，即3
2
a =-时，等号成立， 故选B. 【点睛】
本题主要考查了均值不等式，属于中档题.
7．C
解析：C 【解析】
试题分析：由余弦定理得2
2923cos
5,4
b b π
=+-⋅==.
由正弦定理得
3sin sin 4
BAC =
∠
sin BAC ∠= 考点：解三角形.
8．C
解析：C 【解析】 【分析】
数列{}n a ，是等比数列，公比为2，前7项和为1016，由此可求得首项1a ，得通项公式，从而得结论． 【详解】
最下层的“浮雕像”的数量为1a ，依题有：公比(
)7
17
122,7,101612
a q n S -====-，解
得18a =，则()
12
*822
17,n n n a n n N -+=⨯=≤≤∈，57352,2a a ∴==，从而()()
571212352352222,log log 212a a a a ⋅=⨯=∴⋅==，故选C ．
【点睛】
本题考查等比数列的应用．数列应用题求解时，关键是根据题设抽象出数列的条件，然后利用数列的知识求解．
9．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据条件可得出2x >，212
y x =+-，从而33222(2)52
x y x x =+-++-，再根据基本不
等式可得出3123x y ≤+，则32x y +的最大值为1
3
.
【详解】
0x
，0y >，20x y xy +-=，
2122
x y x x ∴=
=+--，0x >， 333
222212(2)522
x y x x x x ∴
==
+++-++--，
22(2)5592x x -+
+≥=-， 当且仅当1
22x x -=-，即3x =时取等号， 31
232(2)52
x x ∴≤
-++-，即3123
x y ≤+，
32x y ∴+的最大值为13
. 故选：A. 【点睛】
本题考查了利用基本不等式求最值的方法，注意说明等号成立的条件，考查了计算和推理能力，属于中档题.
10．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据题意先求出集合,A B ，然后求出=1,2A
B -()，再根据三个二次之间的关系求出
,a b ，可得答案.
【详解】
由不等式2230x x --<有13x ，则(1,3)A =-.
由不等式260x x +-<有，则32x -<<，则(3,2)B =-.
所以=1,2A
B -().
因为不等式2+0x ax b +<的解集为A
B ,
所以方程2+=0x ax b +的两个根为1,2-. 由韦达定理有：1212a b
-+=-⎧⎨-⨯=⎩,即=1
2a b -⎧⎨=-⎩. 所以3a b +=-. 故选：A. 【点睛】
本题考查二次不等式的解法和三个二次之间的关系，属于中档题.
11．A
解析：A 【解析】 【分析】
利用分离常数法得出不等式2a x x >
-在[]15x ∈，上成立，根据函数()2
f x x x
=-在[]15x ∈，上的单调性，求出a 的取值范围
【详解】
关于x 的不等式220x ax +->在区间[]
1,5上有解
22ax x ∴>-在[]15
x ∈，上有解 即2
a x x
>
-在[]15x ∈，上成立， 设函数数()2
f x x x
=
-，[]15x ∈， ()22
10f x x
∴'=-
-<恒成立 ()f x ∴在[]15x ∈，上是单调减函数
且()f x 的值域为2315⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
， 要2a x x >
-在[]15x ∈，上有解，则235
a >- 即a 的取值范围是23,5⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
故选A 【点睛】
本题是一道关于一元二次不等式的题目，解题的关键是掌握一元二次不等式的解法，分离含参量，然后求出结果，属于基础题．
12．D
解析：D 【解析】
由()1,2x ∈时，220x mx ++≥恒成立得2m x x ⎛
⎫
≥-+
⎪⎝⎭
对任意()1,2x ∈恒成立，即max 2,m x x ⎡⎤⎛⎫≥-+ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
当x 时，2x x ⎛
⎫-+ ⎪⎝⎭
取得最大值m -∴≥-，m 的取
值范围是)
⎡-+∞⎣，故选D.
【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值以及不等式恒成立问题，属于中档题. 利
用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.
13．B
解析：B
【解析】
【分析】
设f（x）
12
21
x x
=+
-
，根据形式将其化为f（x）
()
1
1
52
2
21
x x
x x
-
=++
-
．利用基本不等
式求最值，可得当且仅当x
1
3
=时
()
1
12
2
1
x x
x x
-
+
-
的最小值为2，得到f（x）的最小值为f
（1
3
）
9
2
=，再由题中不等式恒成立可知m≤（
12
21
x x
+
-
）min，由此可得实数m的最大
值．【详解】
解：设f（x）
1
122
2
211
x x x x
=+=+
--
（0＜x＜1）
而1
2
2
1
x x
+=
-
[x+（1﹣x）]（
1
2
2
1
x x
+
-
）
()
1
1
52
2
21
x x
x x
-
=++
-
∵x∈（0，1），得x＞0且1﹣x＞0
∴
()
1
12
2
1
x x
x x
-
+≥
-
=2，
当且仅当
()
1
12
21
1
x x
x x
-
==
-
，即x
1
3
=时
()
1
12
2
1
x x
x x
-
+
-
的最小值为2
∴f（x）
12
21
x x
=+
-
的最小值为f（
1
3
）
9
2
=
而不等式m
12
21
x x
≤+
-
当x∈（0，1）时恒成立，即m≤（
12
21
x x
+
-
）min
因此，可得实数m的最大值为9 2
故选：B．
【点睛】
本题给出关于x的不等式恒成立，求参数m的取值范围．着重考查了利用基本不等式求函
数的最值和不等式恒成立问题的处理等知识，属于中档题．
14．D
解析：D 【解析】 【分析】
由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sin A ＝1，即A ＝900，由余弦定理、三角形面积公式可求角C ，从而得到B 的值． 【详解】
由正弦定理及cos cos sin ,c B b C a A +=得2
sin cos sin cos sin ,C B B C A +=
()2sin sin sin 1C B A A ⇒+=⇒=,因为000180A <<，所以090A =；
由余弦定理、三角形面积公式及)
222S b a c =
+-，得1sin 2cos 2ab C ab C =,
整理得tan C =，又00090C <<,所以060C =,故030B =. 故选D 【点睛】
本题考查正、余弦定理、两角和的正弦公式、三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．
15．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据等差数列{}n a 性质可知：1234a a a a ++，，56a a +，78a a +构成新的等差数列，然后求出结果 【详解】
由等差数列的性质可知：1234a a a a ++，，56a a +，78a a +构成新的等差数列，
()()()()781234124140320100a a a a a a a a ⎡⎤∴+=++-+-+=+⨯=⎣⎦
故选B 【点睛】
本题主要考查了等差数列的性质运用，等差数列中连续的、等长的、间隔相等的几项的和依然成等差，即可计算出结果。

二、填空题
16．5【解析】【分析】设等差数列的再由列出关于的方程组从而得到【详解】因为所以设因为所以故答案为：【点睛】本题考查等差数列前项和公式的灵活运用考查从函数的角度认识数列问题求解时要充分利用等差数列的前前项 解析：5 【解析】
设等差数列的()n An n m S =-，再由12m S -=-，13m S +=，列出关于m 的方程组，从而得到m . 【详解】
因为0m S =，所以设()n An n m S =-， 因为12m S -=-，13m S +=， 所以(1)(1)2,12
5(1)13,
13A m m m A m m -⋅-=-⎧-⇒=⇒=⎨
+⋅=+⎩. 故答案为：5. 【点睛】
本题考查等差数列前n 项和公式的灵活运用，考查从函数的角度认识数列问题，求解时要充分利用等差数列的前前n 项和公式必过原点这一隐含条件，从而使问题的计算量大大减少.
17．【解析】【分析】由正弦定理和三角函数公式化简已知式子可得cosA 的值由余弦定理可求64=（b+c ）2﹣bc 求bc 即可得三角形的面积【详解】∵在△ABC 中btanB+btanA=﹣2ctanB ∴由正弦
【解析】 【分析】
由正弦定理和三角函数公式化简已知式子可得cosA 的值，由余弦定理可求64=（b +c ）2﹣bc ，求bc ，即可得三角形的面积． 【详解】
∵在△ABC 中btanB +btanA=﹣2ctanB ，
∴由正弦定理可得sinB （tanA +tanB ）=﹣2sinCtanB ，
∴sinB （tanA+tanB ）=﹣2sinC•sinB
cosB
， ∴cosB （tanA+tanB ）=﹣2sinC ，
∴cosB （sinA cosA +sinB
cosB
）=﹣2sinC ， ∴cosB•sinAcosB cosAsinB
cosAcosB
+=﹣2sinC ，
∴cosB•
()sin A B cosAcosB
+=
sinC
cosA
=﹣2sinC ， 解得cosA=﹣
12，A=23
π；
∵a=8，b c +=64=b 2+c 2+bc=（b+c ）2﹣bc ，
∴△ABC 的面积为S =
12bcsinA=192⨯，
． 【点睛】
本题考查正、余弦定理解三角形，涉及同角三角函数基本关系和三角形的面积公式，属于中档题．
18．【解析】分析：根据可以求出通项公式；判断与是否相等从而确定的表达式详解：根据递推公式可得由通项公式与求和公式的关系可得代入化简得经检验当时所以所以点睛：本题考查了利用递推公式求通项公式的方法关键是最
解析：4,1
41,2
n n a n n =⎧=⎨-≥⎩.
【解析】
分析：根据1n n n a S S -=-可以求出通项公式n a ；判断1S 与1a 是否相等，从而确定n a 的表达式。

详解：根据递推公式，可得2
12(1)(1)1n S n n -=-+-+
由通项公式与求和公式的关系，可得1n n n a S S -=- ，代入化简得
22212(1)(1)1n a n n n n =++-----
41n =-
经检验，当1n =时，114,3S a == 所以11S a ≠ 所以 4,1
41,2
n n a n n =⎧=⎨
-≥⎩.
点睛：本题考查了利用递推公式1n n n a S S -=-求通项公式的方法，关键是最后要判断1S 与
1a 是否相等，确定n a 的表达式是否需要写成分段函数形式。

19．6【解析】【分析】【详解】如图所示设由题意知与相似所以所以所以当且仅当即时等号成立所以面积的最小值为6
解析：6 【解析】 【分析】 【详解】 如图所示，
设BF x =，由题意知3,2AE AF ==
ABF ∆与CAE ∆相似，所以
AB BF CA AE =
,所以3
AC AB x
=,所以2
11322ABC S AB AC AB x
∆=
=⨯ 21363(4)622x x x x =⨯⨯+=+≥，当且仅当632x
x =，即2x =时，等号成立，所以CAE ∆面积的最小值为6.
20．（﹣∞﹣6∪6+∞）【解析】【分析】由条件利用二次函数的性质可得ac=﹣1ab=1即c=-b 将转为（a ﹣b ）+利用基本不等式求得它的范围【详解】因为一元二次不等式a x2+2x+b ＞0的解集为{x|x
解析：（﹣∞，﹣6]∪[6，+∞） 【解析】 【分析】
由条件利用二次函数的性质可得ac=﹣1，ab=1, 即c=-b 将227
a b a c +++转为（a ﹣b ）
+
9
a b -，利用基本不等式求得它的范围． 【详解】
因为一元二次不等式ax 2+2x+b ＞0的解集为{x|x≠c}，由二次函数图像的性质可得a ＞0，二次函数的对称轴为x=1
a
-
=c ，△=4﹣4ab=0， ∴ac=﹣1，ab=1，∴c=1a
-
，b=1
a ，即c=-b,
则227a b a c +++=()2
9
a b a b
-+-=（a ﹣b ）+9a b -，
当a ﹣b ＞0时，由基本不等式求得（a ﹣b ）+
9
a b
-≥6，
当a ﹣b ＜0时，由基本不等式求得﹣（a ﹣b ）﹣
9a b -≥6，即（a ﹣b ）+9a b
-≤﹣6, 故227
a b a c
+++（其中a+c≠0）的取值范围为：（﹣∞，﹣6]∪[6，+∞），
故答案为（﹣∞，﹣6]∪[6，+∞）． 【点睛】
本题主要考查二次函数图像的性质，考查利用基本不等式求最值.
21．【解析】【分析】利用换元法令将所给的代数式进行变形然后利用均值不等式即可求得最小值【详解】由可得可令即则当且仅当时等号成立故答案为：【点睛】本题主要考查基本不等式求最值的方法换元法及其应用等知识意在
解析：1
【解析】 【分析】
利用换元法，令1t x =+将所给的代数式进行变形，然后利用均值不等式即可求得最小值. 【详解】
由0x >，可得11x +>.
可令()11t x t =+>，即1x t =-，则
()()2
211333
1111t t x x t x t t -+-+++==+-=+≥，
当且仅当t =1x =时，等号成立.
故答案为：1． 【点睛】
本题主要考查基本不等式求最值的方法，换元法及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
22．【解析】【分析】利用无穷等比数列的求和公式即可得出结论【详解】数列通项公式是前项和为当时数列是等比数列故答案为：【点睛】本题主要考查的是数列极限求出数列的和是关键考查等比数列前项和公式的应用是基础题
解析：
55
18. 【解析】 【分析】
利用无穷等比数列的求和公式，即可得出结论. 【详解】
数列{}
n a 通项公式是12,12
3,3
n n n n a n --⎧≤≤=⎨≥⎩，前n 项和为n S ，
当3n ≥时，数列{}n a 是等比数列，
3
31112731115531123118183182313
n n n n S --⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎛⎫⎛⎫⎝⎭=++
=+-=- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
-，
5531lim 55
18218l m 3i n n n n S →∞→∞⎡⎤⎛⎫-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣
⎦=. 故答案为：55
18
. 【点睛】
本题主要考查的是数列极限，求出数列的和是关键，考查等比数列前n 项和公式的应用，是基础题.
23．或【解析】【分析】根据同侧同号列不等式解得结果【详解】因为原点和点在直线的同侧所以或即的取值范围是或【点睛】本题考查二元一次不等式区域问题考查基本应用求解能力属基本题
解析：{|2020a a >或0}a < 【解析】 【分析】
根据同侧同号列不等式，解得结果. 【详解】
因为原点和点()1,2019-在直线0x y a -+=的同侧，所以
(00)(12019)02020a a a -+--+>∴>或0a <，即a 的取值范围是{2020a a 或0}.a <
【点睛】
本题考查二元一次不等式区域问题，考查基本应用求解能力.属基本题.
24．【解析】【分析】【详解】画出不等式组表示的平面区域由图可知原点到直线距离的平方为的最小值为原点到直线与的交点距离的平方为的最大值为因此的取值范围为【考点】线性规划【名师点睛】线性规划问题首先明确可行 解析：4[,13]5
【解析】 【分析】 【详解】
画出不等式组表示的平面区域，
由图可知原点到直线220x y +-=距离的平方为2
2x y +的最小值，为24
55
=，原点
到直线24=0x y -+与33=0x y --的交点(2,3)距离的平方为2
2x y +的最大值为13，因
此2
2x
y +的取值范围为4
[,13].5
【考点】 线性规划 【名师点睛】
线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线（一般不涉及虚线），其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等，最后结合图形确定目标函数最值或值域范围.
25．（）【解析】如图所示延长BACD 交于E 平移AD 当A 与D 重合与E 点时AB 最长在△BCE 中∠B=∠C=75°∠E=30°BC=2由正弦定理可得即解得=平移AD 当D 与C 重合时AB 最短此时与AB 交于F 在△B
解析：626+2） 【解析】
如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合与E 点时，AB 最长，在△BCE 中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得
sin sin BC BE
E C
=∠∠，即
o o
2sin 30sin 75
BE
=，解得BE 6+2，平移AD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时与AB 交于F ，在△BCF 中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，
sin sin BF BC
FCB BFC =∠∠，即o o
2sin 30sin 75BF =，解得62AB 的取值范
626+2.
考点：正余弦定理；数形结合思想
三、解答题 26．
（1）n a n =，2n
n b =；（2）证明见解析.
【解析】 【分析】
（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差中项的性质可得出34
3
4a a =⎧⎨
=⎩，可计算出1a 和d 的值，利用等差数列的通项公式可求出n a ，根据题意得出1b 与q 的方程组，结合条件
1q >，求出1b 和q 的值，利用等比数列的通项公式可求出n b ；
（2）利用分组求和法结合等比数列的求和公式得出()()1
122213
n n n
B
++--=
，可得出
131122121n n n n b B +⎛⎫=- ⎪--⎝⎭，然后利用裂项法可求出n T ，即可证明出3
2
n T <. 【详解】 （1）
1359a a a ++=，由等差中项的性质得339a =，33a ∴=，同理可得44a =，
设等差数列{}n a 的公差为d ，43431d a a ∴=-=-=，1323211a a d =-=-⨯=，
()1111n a a n d n n ∴=+-=+-=.
由题意得()
2
241231120
8
b b b q q b b q ⎧+=+=⎪⎨==⎪⎩，两个等式相除得
2152q q +=，整理得22520q q -+=. 1q >，解得2q
，12b ∴=，因此，111222n n n n b b q --==⨯=；
（2）
442n n n n n c b =-=-，
()()()
1122424242n n n B =-+-++-()()()()()11
21
2
141421244
444222
2214
12
3
n n n n
n
n ++---=++
+-++
+=
-
=----
()()1
111222143223
3
n n n n ++++---⋅+==
，
()()()()()()1111
12323222221222121213
n n n n n n n n n
n n b B +++++⋅∴===⋅------()()()()111212133112221212121n n
n n n n +++---⎛⎫=⋅=- ⎪----⎝⎭
， 22311
313113113131122122121221212212
n n n n T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+
+-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.
【点睛】
本题考查等差数列与等比数列通项公式的求解，数列不等式的证明，涉及了裂项求和法与
分组求和法，考查计算能力，属于中等题.
27．
(1) 12
π
．(2) 【解析】 【分析】
()1由已知利用正弦定理，同角三角函数基本关系式可求1tanB =，结合范围()0,B π∈，
可求4
B π
=
，由已知利用二倍角的余弦函数公式可得2210cos A cosA --=，结合范围
()0,A π∈，可求A ，根据三角形的内角和定理即可解得C 的值．
()2由()1及正弦定理可得b 的值，根据两角和的正弦函数公式可求sinC 的值，进而根据
三角形的面积公式即可求解． 【详解】
() 1由已知可得ccosB bsinC =，
又由正弦定理
b c
sinB sinC
=，可得ccosB csinB =，即1tanB =， ()0,B π∈，
4
B π
∴=
，
2221cosA cos A cos A ==-，即2210cos A cosA --=，
又()0,A π∈，
12cosA ∴=-，或1(舍去)，可得23
A π
=，
12
C A B π
π∴=--=
．
()
223A π=
，4
B π
=，2a =， ∴由正弦定理
a b
sinA sinB
=
，可得23a sinB b sinA ⋅=
==，
(
)1sin 22224
sinC A B sinAcosB cosAsinB ⎛⎫=+=+=
+-⨯=
⎪⎝⎭，
11222ABC
S
absinC ∴=
=⨯=
【点睛】
本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角的余弦函数公式，三角形的内角和定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式等知识在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
28．
（1
）见解析（2）4+【解析】 【分析】
（1）用余弦定理将条件cos cos a C c A a +=化为222222
22a b c b c a a c a ab bc
+-+-⋅+⋅=，
然后化简即可
（2）由6A π=得23
C π
=，由
ABC a b =可推出2a b ==，然后用余
弦定理求出c 即可. 【详解】
（1）因为cos cos a C c A a +=
由余弦定理得222222
22a b c b c a a c a ab bc
+-+-⋅+⋅=，
整理得222b ab =， 所以a b =， 所以A B =． （2）因为6
A π
=
，由（1）知2()3
C A B π
=π-+=
， 又
ABC
所以
1
sin 2
ab C =
又a b =，
所以
212= 所以2a b ==．
由余弦定理，得2
2
2
12cos 14222122c a b ab C ⎛⎫
=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭
，
所以c =，
所以ABC
的周长为4+． 【点睛】
本题考查的是正余弦定理及三角形的面积公式，较为典型.
29．
（1）n a n =-；（2）1
n n +. 【解析】 【分析】
(1)利用方程的思想，求出首项、公差即可得出通项公式；（2）根据数列{}n a 的通项公式
表示出1
1
n n a a +，利用裂项相消法即可求解.
【详解】
（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由221325+=+=-a S a d ，
5151015=+=-S a d ，即123+=-a d ，
解得11a =-，1d =-， 所以()11=---=-n a n n . （2）由n a n =-，所以11111
(1)1
+==-++n n a a n n n n ， 所以
122311111111112231+⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋯+=-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭
n n a a a a a a n n 1111n
n n =-
=
++. 【点睛】 利用裂项相消法求和的注意事项
(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项； (2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等．
30．
（Ⅰ）y=225x+
2
360
360(0)
x
x
-〉
（Ⅱ）当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．
【解析】
试题分析：（1）设矩形的另一边长为am，则根据围建的矩形场地的面积为360m2，易得360
a
x
=，此时再根据旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，我们即可得到修建围墙的总费用y表示成x的函数的解析式；（2）根据（1）中所得函数的解析式，利用基本不等式，我们易求出修建此矩形场地围墙的总费用最小值，及相应的x值
试题解析：（1）如图，设矩形的另一边长为a m
则45x+180（x-2）+180·2a=225x+360a-360
由已知xa=360,得a=,
所以y=225x+
（2）
．当且仅当225x=时，等号成立．
即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．
考点：函数模型的选择与应用。